Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Wir zeigen, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{1+tx^{2}}}e^{-t}dt$

eine glatte Funktion auf den reellen Zahlen ist, deren Taylor-Reihe an der Stelle 0 Konvergenzradius Null hat, insbesondere ist f also nicht analytisch.

Vorüberlegungen

Wir beginnen mit der geometrischen Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}{\hbox{ für alle }}x\in \ ]-1,1[.$

und setzen für $x$ nun $(-x^{2})$ ein:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{2k}={\frac {1}{1+x^{2}}}{\hbox{ für alle }}x\in \ ]-1,1[.$

Dies ist eine Potenzreihendarstellung der Funktion

$h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {1}{1+x^{2}}}.$

in der Umgebung der Null. Folglich ist die Funktion $h$ an der Stelle Null analytisch und die Taylor-Reihe stimmt mit der gegebenen Reihe überein, d.h.

${\frac {h^{(2k)}(0)}{(2k)!}}=(-1)^{k}\quad {\hbox{ und }}\quad {\frac {h^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}}=0.$

Differenzierbarkeit der Funktion f

Diese Hilfsfunktion $h$ verwenden wir nun, um die Definition der eigentlichen Funktion $f$ umzuschreiben:

$f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{1+tx^{2}}}e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }h(x\cdot t^{1/2})e^{-t}dt.$

Da die Funktion h beschränkt ist, folgt sofort die Existenz des uneigentlichen Integrals, d.h. die Funktion f ist schoneinmal sinnvoll definiert. Die Stetigkeit des Integrals folgt nun wahlweise aus dem Satz über parameterabhängige Interale oder aus dem Satz von der majorisierten Konvergenz von Lebesgue.

Mit ähnlichen Argumenten und einem Induktionsargument zeigt man nun, dass f beliebig oft differenzierbar ist und die n-te Ableitung gegeben ist durch die Formel:

$f^{(n)}(x)=\int _{0}^{\infty }h^{(n)}(x\cdot t^{1/2})\cdot t^{n/2}\cdot e^{-t}dt.$

Taylor-Koeffizienten von f

Nun können wir den n-ten Taylorkoeffizienten von f bestimmen. Sei zuerst n gerade, d.h. n=2k:

${\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}={\frac {f^{(2k)}(0)}{(2k)!}}={\frac {1}{(2k)!}}\int _{0}^{\infty }h^{(2k)}(0\cdot t^{1/2})\cdot t^{2k/2}\cdot e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }\underbrace {\frac {h^{(2k)}(0)}{(2k)!}} _{=(-1)^{k}}\cdot t^{k}\cdot e^{-t}dt=(-1)^{k}\underbrace {\int _{0}^{\infty }\cdot t^{k}\cdot e^{-t}dt} _{=k!}=(-1)^{k}\cdot k!.$

Im letzten Schritt haben wir ausgenutzt, dass $\int _{0}^{\infty }t^{k}e^{-t}dt=k!$. Diese Formel erhält man durch k-faches Anwenden der Formel der Partiellen Integration. Sei nun n ungerade, d.h. n=2k+1:

${\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}={\frac {f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}}={\frac {1}{(2k+1)!}}\int _{0}^{\infty }h^{(2k+1)}(0\cdot t^{1/2})\cdot t^{(2k+1)/2}\cdot e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }\underbrace {\frac {h^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}} _{=0}\cdot t^{k+1/2}\cdot e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }0dt=0.$

Divergenz der Taylor-Reihe

Somit wird die Taylor-Reihe von f zu

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(2k)}(0)}{(2k)!}}x^{2k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot k!\cdot x^{2k}.$

Diese Reihe ist für alle $x\not =0$ divergent, wie man sofort mit dem Quotientenkriterium sieht:

$\left|{\frac {(-1)^{(k+1)}\cdot (k+1)!\cdot x^{2(k+1)}}{(-1)^{k}\cdot k!\cdot x^{2k}}}\right|=\left|(-1)\cdot (k+1)\cdot x^{2}\right|=(k+1)\underbrace {|x|^{2}} _{>0}\to +\infty >1{\hbox{ für }}k\to \infty .$

Also ist die Taylor-Reihe für alle x außer 0 divergent, was bedeutet, dass die Reihe Konvergenzradius 0 hat.

Insbesondere konvergiert die Reihe also in keiner Umgebung gegen die Funktion und diese ist insbesondere nicht analytisch. Das war zu zeigen.