Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Kriterien für lokale Extrema

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Beweisarchiv: Analysis

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Die Kriterien für lokale Minima und Maxima sind das A und O der „Alltagsarbeit“ mit Ableitungen, etwa bei Kurvendiskussionen.

Zur Logik: Der hier gezeigte Beweis für das hinreichende Kriterium verwendet den Zwischenwertsatz, der mit dem Satz von Rolle bewiesen wird, der wiederum das notwendige Kriterium benutzt. Die Beweiskette ist also nicht zirkulär, auch wenn von hier auf die spätern Beweise verwiesen wird.

Notwendiges Kriterium[Bearbeiten]

Sei in differenzierbar. Falls in ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum hat, gilt

Beweis[Bearbeiten]

Wir betrachten zunächst den Fall, dass ein lokales Minimum vorliegt (der Beweis für ein Maximum verläuft analog oder man betrachte ), d.h. es gibt ein mit , , so dass für alle mit folgt: .

Wäre , so gäbe es – nach der Definition der Ableitung als Grenzwert – zu ein mit

für alle mit .

Ist aber zusätzlich , so gilt , d.h. der Differenzenquotient ist entweder 0 oder hat dasselbe Vorzeichen wie . Da jedoch unter den Einschränkungen durchaus das entgegengesetzte Vorzeichen haben kann (wähle etwa für hinreichend großes ), ist die linke Seite in (1) für entsprechende nicht , sondern , es ergibt sich ein Widerspruch. Somit gilt , was zu zeigen war.

Hinreichendes Kriterium[Bearbeiten]

Sei auf stetig und differenzierbar und in zweimal differenzierbar und es sei . Falls , so hat in ein striktes lokales Minimum. Falls , so hat in ein striktes lokales Maximum.

Beweis[Bearbeiten]

Sei zunächst und .

Zu gibt es dann ein , so dass für alle mit gilt:

also insbesondere

Im Folgenden schreiben wir , falls und dasselbe Vorzeichen haben. Es gilt wegen (2) demnach

, falls .

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt

für ein . Dann haben für die folgenden Zahlen gleiche Vorzeichen:

Der erste Schritt folgt wegen und der zweite aus (3) wegen . Dies ist jedoch nur möglich, wenn der Zähler positiv ist, also gilt:

, für alle mit .

Mit anderen Worten: hat in ein striktes lokales Minimum.

Der Beweis für lokale Maxima erfolgt analog, bzw. indem man durch ersetzt.

Hinreichendes Kriterium bei höheren verschwindenden Ableitungen[Bearbeiten]

Sei , und auf stetig und -mal stetig differenzierbar sowie in -mal differenzierbar. Für die Ableitungen an der Stelle gelte .

Dann liegt in ein striktes lokales Minimum vor, falls , und ein striktes lokales Maximum, falls .

Beweis[Bearbeiten]

Wir benutzen den

Hilfssatz: Sei und stetig und zweimal stetig differenzierbar, sei und es habe in ein striktes lokales Minimum (Maximum). Dann hat auch in ein striktes lokales Minimum (Maximum).

Beweis: Für betragsmäßig hinreichend kleine ist nach dem Mittelwertsatz

für ein (von abhängiges) . Erneut nach dem Mittelwertsatz ist unter Benutzung von

für ein . Insgesamt ergibt sich

Hat ein striktes lokales Minimum (Maximum), so ist die rechte Seite wegen für hinreichend kleines strikt positiv (negativ) und folglich hat in ein striktes lokales Minimum (Maximum). Damit ist der Hilfsatz bewiesen.


Das Behauptung folgt nun rasch durch Induktion nach : Der Fall ist das weiter oben bewiesene hinreichende Kriterium und der Schritt ergibt sich, indem man das Kriterium mit auf statt anwendet und dann den Hilfssatz benutzt.