Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Mittelwertsatz

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Beweisarchiv: Analysis

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Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung verallgemeinert den Satz von Rolle u.a. auf beliebige Sekantensteigungen. Hier wird zunächst der erweiterte Mittelwertsatz gezeigt, der den einfachen als Spezialfall bzw. Korollar enthält.

Voraussetzung[Bearbeiten]

Sei und die Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall stetig sowie auf dem offenen Intervall differenzierbar.

Behauptung[Bearbeiten]

Dann gibt es ein mit

Hat in keine Nullstelle, so gilt für dieses auch

Beweis[Bearbeiten]

Betrachte die Funktion die gegeben ist durch

Dann ist auf stetig und auf differenzierbar mit Ableitung

.

Wir berechnen

sowie

Es ist also und nach dem Satz von Rolle gibt es dann ein mit . Dies bedeutet aber auch

was zu zeigen war.

Hat weiter keine Nullstelle in so gilt wiederum wegen des Satzes von Rolle gewiss nicht . Folglich können wir sowohl durch als auch dividieren und erhalten die Zusatzbehauptung.

Korollar[Bearbeiten]

Sei und die Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall stetig sowie auf dem offenen Intervall differenzierbar. Dann gibt es ein mit

Bemerkung: Oft findet man auch die folgende äquivalente Formulierung (die mutatis mutandis auch für gilt):

Sei auf dem abgeschlossenen Intervall stetig sowie auf dem offenen Intervall differenzierbar. Dann gibt es ein mit

Beweis[Bearbeiten]

Definiere und wende den Satz an.

Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]