Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes

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Beweisarchiv: Analysis

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Herleitung des Wallis-Produktes[Bearbeiten]

Das Wallis-Produkt ist eine Näherungsformel zur Berechnung von .

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Konvergenz des Wallis-Produktes zu zeigen. Eine Herleitung mit analytischen Mitteln soll hier kurz vorgestellt werden. Es mag sein, dass die folgenden Schritte nicht sofort intuitiv nachvollziehbar sind, da gute mathematische Grundkenntnisse vorausgesetzt werden. Jedoch ist dieser Ansatz ein raffinierter Weg, den Grenzwert zu bestimmen, den es zu betrachten lohnt.

Vorbereitungen[Bearbeiten]

Man untersucht die Folge   mit   .


a)   Je zwei Glieder von sind rekursiv verknüpft durch mit den Anfangsbedingungen und .

Beweis: durch partielle Integration:

Umordnung des Resultates ergibt


b)   Man kann die Quotientenfolge abschätzen durch . Dies ist gleichbedeutend mit .


Beweis:

Sei . Dann gilt .

Wegen der Rekursionsformel gilt:

Zusammengefasst gilt: .

Der Quotient wurde hierdurch per Sandwich eingegrenzt .

Definition der WALLIS-Folge[Bearbeiten]

Nach diesen Vorbereitungen wird nun die "WALLIS-Folge" definiert zu   .

Die Konvergenz dieser Folge ist auf zwei Wegen ersichtlich. Deren Kombination führt direkt zum WALLIS-Produkt:

a)  

Analog zu besitzt auch eine rekursive Darstellung   mit Faktor   .

Beweis:  


Mit Hilfe der rekursiven Verknüpfung zweier Glieder von kann man auch etwas über das Verhalten von für große sagen. Die Taktik hier ist die Verknüpfung konkreter Folgenglieder durch den Rekursionsfaktor , wobei alle unerwünschten Terme durch ständiges ineinander Einsetzen der Erkenntnisse eliminiert werden:

mit     


b)    

Die Erkenntnis über den Quotienten aus der Vorbereitung liefert     


Man hat nun zwei präzise Angaben über das Verhalten von für große erhalten.

Durch Gleichsetzen von und ergibt sich das WALLIS-Produkt zu   .

Durch elementare Umformungen erhält man die optisch ansprechendere Darstellung .