Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenztheorie: Satz von Picard-Lindelöf

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Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
Lineare Theorie: Liouville'sche Formel


Der Satz von Picard-Lindelöf garantiert die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Anfangswertproblems nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen unter lokal Lipschitz-Stetigkeit von in der zweiten Variablen. Zudem liefert der Beweis dieses Satzes ein konstruktives Verfahren, die Picard-Iteration, mit dem man die Lösung approximieren kann.

Lokale Version des Satzes von Picard-Lindelöf[Bearbeiten]

Sei ein Banachraum, , mit und stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Hierin bezeichnet

die abgeschlossene Kugel um mit Radius . Ist

sowie

dann existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems

auf dem Intervall ; sie hat Werte in .

Beweis[Bearbeiten]

Man betrachte die Picard-Iteration

Per vollständiger Induktion sieht man aus der Definition von direkt, dass alle Iterierten sämtlich Werte in annehmen und stetig sind. Da kompakt ist, gibt es ein mit

für alle gilt. Mit vollständiger Induktion zeigt man

auf . Daraus folgt

für alle und . Insbesondere ist eine Cauchy-Folge im Banachraum und konvergiert folglich gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion . Wegen

folgt

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist stetig differenzierbar mit . Die Eindeutigkeitsaussage folgt direkt aus dem Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit.

Globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf[Bearbeiten]

Es sei ein Banachraum und eine stetige Funktion, welche eine globale Lipschitz-Bedingung bezüglich der zweiten Variablen erfüllt. Dann gibt es zu jedem eine globale Lösung des Anfangswertproblems

.

Es gibt keine weiteren (lokalen) Lösungen.

Beweis[Bearbeiten]

Betrachte den Operator , definiert vermöge

Die Abbildung ist für festes auf stetig. Insbesondere ist auf für geeignetes . Somit ist das Integral für jedes wohldefiniert. Weiter ist

Also gilt , d.h., der Operator ist wohldefiniert.

Damit dieser Operator im Sinne des banachschen Fixpunktsatzes kontraktiv ist, stattet man mit der gewichteten Supremumsnorm

aus, worin die Lipschitz-Konstante von in der zweiten Variablen bezeichnet. Da diese Norm äquivalent zur „normalen“ Supremumsnorm ist, bleibt auch in dieser Norm ein Banachraum. Es gilt

Also gilt

und somit sind die Voraussetzungen des banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. Es gibt daher eine Lösung des Fixpunktproblems

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist stetig differenzierbar mit . Für den Eindeutigkeitsbeweis gilt die Bemerkung von oben.

Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]