Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen
- Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
- Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
- Lineare Theorie: Liouville'sche Formel
Der Satz von Picard-Lindelöf garantiert die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Anfangswertproblems
nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen
unter lokal Lipschitz-Stetigkeit von
in der zweiten Variablen. Zudem liefert der Beweis dieses Satzes ein konstruktives Verfahren, die Picard-Iteration, mit dem man die Lösung approximieren kann.
Lokale Version des Satzes von Picard-Lindelöf[Bearbeiten]
Sei
ein Banachraum,
,
mit
und
stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Hierin bezeichnet

die abgeschlossene Kugel um
mit Radius
. Ist
![{\displaystyle M:=\max\{\|F(x,y)\|\ |\ (x,y)\in [a,b]\times {\overline {B}}(y_{0},R)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b957b2f6df8d348a0827b4d641feec1ee9d1df)
sowie

dann existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems

auf dem Intervall
; sie hat Werte in
.
Man betrachte die Picard-Iteration
![{\displaystyle y_{0}(x):\equiv y_{0}\ ,\ y_{k+1}(x):=y_{0}+\int _{a}^{x}F(s,y_{k}(s)){\rm {d}}s\ ,\ x\in [a,a+\alpha ]\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b281cac79b0af96f80a41a4400082c512ff2adb0)
Per vollständiger Induktion sieht man aus der Definition von
direkt, dass alle Iterierten
sämtlich Werte in
annehmen und stetig sind. Da
kompakt ist, gibt es ein
mit

für alle
gilt. Mit vollständiger Induktion zeigt man

auf
. Daraus folgt
![{\displaystyle \max _{x\in [a,a+\alpha ]}\|y_{k+m}-y_{k}\|\leq {\frac {M}{L}}\sum _{j=1}^{m}{\frac {\max _{x\in [a,a+\alpha ]}(L(x-a))^{k+j}}{(k+j)!}}\leq {\frac {M}{L}}\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(L\alpha )^{j}}{j!}}<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e082353a655199415a6a0696ed58cf7ec5069e)
für alle
und
. Insbesondere ist
eine Cauchy-Folge im Banachraum
und konvergiert folglich gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion
. Wegen
![{\displaystyle \max _{s\in [a,a+\alpha ]}\|F(s,y_{k}(s))-F(s,y(s))\|\leq L\max _{s\in [a,a+\alpha ]}\|y_{k}(s)-y(s)\|\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8fca372cf12adecbbe1878917907db3a1dedab)
folgt

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist
stetig differenzierbar mit
.
Die Eindeutigkeitsaussage folgt direkt aus dem Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit.

Globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf[Bearbeiten]
Es sei
ein Banachraum und
eine stetige Funktion, welche eine globale Lipschitz-Bedingung bezüglich der zweiten Variablen erfüllt. Dann gibt es zu jedem
eine globale Lösung
des Anfangswertproblems
.
Es gibt keine weiteren (lokalen) Lösungen.
Betrachte den Operator
, definiert vermöge

Die Abbildung
ist für festes
auf
stetig. Insbesondere ist
auf
für geeignetes
. Somit ist das Integral
für jedes
wohldefiniert. Weiter ist

Also gilt
, d.h., der Operator
ist wohldefiniert.
Damit dieser Operator im Sinne des banachschen Fixpunktsatzes kontraktiv ist, stattet man
mit der gewichteten Supremumsnorm
![{\displaystyle \|u\|_{C([a,b];E)}:=\sup _{x\in [a,b]}e^{-2Lx}\cdot \|u(x)\|_{E}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2e07759ac4955a47ad8ce4c0009707cfdb2401)
aus, worin
die Lipschitz-Konstante von
in der zweiten Variablen bezeichnet. Da diese Norm äquivalent zur „normalen“ Supremumsnorm ist, bleibt
auch in dieser Norm ein Banachraum. Es gilt
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}e^{-2Lx}\|T(u)(x)-T(v)(x)\|_{E}&=&e^{-2Lx}\|\int _{a}^{x}F(t,u(t))-F(t,v(t)){\rm {d}}t\|_{E}\\&\leq &Le^{-2Lx}\int _{a}^{x}e^{2Lt}e^{-2Lt}\|u(t)-v(t)\|_{E}{\rm {d}}t\\&\leq &Le^{-2Lx}\int _{a}^{x}e^{2Lt}\|u-v\|_{C([a,b];E)}{\rm {d}}t\\&\leq &{\frac {1}{2}}\|u-v\|_{C([a,b];E)}\ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f820e760965a2b2f6abf7ed0c5230f81cae53f63)
Also gilt
![{\displaystyle \|T(u)-T(v)\|_{C([a,b];E)}\leq {\frac {1}{2}}\|u-v\|_{C([a,b];E)}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd73fdbe970d24ef0888830411227151a9f4d93)
und somit sind die Voraussetzungen des banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. Es gibt daher eine eindeutig bestimmte Lösung
des Fixpunktproblems

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist
stetig differenzierbar mit
.