Collatzfolgen und Schachbrett: Vorüberlegungen zum 'Collatz-Schachbrett'

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5. Vorüberlegungen zum Collatz-Schachbrett (Collatzbrett)

5.1 Vorüberlegungen (Erster Schritt)

Wie schon festgehalten wurde, hat jede ungerade Zahl $z_{1}$ in den Collatzfolgen einen Nachfolger $z_{2}$, der über einen M-Schritt und (mindestens) einen D-Schritt erreicht wird. Also:

$z_{2}=(3z_{1}+1)\cdot 2^{-n_{1}}$.

Für $z_{2}$ und alle nachfolgenden Zahlen gilt nun jeweils wieder dasselbe. Man ist nun versucht, diesen Vorgang weiter zu verfolgen, um zu Aussagen über die Zahl der jeweils folgenden D-Schritte bzw. über das Erreichen der 1 zu erhalten:

${\begin{aligned}z_{3}&=(3z_{2}+1)\cdot 2^{-n_{2}}=(3\cdot (3z_{1}+1)\cdot 2^{-n_{1}}+1)\cdot 2^{-n_{2}}\\&=3\cdot 2^{-(n_{1}+n_{2})}\cdot (3z_{1}+1)+2^{-n_{2}}\\&=3^{2}\cdot 2^{-(n_{1}+n_{2})}\cdot z_{1}+3\cdot 2^{-(n_{1}+n_{2})}+2^{-n_{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}z_{4}&=(3\cdot z_{3}+1)\cdot 2^{-n_{3}}=(3\cdot (3^{2}\cdot 2^{-(n_{1}+n_{2})}\cdot z_{1}+3\cdot 2^{-(n_{1}+n_{2})}+2^{-n_{2}})+1)\cdot 2^{-n_{3}}\\&=3\cdot 3^{2}\cdot 2^{-(n_{1}+n_{2})}\cdot z_{1}+3\cdot 2^{-(n_{1}+n_{2})}+2^{-n_{2}}\cdot 2^{-n_{3}}+2^{-n_{3}}\\&=3^{3}\cdot 2^{-(n_{1}+n_{2}+n_{3})}\cdot z_{1}+3^{2}\cdot 2^{-(n_{1}+n_{2}+n_{3})}+3\cdot 2^{-(n_{2}+n_{3})}+2^{-n_{3}}\end{aligned}}$

usw.

Man erkennt, dass sich die Zahl der Summanden mit jedem Schritt genauso wie die Exponenten der Dreier-Potenzen und Zweier-Potenzen (diese jeweils mit negativem Vorzeichen) erhöht.

Da die entstehenden Zahlen aber jeweils natürliche Zahlen sein müssen, bedeutet das, dass sich die im Nenner stehenden Zweier-Potenzen wegkürzen bzw. zu ganzen Zahlen addieren müssen. Das geht aber nur, wenn in den Summanden Zweierpotenzen enthalten sind. Nur dann können diese sich teilweise oder ganz wegkürzen. Andererseits sind diese Summanden dann aber (vor dem Kürzen) gerade, so dass die $z_{1}$ als Summe der Summanden und 1 dargestellt werden müssen.

Aufgrund dieser Überlegungen kommt man auf den Gedanken, das Collatz-Problem mit einer neuen Art von Zahlen anzugehen – den Janus-Zahlen:

Festlegung: Jede Zahl j = 2^z · 3^d mit z ≥ 0 und d ≥ 0 heißt Janus-Zahl.

Beispiele: $1=2^{0}\cdot 3^{0}\ldots 4=2^{2}\cdot 3^{0}\ldots 27=2^{0}\cdot 3^{3}\ldots 144=2^{4}\cdot 3^{2}$

Näheres zu den Janus-Zahlen und zum Rechnen mit diesen Zahlen → siehe Anhang.

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