Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Grundeigenschaften konvergenter Folgen

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Beweisarchiv: Analysis

Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung
Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta · 1/n ist eine Nullfolge · Grundeigenschaften konvergenter Folgen
Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null · Charakterisierung konstanter Funktionen · Festlegbarkeit der Stammfunktion · Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Integralrechnung: Gaußsches Integral
Konvexität und Stetigkeit

Seien und sei eine konvergente Folge in . Dann gelten:

(a) Die Folge ist beschränkt.
(b) Die Folge der Beträge ist wieder konvergent mit .

Beweis[Bearbeiten]

Sei .

(a) Direkter Beweis.

Wir nehmen uns ein und finden nach der Definition der Konvergenz einer Folge das mit für alle mit . Damit liegt die Folge für ganz im Intervall . Nun definieren wir

und
.

Dann sind und und weiterhin für alle .
Die Mengen

und

sind also beschränkt.
Nun definieren wir
und
.
Damit gilt für alle , ist also beschränkt.

(b) Direkter Beweis.

Mit der Definition der Konvergenz und der Konvergenz von gibt es für alle ein so, dass gilt für alle . Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt auch
.
Damit ist gezeigt.