Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

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Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
Lineare Theorie: Liouville'sche Formel


Anfangswertprobleme zu nichtlineare Differentialgleichungen für stetiges müssen nicht immer eindeutig lösbar sein. Unter zusätzlicher Annahme der lokalen Lipschitz-Stetigkeit von in der zweiten Variablen kann man jedoch Eindeutigkeit garantieren, und diese Voraussetzung ist in der Praxis meistens gegeben. Dies begründet die Bedeutung des folgenden Eindeutigkeitskriteriums:

Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit[Bearbeiten]

Es sei , , und stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem höchstens eine Lösung .

Beweis[Bearbeiten]

Es seien zwei Lösungen des Anfangswertproblems und beliebig. Da

kompakt ist, gibt es ein mit

für alle . Für die Differenz gilt die Integralungleichung

Die Grönwall'sche Ungleichung impliziert .

Siehe auch[Bearbeiten]