Beweisarchiv: Analysis
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Integralrechnung: Gaußsches Integral
Konvexität und Stetigkeit
Wir zeigen, dass die Funktion
f
:
R
→
R
:
x
↦
∫
0
∞
1
1
+
t
x
2
e
−
t
d
t
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{1+tx^{2}}}e^{-t}dt}
eine glatte Funktion auf den reellen Zahlen ist, deren Taylor-Reihe an der Stelle 0 Konvergenzradius Null hat das heißt, f ist nicht analytisch .
Wir beginnen mit der geometrischen Reihe
∑
k
=
0
∞
x
k
=
1
1
−
x
für alle
x
∈
]
−
1
,
1
[
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}{\hbox{ für alle }}x\in \ ]-1,1[.}
und setzen für
x
{\displaystyle x}
nun
(
−
x
2
)
{\displaystyle (-x^{2})}
ein:
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
2
k
=
1
1
+
x
2
für alle
x
∈
]
−
1
,
1
[
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{2k}={\frac {1}{1+x^{2}}}{\hbox{ für alle }}x\in \ ]-1,1[.}
Dies ist eine Potenzreihendarstellung der Funktion
h
:
R
→
R
:
x
↦
1
1
+
x
2
.
{\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {1}{1+x^{2}}}.}
in der Umgebung der Null. Folglich ist die Funktion
h
{\displaystyle h}
an der Stelle Null analytisch und die Taylor-Reihe stimmt mit der gegebenen Reihe überein, d.h.
h
(
2
k
)
(
0
)
(
2
k
)
!
=
(
−
1
)
k
und
h
(
2
k
+
1
)
(
0
)
(
2
k
+
1
)
!
=
0.
{\displaystyle {\frac {h^{(2k)}(0)}{(2k)!}}=(-1)^{k}\quad {\hbox{ und }}\quad {\frac {h^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}}=0.}
Differenzierbarkeit der Funktion f [ Bearbeiten ]
Diese Hilfsfunktion
h
{\displaystyle h}
verwenden wir nun, um die Definition der eigentlichen Funktion
f
{\displaystyle f}
umzuschreiben:
f
(
x
)
=
∫
0
∞
1
1
+
t
x
2
e
−
t
d
t
=
∫
0
∞
h
(
t
1
/
2
⋅
x
)
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{1+tx^{2}}}e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }h(t^{1/2}\cdot x)e^{-t}dt.}
Da die Funktion h beschränkt ist, folgt sofort die Existenz des uneigentlichen Integrals, d.h. die Funktion f ist schoneinmal sinnvoll definiert. Die Stetigkeit des Integrals folgt nun wahlweise aus dem Satz über parameterabhängige Interale oder aus dem Satz von der majorisierten Konvergenz von Lebesgue .
Mit ähnlichen Argumenten und einem Induktionsargument zeigt man nun, dass f beliebig oft differenzierbar ist und die n-te Ableitung gegeben ist durch die Formel:
f
(
n
)
(
x
)
=
∫
0
∞
h
(
n
)
(
t
1
/
2
⋅
x
)
⋅
t
n
/
2
⋅
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle f^{(n)}(x)=\int _{0}^{\infty }h^{(n)}(t^{1/2}\cdot x)\cdot t^{n/2}\cdot e^{-t}dt.}
Taylor-Koeffizienten von f [ Bearbeiten ]
Nun können wir den n-ten Taylorkoeffizienten von f bestimmen. Sei zuerst n gerade, d.h. n=2k:
f
(
n
)
(
0
)
n
!
=
f
(
2
k
)
(
0
)
(
2
k
)
!
=
1
(
2
k
)
!
∫
0
∞
h
(
2
k
)
(
0
⋅
t
1
/
2
)
⋅
t
2
k
/
2
⋅
e
−
t
d
t
=
∫
0
∞
h
(
2
k
)
(
0
)
(
2
k
)
!
⏟
=
(
−
1
)
k
⋅
t
k
⋅
e
−
t
d
t
=
(
−
1
)
k
∫
0
∞
t
k
⋅
e
−
t
d
t
⏟
=
k
!
=
(
−
1
)
k
⋅
k
!
.
{\displaystyle {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}={\frac {f^{(2k)}(0)}{(2k)!}}={\frac {1}{(2k)!}}\int _{0}^{\infty }h^{(2k)}(0\cdot t^{1/2})\cdot t^{2k/2}\cdot e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }\underbrace {\frac {h^{(2k)}(0)}{(2k)!}} _{=(-1)^{k}}\cdot t^{k}\cdot e^{-t}dt=(-1)^{k}\underbrace {\int _{0}^{\infty }t^{k}\cdot e^{-t}dt} _{=k!}=(-1)^{k}\cdot k!.}
Im letzten Schritt haben wir ausgenutzt, dass
∫
0
∞
t
k
e
−
t
d
t
=
k
!
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{k}e^{-t}dt=k!}
. Diese Formel erhält man durch k-faches Anwenden der Formel der Partiellen Integration .
Sei nun n ungerade, d.h. n=2k+1:
f
(
n
)
(
0
)
n
!
=
f
(
2
k
+
1
)
(
0
)
(
2
k
+
1
)
!
=
1
(
2
k
+
1
)
!
∫
0
∞
h
(
2
k
+
1
)
(
0
⋅
t
1
/
2
)
⋅
t
(
2
k
+
1
)
/
2
⋅
e
−
t
d
t
=
∫
0
∞
h
(
2
k
+
1
)
(
0
)
(
2
k
+
1
)
!
⏟
=
0
⋅
t
k
+
1
/
2
⋅
e
−
t
d
t
=
∫
0
∞
0
d
t
=
0.
{\displaystyle {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}={\frac {f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}}={\frac {1}{(2k+1)!}}\int _{0}^{\infty }h^{(2k+1)}(0\cdot t^{1/2})\cdot t^{(2k+1)/2}\cdot e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }\underbrace {\frac {h^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}} _{=0}\cdot t^{k+1/2}\cdot e^{-t}dt=\int _{0}^{\infty }0dt=0.}
Divergenz der Taylor-Reihe [ Bearbeiten ]
Somit wird die Taylor-Reihe von f zu
∑
k
=
0
∞
f
(
2
k
)
(
0
)
(
2
k
)
!
x
2
k
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
⋅
k
!
⋅
x
2
k
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(2k)}(0)}{(2k)!}}x^{2k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot k!\cdot x^{2k}.}
Diese Reihe ist für alle
x
≠
0
{\displaystyle x\not =0}
divergent, wie man sofort mit dem Quotientenkriterium sieht:
|
(
−
1
)
(
k
+
1
)
⋅
(
k
+
1
)
!
⋅
x
2
(
k
+
1
)
(
−
1
)
k
⋅
k
!
⋅
x
2
k
|
=
|
(
−
1
)
⋅
(
k
+
1
)
⋅
x
2
|
=
(
k
+
1
)
|
x
|
2
⏟
>
0
→
+
∞
>
1
für
k
→
∞
.
{\displaystyle \left|{\frac {(-1)^{(k+1)}\cdot (k+1)!\cdot x^{2(k+1)}}{(-1)^{k}\cdot k!\cdot x^{2k}}}\right|=\left|(-1)\cdot (k+1)\cdot x^{2}\right|=(k+1)\underbrace {|x|^{2}} _{>0}\to +\infty >1{\hbox{ für }}k\to \infty .}
Also ist die Taylor-Reihe für alle x außer 0 divergent, was bedeutet, dass die Reihe Konvergenzradius 0 hat.
Insbesondere konvergiert die Reihe also in keiner Umgebung gegen die Funktion und diese ist insbesondere nicht analytisch. Das war zu zeigen.