Beweisarchiv: Analysis
Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta · 1/n ist eine Nullfolge · Grundeigenschaften konvergenter Folgen Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null · Charakterisierung konstanter Funktionen · Festlegbarkeit der Stammfunktion · Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integralrechnung: Gaußsches Integral Konvexität und Stetigkeit
Seien
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
a
<
b
{\displaystyle a<b}
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
F
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }
F
′
=
f
{\displaystyle F'=f}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}
Seien
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
G
:
[
a
,
b
]
→
R
;
x
↦
∫
a
x
f
(
y
)
d
y
{\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} ;x\mapsto \int _{a}^{x}f(y)\mathrm {d} y}
h
∈
R
{\displaystyle h\in \mathbb {R} }
h
≠
0
{\displaystyle h\neq 0}
x
+
h
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x+h\in [a,b]}
m
h
:=
min
{
f
(
y
)
;
|
y
−
x
|
≤
h
,
y
∈
[
a
,
b
]
}
{\displaystyle m_{h}:=\min\{f(y);|y-x|\leq h,y\in [a,b]\}}
M
h
:=
max
{
f
(
y
)
;
|
y
−
x
|
≤
h
,
y
∈
[
a
,
b
]
}
{\displaystyle M_{h}:=\max\{f(y);|y-x|\leq h,y\in [a,b]\}}
G
(
x
+
h
)
−
G
(
x
)
=
∫
a
x
+
h
f
(
y
)
d
y
−
∫
a
x
f
(
y
)
d
y
=
∫
x
x
+
h
f
(
y
)
d
y
{\displaystyle G(x+h)-G(x)=\int _{a}^{x+h}f(y)\mathrm {d} y-\int _{a}^{x}f(y)\mathrm {d} y=\int _{x}^{x+h}f(y)\mathrm {d} y}
Wegen
m
h
≤
1
h
∫
x
x
+
h
f
(
y
)
d
y
≤
M
h
{\displaystyle m_{h}\leq {\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(y)\mathrm {d} y\leq M_{h}}
gilt
m
h
≤
G
(
x
+
h
)
−
G
(
x
)
h
≤
M
h
{\displaystyle m_{h}\leq {\frac {G(x+h)-G(x)}{h}}\leq M_{h}}
Da
f
{\displaystyle f}
ϵ
−
δ
{\displaystyle \epsilon -\delta }
ϵ
∈
R
{\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} }
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
∈
R
{\displaystyle \delta \in \mathbb {R} }
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
|
f
(
y
)
−
f
(
x
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(y)-f(x)|<\epsilon }
y
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle y\in [a,b]}
|
y
−
x
|
<
δ
{\displaystyle |y-x|<\delta }
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
h
>
0
{\displaystyle h>0}
M
h
−
m
h
<
ϵ
{\displaystyle M_{h}-m_{h}<\epsilon }
G
{\displaystyle G}
x
{\displaystyle x}
G
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
x
+
h
∈
[
a
,
b
]
G
(
x
+
h
)
−
G
(
x
)
h
=
f
(
x
)
{\displaystyle G'(x)=\lim _{h\to 0 \atop x+h\in [a,b]}{\frac {G(x+h)-G(x)}{h}}=f(x)}
Damit ist
G
{\displaystyle G}
f
{\displaystyle f}
F
:
I
→
R
{\displaystyle F:I\to \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
Charakterisierung konstanter Funktionen eine Konstante
C
∈
R
{\displaystyle C\in \mathbb {R} }
F
(
x
)
=
G
(
x
)
+
C
{\displaystyle F(x)=G(x)+C}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
G
(
b
)
+
C
−
G
(
a
)
−
C
=
G
(
b
)
−
G
(
a
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
∫
a
a
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(b)-F(a)=G(b)+C-G(a)-C=G(b)-G(a)=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x-\int _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
◻
{\displaystyle \Box }
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
![{\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cacd74b0bb95ed9ddf45676b1ad0f3d618c4cdc)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
![{\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} ;x\mapsto \int _{a}^{x}f(y)\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5a53172a30676a4764898937d317ff316cb772)
![{\displaystyle x+h\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4df501f24543eac232a9320622d9dd52d575e6)
![{\displaystyle m_{h}:=\min\{f(y);|y-x|\leq h,y\in [a,b]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba871a4200ba7c69c823e1f7c6b70c5e96081d2)
![{\displaystyle M_{h}:=\max\{f(y);|y-x|\leq h,y\in [a,b]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812941503959004c6e7a908ad889c508380b050f)
![{\displaystyle y\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75e8e479f1bfc894a4d97e7ce962e687a1fee29)
![{\displaystyle G'(x)=\lim _{h\to 0 \atop x+h\in [a,b]}{\frac {G(x+h)-G(x)}{h}}=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91eab5d7b5eeecda85efe3117d6bcd667afb612b)
