Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Charakterisierung konstanter Funktionen
Erscheinungsbild
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- Integralrechnung: Gaußsches Integral
- Konvexität und Stetigkeit
Definition
[Bearbeiten]Seien ein Intervall und eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist konstant, wenn für alle gilt .
Satz
[Bearbeiten]ist genau dann konstant, wenn für die Ableitungsfunktion gilt .
Beweis
[Bearbeiten]„“: Seien konstant und . Dann gilt .
„“: Seien für alle und mit , dann können wir durch eventuelles Vertauschen annehmen. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein mit . Also ist wegen auch und damit .