Beweisarchiv: Analysis
Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta · 1/n ist eine Nullfolge · Grundeigenschaften konvergenter Folgen Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null · Charakterisierung konstanter Funktionen · Festlegbarkeit der Stammfunktion · Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integralrechnung: Gaußsches Integral Konvexität und Stetigkeit
Gronwall'sche Ungleichung in integraler Form [ Bearbeiten ] Gegeben seien ein Intervall
I
:=
[
a
,
b
]
{\displaystyle I:=[a,b]}
u
,
α
:
I
→
R
{\displaystyle u,\alpha :I\rightarrow \mathbb {R} }
β
:
I
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \beta :I\rightarrow [0,\infty )}
u
(
t
)
≤
α
(
t
)
+
∫
a
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s){\rm {d}}s}
für alle
t
∈
I
{\displaystyle t\in I}
u
(
t
)
≤
α
(
t
)
+
∫
a
t
α
(
s
)
β
(
s
)
e
∫
s
t
β
(
σ
)
d
σ
d
s
{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\int _{s}^{t}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s}
für alle
t
∈
I
{\displaystyle t\in I}
Setze
y
(
t
)
:=
e
−
∫
a
t
β
(
σ
)
d
σ
⋅
∫
a
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
{\displaystyle y(t):=e^{-\int _{a}^{t}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }\cdot \int _{a}^{t}\beta (s)u(s){\rm {d}}s}
y
′
(
t
)
=
β
(
t
)
e
−
∫
a
t
β
(
σ
)
d
σ
[
u
(
t
)
−
∫
a
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
]
≤
α
(
t
)
β
(
t
)
e
−
∫
a
t
β
(
σ
)
d
σ
.
{\displaystyle y'(t)=\beta (t)e^{-\int _{a}^{t}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }[u(t)-\int _{a}^{t}\beta (s)u(s){\rm {d}}s]\leq \alpha (t)\beta (t)e^{-\int _{a}^{t}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }\ .}
Mittels Integration erhält man daraus
∫
a
t
α
(
s
)
β
(
s
)
e
−
∫
a
s
β
(
σ
)
d
σ
d
s
≥
y
(
t
)
−
y
(
a
)
=
y
(
t
)
=
e
−
∫
a
t
β
(
σ
)
d
σ
∫
a
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
,
{\displaystyle \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{-\int _{a}^{s}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s\geq y(t)-y(a)=y(t)=e^{-\int _{a}^{t}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }\int _{a}^{t}\beta (s)u(s){\rm {d}}s\ ,}
also
∫
a
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
≤
e
∫
a
t
β
(
σ
)
d
σ
∫
a
t
α
(
s
)
β
(
s
)
e
−
∫
a
s
β
(
σ
)
d
σ
d
s
=
∫
a
t
α
(
s
)
β
(
s
)
e
∫
s
t
β
(
σ
)
d
σ
d
s
.
{\displaystyle \int _{a}^{t}\beta (s)u(s){\rm {d}}s\leq e^{\int _{a}^{t}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{-\int _{a}^{s}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s=\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\int _{s}^{t}\beta (\sigma ){\rm {d}}\sigma }{\rm {d}}s\ .}
Aus
u
(
t
)
−
α
(
t
)
≤
∫
a
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
{\displaystyle u(t)-\alpha (t)\leq \int _{a}^{t}\beta (s)u(s){\rm {d}}s}
◻
{\displaystyle \Box }
![I := [a, b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25823f50db829a62de7567fb58620dcd3d7fc188)
![y'(t) = \beta(t)e^{-\int_a^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}[u(t)-\int_a^t\beta(s)u(s){\rm d}s] \leq \alpha(t)\beta(t)e^{-\int_a^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}\ .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a0c2b2e0338cd3a177fe018b199898a9c2e977)
