Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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Beweisarchiv: Analysis

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Integralrechnung: Gaußsches Integral
Konvexität und Stetigkeit


Satz[Bearbeiten]

Seien mit und stetig. Sei stetig differenzierbar mit der Ableitung . Dann gilt für das Riemann-Integral

.

Beweis[Bearbeiten]

Seien und . Sei mit und und definiere , . Dann gilt nach den Rechenregeln fürs Riemann-Integral

.

Wegen

gilt

.

Da stetig ist, existiert nach dem -Kriterium nun für jedes mit ein mit mit für alle mit . Mit anderen Worten existiert für jedes ein mit . Damit ist am Punkt differenzierbar mit

.

Damit ist eine Stammfunktion von .
Sei nun eine Stammfunktion von . Dann existiert nach der Charakterisierung konstanter Funktionen eine Konstante mit für alle . Damit gilt erneut nach den Rechenregeln fürs Riemann-Integral

.