Beweisarchiv: Analysis
Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung
Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta · 1/n ist eine Nullfolge · Grundeigenschaften konvergenter Folgen
Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null · Charakterisierung konstanter Funktionen · Festlegbarkeit der Stammfunktion · Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Integralrechnung: Gaußsches Integral
Konvexität und Stetigkeit
Seien
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
und sei
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
eine konvergente Folge in
K
{\displaystyle K}
. Dann gelten:
(a) Die Folge
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
ist beschränkt.
(b) Die Folge der Beträge
(
|
a
n
|
)
n
∈
N
{\displaystyle (|a_{n}|)_{n\in \mathbb {N} }}
ist wieder konvergent mit
lim
n
→
∞
|
a
n
|
=
|
lim
n
→
∞
a
n
|
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }|a_{n}|=|\lim _{n\to \infty }a_{n}|}
.
Sei
a
:=
lim
n
→
∞
a
n
∈
K
{\displaystyle a:=\lim _{n\to \infty }a_{n}\in K}
.
(a) Direkter Beweis.
Wir nehmen uns ein
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
und finden nach der Definition der Konvergenz einer Folge das
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
mit
|
a
n
−
a
|
<
ε
{\displaystyle |a_{n}-a|<\varepsilon }
für alle
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
mit
n
≥
n
0
{\displaystyle n\geq n_{0}}
. Damit liegt die Folge für
n
≥
n
0
{\displaystyle n\geq n_{0}}
ganz im Intervall
(
a
−
ε
,
a
+
ε
)
{\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}
. Nun definieren wir
b
:=
max
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
−
1
)
{\displaystyle b:=\max(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})}
und
c
:=
min
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
−
1
)
{\displaystyle c:=\min(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})}
.
Dann sind
b
∈
K
{\displaystyle b\in K}
und
c
∈
K
{\displaystyle c\in K}
und weiterhin
a
n
∈
[
b
,
c
]
{\displaystyle a_{n}\in [b,c]}
für alle
n
<
n
0
{\displaystyle n<n_{0}}
.
Die Mengen
{
a
n
|
n
∈
N
,
n
<
n
0
}
{\displaystyle \{a_{n}|n\in \mathbb {N} ,n<n_{0}\}}
und
{
a
n
|
n
∈
N
,
n
≥
n
0
}
{\displaystyle \{a_{n}|n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}\}}
sind also beschränkt.
Nun definieren wir
d
:=
max
(
b
,
a
+
ε
)
{\displaystyle d:=\max(b,a+\varepsilon )}
und
e
:=
min
(
c
,
a
−
ε
)
{\displaystyle e:=\min(c,a-\varepsilon )}
.
Damit gilt
a
n
∈
[
e
,
d
]
{\displaystyle a_{n}\in [e,d]}
für alle
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
,
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
ist also beschränkt.
(b) Direkter Beweis.
Mit der Definition der Konvergenz und der Konvergenz von
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
gibt es für alle
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
ein
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
so, dass
|
a
n
−
a
|
<
ε
{\displaystyle |a_{n}-a|<\varepsilon }
gilt für alle
n
≥
n
0
{\displaystyle n\geq n_{0}}
.
Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt auch
|
|
a
n
|
−
|
lim
n
→
∞
a
n
|
|
=
|
|
a
n
|
−
|
a
|
|
≤
|
a
n
−
a
|
<
ε
{\displaystyle ||a_{n}|-|\lim _{n\to \infty }a_{n}||=||a_{n}|-|a||\leq |a_{n}-a|<\varepsilon }
.
Damit ist
(
|
a
n
|
)
n
∈
N
→
|
a
|
{\displaystyle (|a_{n}|)_{n\in \mathbb {N} }\to |a|}
gezeigt.
◻
{\displaystyle \Box }