Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Produktformel von Vieta

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Beweisarchiv: Analysis

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Im Folgenden wird die Produktformel von Vieta sowie damit zusammenhängende Aussagen und Darstellungen bewiesen.

Zu beweisende Aussagen[Bearbeiten]

Formel von Vieta[Bearbeiten]

Mit der durch

rekursiv definierten Zahlenfolge gilt:

Ausgeschrieben mit den ersten Faktoren lautet das unendliche Produkt:

Darstellung von Euler[Bearbeiten]

Die Produktformel von Vieta ergibt sich als Spezialfall aus folgendem Resultat von Euler (s. Beweis unten) durch Einsetzen von :

Insbesondere resultiert hieraus folgende alternative, direkte Darstellung für die Glieder der Zahlenfolge (s.o.):

Produktfreie Darstellung[Bearbeiten]

Durch weitere Umformungen und Vereinfachungen erhält man aus der Produktformel von Vieta eine produktfreie Darstellung[1].

Definiere hierzu die rekursive Folge

und aufbauend die Folge

Dann gilt:

Die ersten Glieder der Folge lauten:

Beweise[Bearbeiten]

Beweis der Darstellung von Euler[Bearbeiten]

Der im folgenden präsentierte Beweis basiert auf Additionstheoremen aus der Trigonometrie und einer elementaren Grenzwertbetrachtung:

Wegen

und

hat man zunächst

Andererseits erhält man mit Hilfe der Verdopplungsformel für den Sinus induktiv:

Zusammenfassen dieser beiden Aussagen führt auf folgende Darstellung, die auf Euler zurückgeht:

Analytischer Beweis der Produktformel von Vieta[Bearbeiten]

Durch Einsetzen von in die Eulersche Darstellung erhält man speziell:

Es bleibt nur noch zu zeigen, dass die Kosinus-Faktoren in dieser Produktdarstellung mit den rekursiv definierten übereinstimmen, d.h.

Es wichtig zu betonen, dass man hierbei keine nähre Kenntnis über den exakten Verlauf der Kosinus-Funktion benötigt.

Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion:

1. Schritt: Nachweis für

Diesen speziellen Wert des Kosinus kann man mittels elementarer geometrischer Überlegungen gewinnen.

2. Schritt: Schluss von auf

Die letzte Umformung im obigen Induktionsschritt beruht auf der Halbierungsformel für den Kosinus.

Beweis der produktfreien Darstellung[Bearbeiten]

Durch Kehrwertbildung und Multiplikation mit 2 folgt aus der Vietaschen Produktformel unmittelbar folgende Produktformel für :

Die Behauptung ist offensichtlich wahr, wenn für die Zahlenfolge

gilt. Dies lässt sich durch vollständige Induktion zeigen:

1. Schritt: Nachweis für

2. Schritt: Schluss von auf

Referenzen[Bearbeiten]

  1. J. Munkhammar, pers. comm., 27. April 2000

Siehe auch[Bearbeiten]