Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Festlegbarkeit der Stammfunktion

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Definition

Seien $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und $f:I\to \mathbb {R}$ eine Funktion. Eine Stammfunktion von $f$ ist eine differenzierbare Funktion $F:I\to \mathbb {R}$ so, dass für deren Ableitungsfunktion $F':I\to \mathbb {R}$ gilt $F'=f$.

Satz

Seien $I\in \mathbb {R}$ ein Intervall und $f:I\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Seien $F,G:I\to \mathbb {R}$ zwei Stammfunktionen von $f$. Dann existiert eine Zahl $C\in \mathbb {R}$ mit $F(x)=G(x)+C$ für alle $x\in I$.

Beweis

Da $F$ und $G$ Stammfunktionen einer stetigen Funktion sind, sind sie stetig differenzierbar. Damit ist die Funktion Funktion $F-G:I\to \mathbb {R}$ differenzierbar und für ihre Ableitung gilt $(F-G)'=F'-G'=f-f=0$ nach der Summenregel. Damit ist die Funktion $F-G$ nach der Charakterisierung konstanter Funktionen konstant, d. h. es existiert ein $C\in \mathbb {R}$ mit $F(x)=C+G(x)$ für alle $x\in I$.

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