Collatzfolgen und Schachbrett: Beispiele

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5.4 Beispiele

Beispiele 5.41 Ausgangszahl 7 5.42 Ausgangszahl 13

In den folgenden Abbildungen sollen diese mathematischen Zusammenhänge auf dem Collatzbrett veranschaulicht werden.

5.41 Ausgangzahl 7

Als Beispiel nehmen wir die Zahl 7 = 6 + 1. Die beteiligten Zahlen sind grün unterlegt.

Abb.1
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
7 = 6 + 1

Multiplikation mit 3 (Verschiebung aller grünen Felder um 1 nach rechts)

$3*7=3*(6+1)=3*6+3*1=18+3=21$

Abb.2
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
21 = 18 + 3

(An dieser Stelle werden wir später – wie unten beschrieben – die 3 umwandeln)

Addition von 1: 21 + 1 = 22

Abb.3
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
22 = 18 + 1

Hierbei ist nun die 3 aus dem dunkelblauen Bereich beteiligt. In Verbindung mit der 1 ergibt sich nun aus diesen beiden Dreierpotenzen (untere Reihe) eine gerade Zahl. Mehrere Zahlen in der untersten Reihe sollen aber zukünftig ausgeschlossen sein. Deshalb werden diese beiden nebeneinanderliegenden Zahlen zu einer Zahl vereinigt (hier: 1 + 3 = 4).

Umwandlung: 18 + 3 + 1 = 18 + 4 = 22 (s.o.)

Abb.4
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
22 = 18 + 4

Während in einer Abbildung wie der vorletzten bei mehreren Zahlen in der untersten Reihe nicht ohne weiteres erkennbar ist, dass sich nun ein D-Schritt anschließen muss, ist dies in der letzten Abbildung sofort erkennbar. Außerdem ist auch sofort erkennbar, dass ein zweiter D-Schritt nicht mehr (ohne Umwandlung der dann entstehenden 9) ausführbar ist.

Division durch 2 (Verschiebung aller grünen Felder um ein Feld nach unten)

22 : 2 = (18 + 4) : 2 = 18 : 2 + 4 : 2 = 9 + 2 = 11

Abb.5
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
11 = 22 : 2

Wären nach diesem letzten Schritt zwei oder mehr Dreierpotenzen (mittelgrauer Bereich) beteiligt, so wäre wieder nicht sofort erkennbar, ob die entstandene Zahl gerade oder ungerade ist. Aus diesem Grund soll ab nun eine auftretende Zahl im mittelgrauen Bereich sofort nach dem folgenden Schema umgewandelt werden: 9 = 6 + 3.

Diese und die oben bereits verwendete Vereinfachung werden im Anhang mathematisch begründet und verallgemeinert.

Umwandlung einer Dreierpotenz

Abb.6
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
11 = 6 + 3 + 2

Umwandlungen wie oben: 6 + 2 = 8 und 3 = 2 + 1.

Abb.7
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
11 = 8 + 3

Abb.8
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
11 = 8 + 2 + 1

Nun ist eindeutig, dass die entstandene Zahl (11) ungerade ist, denn die Summe besteht aus zwei geraden Summanden (echten Janus-Zahlen) und der 1.

Es können nun also wieder ein M-Schritt und weitere D-Schritte mit den zugehörigen Umwandlungen folgen. Diese Umwandlungen optimieren die Summanden in der Zahldarstellung.

Die Umwandlung der Dreierpotenzen führt in der Regel zu einer Erhöhung der Summandenzahl und spiegelt den chaotischen Charakter der Collatz-Folgen wieder.

Im Folgenden soll ein Beispiel noch zeigen, dass man eventuell schon an der Ausgangszahl, spätestens aber nach Durchführung des M-Schrittes erkennen kann, wie viele D-Schritte sich mindestens anschließen werden.

5.42 Ausgangszahl 13 (= 12 + 1)

Abb.9
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
13 = 12 + 1

M-Schritt: 40 = 3 * 13 + 1

Abb.10
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
40 = 36 + 3 + 1

Umwandlung: 3 + 1 = 4

Abb.11
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
40 = 36 + 4

Wie man sofort sieht, sind hier mindestens zwei D-Schritte möglich. Da anschließend aber zwei ungerade Zahlen der Grundlinie (blauer und roter Bereich) beteiligt sind, deren Summe gerade ist, kommt mindestens noch ein D-Schritt hinzu.

Zwei D-Schritte (zwei Zeilen über Grundlinie):

10 = 40 : 4 = (36 + 4) : 4 = 9 + 1

Abb.12
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
10 = 9 + 1

Umwandlung der Dreierpotenz: 9 = 6 + 3

Abb.13
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
10 = 6 + 3 + 1

Hier liegen nun wieder die 3 und die 1 neben einander und können durch die 4 ersetzt werden, was einen weiteren D-Schritt ermöglicht. Und zwar nur einen, da durch diesen Schritt aus der 6 eine 3 wird und aus der 4 eine 2, so dass nur eine Zahl der Grundlinie beteiligt ist und somit die Summe ungerade wird.

Abb.14
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
10 = 6 + 4

Weiterer D-Schritt: 10 : 2 = (6 + 4) : 2 = 3 + 2 = 5

Abb.15
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
5 = 3 + 2

Nach dem weiteren D-Schritt ist das Ergebnis dieser Schrittfolge als ungerade Zahl (5) eindeutig erkennbar, so dass nun ein weiterer M-Schritt angeschlossen werden kann.

Ersetzt man: 3 = 2 + 1, so erscheint die 2 zweimal – was im bisherigen Schema schlechtdarstellbar ist (und hier durch 2+2 markiert werden soll) – sowie die 1. Dies ist unter anderem der Grund, auf ein Schachbrett (Collatzbrett) mit Damesteinen überzugehen. Dort kann man dann zwei Steine übereinander legen. Die doppelte 2 vereinfacht man dann zu einer einfachen 4.

Umwandlung der 3 und Vereinfachung

Abb.16
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2+2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
5 = 2 + 2 + 1

Abb.17
4	16	48	144	432	1296
3	8	24	72	216	648
2	4	12	36	108	324
1	2	6	18	54	162
0	1	3	9	27	81
	0	1	2	3	4
5 = 4 + 1

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