Beweisarchiv: Analysis
Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung
Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta · 1/n ist eine Nullfolge · Grundeigenschaften konvergenter Folgen
Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null · Charakterisierung konstanter Funktionen · Festlegbarkeit der Stammfunktion · Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Integralrechnung: Gaußsches Integral
Konvexität und Stetigkeit
Die Young'sche Ungleichung gehört zu den fundamentalen Ungleichungen der Analysis. Sie hat viele Anwendungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, aber auch bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen und wird beispielsweise auch für den standardmäßigen Beweis der Hölder-Ungleichung verwendet.
Sei
f
:
[
0
,
∞
)
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle f:[0,\infty )\to [0,\infty )}
eine stetige, streng monoton wachsende und unbeschränkte Funktion mit
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
. Insbesondere existiert ihre Umkehrfunktion
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
, welche ebenfalls stetig, streng monoton wachsend und unbeschränkt ist.
Dann gilt für alle
a
,
b
≥
0
{\displaystyle a,b\geq 0}
die Young'sche Ungleichung
a
b
≤
∫
0
a
f
(
x
)
d
x
+
∫
0
b
f
−
1
(
y
)
d
y
{\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{0}^{b}f^{-1}(y)\,{\rm {d}}y}
.
Die Gleichheit gilt genau dann, wenn
f
(
a
)
=
b
{\displaystyle f(a)=b}
ist.
Sei
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
eine Folge von stetig differenzierbaren Funktionen, welche monoton wachsend und gleichmäßig gegen
f
{\displaystyle f}
konvergiert. Dann gilt mit der Substitution
y
=
f
n
(
x
)
{\displaystyle y=f_{n}(x)}
und anschließender partieller Integration
∫
0
b
f
n
−
1
(
y
)
d
y
=
∫
0
f
n
−
1
(
b
)
x
f
n
′
(
x
)
d
x
=
x
f
n
(
x
)
|
0
f
n
−
1
(
b
)
−
∫
0
f
n
−
1
(
b
)
f
n
(
x
)
d
x
=
f
n
−
1
(
b
)
b
−
∫
0
f
n
−
1
(
b
)
f
n
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{b}f_{n}^{-1}(y){\rm {d}}y=\int _{0}^{f_{n}^{-1}(b)}xf_{n}'(x){\rm {d}}x=xf_{n}(x)|_{0}^{f_{n}^{-1}(b)}-\int _{0}^{f_{n}^{-1}(b)}f_{n}(x){\rm {d}}x=f_{n}^{-1}(b)b-\int _{0}^{f_{n}^{-1}(b)}f_{n}(x){\rm {d}}x}
.
Durch Grenzübergang
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
folgt
∫
0
b
f
−
1
(
y
)
d
y
=
f
−
1
(
b
)
b
−
∫
0
f
−
1
(
b
)
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{b}f^{-1}(y){\rm {d}}y=f^{-1}(b)b-\int _{0}^{f^{-1}(b)}f(x){\rm {d}}x}
,
also
∫
0
a
f
(
x
)
d
x
+
∫
0
b
f
−
1
(
y
)
d
y
=
∫
f
−
1
(
b
)
a
f
(
x
)
d
x
+
f
−
1
(
b
)
⋅
b
.
{\displaystyle \int _{0}^{a}f(x){\rm {d}}x+\int _{0}^{b}f^{-1}(y){\rm {d}}y=\int _{f^{-1}(b)}^{a}f(x){\rm {d}}x+f^{-1}(b)\cdot b\ .}
Im Fall
b
=
f
(
a
)
{\displaystyle b=f(a)}
ist dieser Ausdruck gleich
a
b
{\displaystyle ab}
. Für
b
<
f
(
a
)
{\displaystyle b<f(a)}
ist
∫
f
−
1
(
b
)
a
f
(
x
)
d
x
>
b
(
a
−
f
−
1
(
b
)
)
{\displaystyle \int _{f^{-1}(b)}^{a}f(x){\rm {d}}x>b(a-f^{-1}(b))}
, da der Integrand auf
(
f
−
1
(
b
)
,
a
)
{\displaystyle (f^{-1}(b),a)}
strikt größer als
b
{\displaystyle b}
ist. Für
b
>
f
(
a
)
{\displaystyle b>f(a)}
verwende man analog
∫
f
−
1
(
b
)
a
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
a
f
−
1
(
b
)
f
(
x
)
d
x
>
−
b
(
f
−
1
(
b
)
−
a
)
{\displaystyle \int _{f^{-1}(b)}^{a}f(x){\rm {d}}x=-\int _{a}^{f^{-1}(b)}f(x){\rm {d}}x>-b(f^{-1}(b)-a)}
.
◻
{\displaystyle \Box }
Sind
p
,
q
>
1
{\displaystyle p,q>1}
mit
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
und
a
,
b
≥
0
{\displaystyle a,b\geq 0}
, so gilt
a
b
≤
a
p
p
+
b
q
q
{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}
mit Gleichheit genau dann, wenn
a
p
=
b
q
{\displaystyle a^{p}=b^{q}}
.
aus der allgemeinen Fassung [ Bearbeiten ]
Setze
f
(
x
)
=
x
p
−
1
{\displaystyle f(x)=x^{p-1}}
. Die Umkehrfunktion lautet dann
f
−
1
(
y
)
=
y
q
−
1
{\displaystyle f^{-1}(y)=y^{q-1}}
. Die Gleichheitsbedingung
a
p
−
1
=
b
{\displaystyle a^{p-1}=b}
ist äquivalent zu
a
p
=
b
q
{\displaystyle a^{p}=b^{q}}
.
Ohne Einschränkung seien
a
,
b
>
0
{\displaystyle a,b>0}
. Wegen
d
2
d
x
2
e
x
=
e
x
>
0
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}x^{2}}}~e^{x}=e^{x}>0}
ist die Exponentialfunktion strikt konvex.
Da
1
p
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}\in (0,1)}
und
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
, folgt
a
b
=
e
ln
(
a
)
e
ln
(
b
)
=
e
1
p
ln
(
a
p
)
+
1
q
ln
(
b
q
)
≤
1
p
e
ln
(
a
p
)
+
1
q
e
ln
(
b
q
)
=
a
p
p
+
b
q
q
{\displaystyle ab=e^{\ln(a)}e^{\ln(b)}=e^{{1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})}\leq {1 \over p}e^{\ln(a^{p})}+{1 \over q}e^{\ln(b^{q})}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}}
.
Gleichheit gilt wegen der strikten Konvexität genau dann, wenn
ln
(
a
p
)
=
ln
(
b
q
)
{\displaystyle \ \ln(a^{p})=\ln(b^{q})}
.
als Spezialfall der Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel [ Bearbeiten ]
Setze für
n
=
2
{\displaystyle n=2}
die Summanden
a
p
{\displaystyle a^{p}}
und
b
q
{\displaystyle b^{q}}
und die Gewichte
1
p
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}}
und
1
q
{\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}
. Die Gleichheitsbedingung der arithmetisch-geometrischen Ungleichung überträgt sich unmittelbar.
◻
{\displaystyle \Box }
Skalierte Version des Spezialfalls [ Bearbeiten ]
Für alle
x
,
y
∈
R
,
ε
>
0
,
p
,
q
>
1
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,\varepsilon >0,p,q>1}
mit
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
gilt
|
x
y
|
≤
ε
|
x
|
p
+
(
p
ε
)
1
−
q
q
|
y
|
q
.
{\displaystyle |xy|\leq \varepsilon |x|^{p}+{\frac {(p\varepsilon )^{1-q}}{q}}|y|^{q}.}
Setze im vorigen Spezialfall für
a
:=
(
ε
p
)
1
p
|
x
|
{\displaystyle a:=(\varepsilon p)^{\frac {1}{p}}|x|}
und
b
:=
(
ε
p
)
−
1
p
|
y
|
{\displaystyle b:=(\varepsilon p)^{-{\frac {1}{p}}}|y|}
.
◻
{\displaystyle \Box }