Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Grundeigenschaften konvergenter Folgen

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Seien $K \in {ℝ, ℂ}$ und sei $(a_{n})_{n \in ℕ}$ eine konvergente Folge in $K$ . Dann gelten:

(a) Die Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

ist beschränkt.

(b) Die Folge der Beträge

(| a_{n} |)_{n \in ℕ}

ist wieder konvergent mit

lim_{n \to \infty} | a_{n} | = | lim_{n \to \infty} a_{n} |

.

Beweis

Sei $a := lim_{n \to \infty} a_{n} \in K$ .

(a) Direkter Beweis.

Wir nehmen uns ein $ε > 0$ und finden nach der Definition der Konvergenz einer Folge das $n_{0} \in ℕ$ mit $| a_{n} - a | < ε$ für alle $n \in ℕ$ mit $n \geq n_{0}$ . Damit liegt die Folge für $n \geq n_{0}$ ganz im Intervall $(a - ε, a + ε)$ . Nun definieren wir

b := max (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1})

und

c := min (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1})

.

Dann sind $b \in K$ und $c \in K$ und weiterhin $a_{n} \in [b, c]$ für alle $n < n_{0}$ .
Die Mengen

{a_{n} | n \in ℕ, n < n_{0}}

und

{a_{n} | n \in ℕ, n \geq n_{0}}

sind also beschränkt.
Nun definieren wir
$d := max (b, a + ε)$ und
$e := min (c, a - ε)$ .
Damit gilt $a_{n} \in [e, d]$ für alle $n \in ℕ$ , $(a_{n})_{n \in ℕ}$ ist also beschränkt.

(b) Direkter Beweis.

Mit der Definition der Konvergenz und der Konvergenz von $(a_{n})_{n \in ℕ}$ gibt es für alle $ε > 0$ ein $n_{0} \in ℕ$ so, dass $| a_{n} - a | < ε$ gilt für alle $n \geq n_{0}$ . Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt auch
$| | a_{n} | - | lim_{n \to \infty} a_{n} | | = | | a_{n} | - | a | | \leq | a_{n} - a | < ε$ .
Damit ist $(| a_{n} |)_{n \in ℕ} \to | a |$ gezeigt.

◻