Beweisarchiv: Analysis
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- Konvexität und Stetigkeit
Die Young'sche Ungleichung gehört zu den fundamentalen Ungleichungen der Analysis. Sie hat viele Anwendungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, aber auch bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen und wird beispielsweise auch für den standardmäßigen Beweis der Hölder-Ungleichung verwendet.
Sei
eine stetige, streng monoton wachsende und unbeschränkte Funktion mit
. Insbesondere existiert ihre Umkehrfunktion
, welche ebenfalls stetig, streng monoton wachsend und unbeschränkt ist.
Dann gilt für alle
die Young'sche Ungleichung
.
Die Gleichheit gilt genau dann, wenn
ist.
Sei
eine Folge von stetig differenzierbaren Funktionen, welche monoton wachsend und gleichmäßig gegen
konvergiert. Dann gilt mit der Substitution
und anschließender partieller Integration
.
Durch Grenzübergang
folgt
,
also

Im Fall
ist dieser Ausdruck gleich
. Für
ist
, da der Integrand auf
strikt größer als
ist. Für
verwende man analog
.

Sind
mit
und
, so gilt
mit Gleichheit genau dann, wenn
.
Setze
. Die Umkehrfunktion lautet dann
. Die Gleichheitsbedingung
ist äquivalent zu
.
Ohne Einschränkung seien
. Wegen
ist die Exponentialfunktion strikt konvex.
Da
und
, folgt
.
Gleichheit gilt wegen der strikten Konvexität genau dann, wenn
.
als Spezialfall der Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel
[Bearbeiten]
Setze für
die Summanden
und
und die Gewichte
und
. Die Gleichheitsbedingung der arithmetisch-geometrischen Ungleichung überträgt sich unmittelbar.

Für alle
mit
gilt
Setze im vorigen Spezialfall für
und
.
