Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Grundeigenschaften konvergenter Folgen

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Seien $K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ und sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $K$. Dann gelten:

(a) Die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist beschränkt.

(b) Die Folge der Beträge $(|a_{n}|)_{n\in \mathbb {N} }$ ist wieder konvergent mit $\lim _{n\to \infty }|a_{n}|=|\lim _{n\to \infty }a_{n}|$.

Beweis

Sei $a:=\lim _{n\to \infty }a_{n}\in K$.

(a) Direkter Beweis.

Wir nehmen uns ein $\varepsilon >0$ und finden nach der Definition der Konvergenz einer Folge das $n_{0}\in \mathbb {N}$ mit $|a_{n}-a|<\varepsilon$ für alle $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq n_{0}$. Damit liegt die Folge für $n\geq n_{0}$ ganz im Intervall $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$. Nun definieren wir

$b:=\max(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})$ und

$c:=\min(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})$.

Dann sind $b\in K$ und $c\in K$ und weiterhin $a_{n}\in [b,c]$ für alle $n<n_{0}$.
Die Mengen

$\{a_{n}|n\in \mathbb {N} ,n<n_{0}\}$ und

$\{a_{n}|n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}\}$

sind also beschränkt.
Nun definieren wir
$d:=\max(b,a+\varepsilon )$ und
$e:=\min(c,a-\varepsilon )$.
Damit gilt $a_{n}\in [e,d]$ für alle $n\in \mathbb {N}$, $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist also beschränkt.

(b) Direkter Beweis.

Mit der Definition der Konvergenz und der Konvergenz von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es für alle $\varepsilon >0$ ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ so, dass $|a_{n}-a|<\varepsilon$ gilt für alle $n\geq n_{0}$. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt auch
$||a_{n}|-|\lim _{n\to \infty }a_{n}||=||a_{n}|-|a||\leq |a_{n}-a|<\varepsilon$.
Damit ist $(|a_{n}|)_{n\in \mathbb {N} }\to |a|$ gezeigt.

$\Box$