Beweisarchiv: Analysis
Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta · 1/n ist eine Nullfolge · Grundeigenschaften konvergenter Folgen Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null · Charakterisierung konstanter Funktionen · Festlegbarkeit der Stammfunktion · Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integralrechnung: Gaußsches Integral Konvexität und Stetigkeit
Sei
a
<
b
{\displaystyle a<b}
f
,
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
Dann gibt es ein
ξ
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle \xi \in (a,b)}
f
′
(
ξ
)
⋅
(
g
(
b
)
−
g
(
a
)
)
=
g
′
(
ξ
)
⋅
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
.
{\displaystyle f'(\xi )\cdot (g(b)-g(a))=g'(\xi )\cdot (f(b)-f(a)).}
Hat
g
′
{\displaystyle g'}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
ξ
{\displaystyle \xi }
f
′
(
ξ
)
g
′
(
ξ
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
.
{\displaystyle {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}
Betrachte die Funktion
h
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
h
(
x
)
=
f
(
x
)
⋅
(
g
(
b
)
−
g
(
a
)
)
−
g
(
x
)
⋅
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
.
{\displaystyle h(x)=f(x)\cdot (g(b)-g(a))-g(x)\cdot (f(b)-f(a)).}
Dann ist
h
{\displaystyle h}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
⋅
(
g
(
b
)
−
g
(
a
)
)
−
g
′
(
x
)
⋅
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
{\displaystyle h'(x)=f'(x)\cdot (g(b)-g(a))-g'(x)\cdot (f(b)-f(a))}
Wir berechnen
h
(
a
)
=
f
(
a
)
⋅
(
g
(
b
)
−
g
(
a
)
)
−
g
(
a
)
⋅
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
=
f
(
a
)
g
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
a
)
−
g
(
a
)
f
(
b
)
+
g
(
a
)
f
(
a
)
=
f
(
a
)
g
(
b
)
−
f
(
b
)
g
(
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}h(a)&=f(a)\cdot (g(b)-g(a))-g(a)\cdot (f(b)-f(a))\\&=f(a)g(b)-f(a)g(a)-g(a)f(b)+g(a)f(a)\\&=f(a)g(b)-f(b)g(a)\end{aligned}}}
sowie
h
(
b
)
=
f
(
b
)
⋅
(
g
(
b
)
−
g
(
a
)
)
−
g
(
b
)
⋅
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
=
f
(
b
)
g
(
b
)
−
f
(
b
)
g
(
a
)
−
g
(
b
)
f
(
b
)
+
g
(
b
)
f
(
a
)
=
f
(
a
)
g
(
b
)
−
f
(
b
)
g
(
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}h(b)&=f(b)\cdot (g(b)-g(a))-g(b)\cdot (f(b)-f(a))\\&=f(b)g(b)-f(b)g(a)-g(b)f(b)+g(b)f(a)\\&=f(a)g(b)-f(b)g(a)\end{aligned}}}
Es ist also
h
(
a
)
=
h
(
b
)
{\displaystyle h(a)=h(b)}
Satz von Rolle gibt es dann ein
ξ
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle \xi \in (a,b)}
h
′
(
ξ
)
=
0
{\displaystyle h'(\xi )=0}
f
′
(
ξ
)
⋅
(
g
(
b
)
−
g
(
a
)
)
=
g
′
(
ξ
)
⋅
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
,
{\displaystyle f'(\xi )\cdot (g(b)-g(a))=g'(\xi )\cdot (f(b)-f(a)),}
was zu zeigen war.
Hat weiter
g
′
{\displaystyle g'}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
g
(
a
)
=
g
(
b
)
{\displaystyle g(a)=g(b)}
g
′
(
ξ
)
{\displaystyle g'(\xi )}
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle g(b)-g(a)}
Sei
a
<
b
{\displaystyle a<b}
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
ξ
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle \xi \in (a,b)}
f
′
(
ξ
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
.
{\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
Bemerkung: Oft findet man auch die folgende äquivalente Formulierung (die mutatis mutandis auch für
h
<
0
{\displaystyle h<0}
Sei
f
:
[
a
,
a
+
h
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,a+h]\to \mathbb {R} }
[
a
,
a
+
h
]
{\displaystyle [a,a+h]}
(
a
,
a
+
h
)
{\displaystyle (a,a+h)}
ϑ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \vartheta \in (0,1)}
f
′
(
a
+
ϑ
h
)
=
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
.
{\displaystyle f'(a+\vartheta h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}
Definiere
g
(
x
)
=
x
{\displaystyle g(x)=x}
![f,g\colon [a,b]\to \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c9cdd885f66cd36e34a6418e28444dfc32ed27)
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46ce7569c8ce5a8b5996b1f85c91c374dcd8617)
![f\colon [a,b]\to \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245)
![{\displaystyle f\colon [a,a+h]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd2a06e849bbb45b7a4f4e9c13a690524970c7a)
![[a,a+h]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f22e0d7755f1c29d2e577ab5a71ef94f668555e)
