Beweisarchiv: Analysis: Konvexe Funktionen und Stetigkeit

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Beweisarchiv: Analysis

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Konvexität und Stetigkeit


Diese beiden Beweise behandeln den Zusammenhang von Konvexität und Stetigkeit von reellwertigen Funktionen auf topologischen Vektorräumen.

Eine schwächere Definition der Konvexität[Bearbeiten]

Sei eine reellwertige Funktion auf einer konvexen Teilmenge eines reellen topologischen Vektorraums. Ist stetig, so reicht für die Konvexität von bereits die Bedingung, dass ein beliebiges, aber fixes mit existiert, sodass für alle , aus gilt:

Um dies zu sehen, betrachtet man die Menge aller „guten“ , die durch

definiert ist.

Seien nun . Dann gilt auch , denn

Sein nun eine beliebige reelle Zahl mit . Dann lässt sich eine Intervallschachtelung mit konstruieren, die gegen konvergiert: Sei und und mit .

Sei .

Ist , so setzt man , , und es gilt .

Ist , so setzt man , , und es gilt .

sind ebenfalls aus , es gilt und .

Die so konstruierte Intervallschachtelung konvergiert also gegen ; wegen der Stetigkeit von gilt daher . Da beliebig gewählt war, folgt also , und ist konvex.

Stetigkeit beschränkter konvexer Funktionen in normierten Räumen[Bearbeiten]

Setzt man für eine Funktion zusätzlich zur Bedingung, dass für ein fixes die Beziehung

für alle , aus einer konvexen Teilmenge eines normierten Vektorraums gilt, noch voraus, dass nach oben beschränkt ist, so folgt daraus bereits die Stetigkeit von in den inneren Punkten von . Anschaulich wird dies daraus klar, dass man an einer Unstetigkeitsstelle eine beliebig steile Verbindungsgerade zwischen zwei Funktionswerten ziehen kann, wobei die Funktion zwischen den beiden Werten unterhalb der Verbindungsgeraden und außerhalb der beiden Werte oberhalb der Verbindungsgerade liegen muss. Kann die Verbindungsgerade nun beliebig steil werden, so stößt man irgendwann über die obere Schranke der Funktion.

Formal ist der Beweis allerdings etwas komplizierter. Zunächst beachte man, dass aus den obigen Voraussetzungen für natürliche Zahlen und

folgt, dass

bzw.

Sei nun ein beliebiger innerer Punkt von und

eine zur Gänze in enthaltene offene Kugel um . Wäre nun nicht stetig in , so gäbe es ein , so dass für jedes ein existiert, so dass zwar , aber . Sein nun so gewählt, dass

wobei eine obere Schranke für sei. Wählt man nun , so existiert also ein mit

,

aber

Angenommen, . Dann gilt für

Das kann aber nicht sein, da . Daher liegt in , und es muss gelten.

Sei daher . Dann gilt für

Das kann aber auch nicht sein, da . Daher liegt auch in , und es muss ebenfalls gelten.

muss daher stetig in sein.