Beweisarchiv: Analysis: Ungleichungen: Young'sche Ungleichung

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Beweisarchiv: Analysis

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Konvexität und Stetigkeit


Die Young'sche Ungleichung gehört zu den fundamentalen Ungleichungen der Analysis. Sie hat viele Anwendungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, aber auch bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen und wird beispielsweise auch für den standardmäßigen Beweis der Hölder-Ungleichung verwendet.

Allgemeine Fassung[Bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten]

Sei eine stetige, streng monoton wachsende und unbeschränkte Funktion mit . Insbesondere existiert ihre Umkehrfunktion , welche ebenfalls stetig, streng monoton wachsend und unbeschränkt ist. Dann gilt für alle die Young'sche Ungleichung

.

Die Gleichheit gilt genau dann, wenn ist.

Beweis[Bearbeiten]

Sei eine Folge von stetig differenzierbaren Funktionen, welche monoton wachsend und gleichmäßig gegen konvergiert. Dann gilt mit der Substitution und anschließender partieller Integration

.

Durch Grenzübergang folgt

,

also

Im Fall ist dieser Ausdruck gleich . Für ist , da der Integrand auf strikt größer als ist. Für verwende man analog .

Spezialfall[Bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten]

Sind mit und , so gilt

mit Gleichheit genau dann, wenn .

Beweise[Bearbeiten]

aus der allgemeinen Fassung[Bearbeiten]

Setze . Die Umkehrfunktion lautet dann . Die Gleichheitsbedingung ist äquivalent zu .

unmittelbar[Bearbeiten]

Ohne Einschränkung seien . Wegen

ist die Exponentialfunktion strikt konvex. Da und , folgt

.

Gleichheit gilt wegen der strikten Konvexität genau dann, wenn .

als Spezialfall der Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel[Bearbeiten]

Setze für die Summanden und und die Gewichte und . Die Gleichheitsbedingung der arithmetisch-geometrischen Ungleichung überträgt sich unmittelbar.

Skalierte Version des Spezialfalls[Bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten]

Für alle mit gilt

Beweis[Bearbeiten]

Setze im vorigen Spezialfall für und .


Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]