Beweisarchiv: Analysis
- Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung
- Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta · 1/n ist eine Nullfolge · Grundeigenschaften konvergenter Folgen
- Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null · Charakterisierung konstanter Funktionen · Festlegbarkeit der Stammfunktion · Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Integralrechnung: Gaußsches Integral
- Konvexität und Stetigkeit
Im Folgenden wird die Produktformel von Vieta sowie damit zusammenhängende Aussagen und Darstellungen bewiesen.
Mit der durch
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&:={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\\a_{n}&:={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2a_{n-1}}}\qquad n\geq 2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ac67104a278a50f0e8b5e7d9cb18e26108ac53)
rekursiv definierten Zahlenfolge
gilt:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdots ={\frac {2}{\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3679f99a1eb03e3e991261ddeb52c88a22fe9ded)
Ausgeschrieben mit den ersten Faktoren lautet das unendliche Produkt:
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\cdot \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\cdot \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\right)\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f72220bad377bfa703841abe12d63d42f47496)
Die Produktformel von Vieta ergibt sich als Spezialfall aus folgendem Resultat von Euler (s. Beweis unten)
durch Einsetzen von
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin(x)}{x}}&=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {x}{2^{i}}}\right)=\cos \left({\frac {x}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {x}{4}}\right)\cdot \cos \left({\frac {x}{8}}\right)\cdots \\{\frac {2}{\pi }}&=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi }{2^{i+1}}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{8}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{16}}\right)\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6389d15cc5955826bbcf672d1020b95653db20ff)
Insbesondere resultiert hieraus folgende alternative, direkte Darstellung für die Glieder der Zahlenfolge
(s.o.):
![{\displaystyle a_{n}=\cos \left({\frac {\pi }{2^{n+1}}}\right)\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;n\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb89a8f0750a24006c4d36e8d5be69bc2f4d767)
Durch weitere Umformungen und Vereinfachungen erhält man aus der Produktformel von Vieta eine produktfreie Darstellung[1].
Definiere hierzu die rekursive Folge
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&:=0\\b_{n}&:={\sqrt {2+b_{n-1}}}\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;n\geq 1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fec61960b866f77dd0a8cba4c42a9abbbf9465)
und aufbauend die Folge
![{\displaystyle c_{n}=2^{n}{\sqrt {2-b_{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b83743f06dc6a9713b013eee222c1b751194208)
Dann gilt:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{(n-1)-\mathrm {fache} \;\;\mathrm {Schachtelung} }}}=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0c2c66935ee8cd74a88e041a4e0b370505a747)
Die ersten Glieder der Folge
lauten:
![{\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=2\cdot {\sqrt {2}}\\c_{2}&=4\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\\c_{2}&=8\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fae5bdae89444ebbede47d2a33087acfce870a)
![{\displaystyle \vdots \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e535ef75ff9665b4b987f5419f17e691f95b2e2)
Der im folgenden präsentierte Beweis basiert auf Additionstheoremen aus der Trigonometrie und einer elementaren Grenzwertbetrachtung:
Wegen
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{t\to 0}{\frac {\sin t}{t}}=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcc45306011a5bf2ef1712d6d767f091a9b402f)
und
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{n}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)&=x\cdot \left({\frac {\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}{\frac {x}{2^{n}}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f5cc37d363afdde6353c3c03c811f3adb9606b)
hat man zunächst
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }2^{n}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)&=x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fa793ca3f2d5678d709040220a2175561a51a0)
Andererseits erhält man mit Hilfe der Verdopplungsformel für den Sinus induktiv:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=2\cdot \sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left({\frac {x}{2}}\right)\\&=2\cdot \left(2\cdot \sin \left({\frac {x}{4}}\right)\cos \left({\frac {x}{4}}\right)\right)\cdot \cos \left({\frac {x}{2}}\right)=2^{2}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{2}}}\right)\cdot \prod _{i=1}^{2}\cos \left({\frac {x}{2^{i}}}\right)\\&\qquad \vdots \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \vdots \\&=2^{n}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)\cdot \prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {x}{2^{i}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9caed4929fb8c26ab54f13d944c3ca71820f284)
Zusammenfassen dieser beiden Aussagen führt auf folgende Darstellung, die auf Euler zurückgeht:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {x}{2^{i}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b04e68400925d9aeb3021da6fce1dabb8579cf)
Durch Einsetzen von
in die Eulersche Darstellung erhält man speziell:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}&=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi }{2^{i+1}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaeada3a49b408bc3346188a6f6b957260a45568)
Es bleibt nur noch zu zeigen, dass die Kosinus-Faktoren in dieser Produktdarstellung mit den rekursiv definierten
übereinstimmen, d.h.
![{\displaystyle a_{n}=\cos \left({\frac {\pi }{2^{n+1}}}\right)\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;n\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb89a8f0750a24006c4d36e8d5be69bc2f4d767)
Es wichtig zu betonen, dass man hierbei keine nähre Kenntnis über den exakten Verlauf der Kosinus-Funktion benötigt.
Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion:
1. Schritt: Nachweis für
![{\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{2^{2}}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{2^{1+1}}}\right)\qquad \checkmark }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1f3ebf80ea1808a0b5a40344700fa8364db3b0)
Diesen speziellen Wert des Kosinus kann man mittels elementarer geometrischer Überlegungen gewinnen.
2. Schritt: Schluss von
auf
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2a_{n}}}\\&={\sqrt {\frac {1+a_{n}}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {1+\cos \left({\frac {\pi }{2^{n+1}}}\right)}{2}}}\qquad \mathrm {(Induktionsvoraussetzung)} \\&=\cos \left({\frac {\pi }{2^{n+2}}}\right)\qquad \checkmark \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467569ac592c2d5ef138a6a66b860c571b17c63a)
Die letzte Umformung im obigen Induktionsschritt beruht auf der Halbierungsformel für den Kosinus.
Durch Kehrwertbildung und Multiplikation mit 2 folgt aus der Vietaschen Produktformel
unmittelbar folgende Produktformel für
:
![{\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }2\cdot \prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6262a8daa59be4afb2e54500194495b78893f4)
Die Behauptung ist offensichtlich wahr, wenn für die Zahlenfolge
![{\displaystyle c_{n}=2\cdot \prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4538123640c503ab28392d91cc28f438df307c48)
gilt. Dies lässt sich durch vollständige Induktion zeigen:
1. Schritt: Nachweis für
![{\displaystyle 2\cdot {\frac {1}{a_{1}}}=2\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}=2{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2-0}}=2{\sqrt {2-b_{0}}}=c_{1}\qquad \checkmark }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5871f591878e894db0cc3433e38a4438938e1da)
2. Schritt: Schluss von
auf
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cdot \prod _{i=1}^{n+1}{\frac {1}{a_{i}}}&={\Bigl (}\underbrace {2\cdot \prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}} _{=c_{n}}{\Bigr )}\cdot {\frac {1}{a_{n+1}}}=c_{n}\cdot {\frac {1}{a_{n+1}}}\\&=2^{n}{\sqrt {2-b_{n-1}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2a_{n}}}}}\\&=2^{n+1}{\sqrt {2-b_{n-1}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2+2a_{n}}}}\\&=2^{n+1}{\sqrt {2-b_{n-1}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2+b_{n}}}}\qquad \qquad (\mathrm {wegen} \;b_{n}=2a_{n})\\&=2^{n+1}{\sqrt {2-(b_{n}^{2}-2)}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2+b_{n}}}}\qquad (\mathrm {folgt} \;\mathrm {aus} \;\mathrm {Umformen} \;\mathrm {der} \;\mathrm {rekursiven} \;\mathrm {Definition} \;\mathrm {von} \;b_{n})\\&=2^{n+1}{\sqrt {4-b_{n}^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2+b_{n}}}}\\&=2^{n+1}{\sqrt {(2+b_{n})(2-b_{n})}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2+b_{n}}}}\\&=2^{n+1}{\sqrt {2-b_{n}}}=c_{n+1}\qquad \checkmark \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b069964f71b19c7d627953f1c04ca6d0895e2f)
- ↑ J. Munkhammar, pers. comm., 27. April 2000