Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Anfangswertprobleme zu nichtlineare Differentialgleichungen $y'(x)=F(x,y(x))$ für stetiges $F$ müssen nicht immer eindeutig lösbar sein. Unter zusätzlicher Annahme der lokalen Lipschitz-Stetigkeit von $F$ in der zweiten Variablen kann man jedoch Eindeutigkeit garantieren, und diese Voraussetzung ist in der Praxis meistens gegeben. Dies begründet die Bedeutung des folgenden Eindeutigkeitskriteriums:

Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit

Es sei $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ , $G\subset \mathbb {R} \times \mathbb {K} ^{n}$ , $(a,y_{0})\in G$ und $F=F(x,y):G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem $\ y'=F(x,y),y(a)=y_{0}$ höchstens eine Lösung $y\in C^{1}([a,b);\mathbb {K} ^{n})$ .

Beweis

Es seien $y_{1},y_{2}:[a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ zwei Lösungen des Anfangswertproblems $\ y'=F(x,y),y(a)=y_{0}$ und $\beta \in (a,b)$ beliebig. Da