Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Charakterisierung konstanter Funktionen

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Beweisarchiv: Analysis

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Konvexität und Stetigkeit


Definition[Bearbeiten]

Seien ein Intervall und eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist konstant, wenn für alle gilt .

Satz[Bearbeiten]

ist genau dann konstant, wenn für die Ableitungsfunktion gilt .

Beweis[Bearbeiten]

“: Seien konstant und . Dann gilt .

“: Seien für alle und mit , dann können wir durch eventuelles Vertauschen annehmen. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein mit . Also ist wegen auch und damit .