Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: L'Hospitalsche Regel

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Beweisarchiv: Analysis

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Konvexität und Stetigkeit


Der geläufigste Beweis der Regeln von L'Hospital benutzt den Mittelwertsatz von Cauchy.

Voraussetzung[Bearbeiten]

Sei und seien die Funktionen stetig und auf dem offenen Intervall differenzierbar. Es sei und es existiere der Grenzwert

Behauptung[Bearbeiten]

Dann gilt

d.h. der Grenzwert links existiert und hat den angegebenen Wert.

Beweis[Bearbeiten]

Wir dürfen und nach fortsetzen, indem wir setzen. Nach Voraussetzung sind die Funktionen dann auch in stetig.

Damit existiert, darf für keine gegen konvergente Folge von Stellen der Nenner sein, insb. gibt es ein mit für .

Für sind also auf stetig, auf differenzierbar und verschwindet nirgends in . Es darf daher der (erweiterte) Mittelwertsatz der Differentialrechnung angewendet werden, d.h. es gibt zu jedem mit ein mit , so dass gilt:

,

hierbei Letzteres wegen .

Wenn , dann , also

,

was zu zeigen war.

Eine andere Version der Regel von L'Hospital, die nicht sofort aus der eben gezeigten folgt, ist die folgende:

Voraussetzung[Bearbeiten]

Sei und seien die Funktionen auf dem offenen Intervall stetig und differenzierbar. Es sei und es existiere der Grenzwert

Behauptung[Bearbeiten]

Dann gilt

d.h. der Grenzwert links existiert und hat den angegebenen Wert.

Beweis[Bearbeiten]

Für jedes gibt es ein , sodass

Weil gegen divergiert, gibt es ein mit

Nun definieren wir eine neue Funktion mittels

Nach Wahl von ist der Nenner niemals Null, die Funktion ist also sinnvoll definiert.

Nun gilt für alle :

Dies lösen wir nach auf und erhalten:

Nun nehmen wir den Betrag auf beiden Seiten und erhalten mit der Dreiecksungleichung:

Wir müssen nun noch zeigen, dass dieser Ausdruck kleiner als wird, wenn groß genug wird.

Weil gegen unendlich geht, erhalten wir die folgenden Grenzwerte:

und .

Weil gegen 1 konvergiert, wird es irgendwann kleiner als 2 sein. Und weil gegen 0 konvergiert, wird es irgendwann kleiner als sein. Kombinieren wir diese beiden Ideen, so wissen wir, dass es ein gibt, sodass für alle die beiden folgenden Abschätzungen gelten:

und .

Nun, wo wir die Zahl fixiert haben, sei eine beliebige reelle Zahl größer als . Dann gilt:

Der Ausdruck wird nun mit Cauchy's Mittelwertsatz behandelt:

Die Zahl liegt irgendwo zwischen und und die letzte Abschätzung folgt aus der Definition von am Beginn dieses Beweises.

Zusammengefasst heißt das nun, dass wir für jedes eine Zahl konstruiert haben, sodass für alle gilt:

Das war zu zeigen.