Die abzählbare Physik/ Druckversion

Die abzählbare Physik - Wann würfelt Gott ?

Information und digitale Strukturen im Hintergrund physikalischer Erkenntnis

Die Folgen der Quantelung der Wirkung als Vermittler von Information, der Elementarladung und der elektromagnetischen Wechselwirkungen auf das physikalische Beschreiben und Messen.

In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ?

Mit der Physik wird versucht, den materiellen Teil der Welt zu beschreiben und gedanklich zu erfassen. Dazu dienen Beobachtungen und Gesetze. Grenzen zeigen sich durch die seit hundert Jahren bekannten Quanten und die damit verknüpfte Modellierung der Welt. Da jedes Quant nur wenig Information tragen und vermitteln kann, gibt es in Systemen mit wenigen Quanten auch nur wenig physikalisch erfassbare Information. Es wird zunächst gezeigt, welchen Sinn in solch kleinen Systemen physikalische Größen noch haben, zum Beispiel inwieweit sie lokalisiert sind oder nicht und welche Gedankenkonstruktion hinter ihnen steckt. Das Kontinuum der klassischen Physik muss durch eine zumindest teilweise digitale Struktur ersetzt werden. Die Information ist in Kombinationen und den Beziehungen zwischen Quanten zu finden. Einerseits ist die Menge der Quanten ein Maß für die Menge an Information. Andererseits gibt es die Qualität der Information und die Kombination beider ist das, was wir durch Messungen erfahren können. Für die folgenden Überlegungen sind die gequantelten Größen des Elektromagnetismus wichtig, die elektrischen und die magnetischen Ladungen und Flüsse. Ihre Beziehungen untereinander enthalten viele fundamentale Naturkonstanten, zum Beispiel das Plancksche Wirkungsquantum, die Lichtgeschwindigkeit, die Feinstrukturkonstante, den Klitzing-Widerstand und die Vakuumimpedanz. Zehn Naturkonstanten lassen sich schließlich auf vier fundamentale Größen zurückführen.

In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ?

Eine bekannte physikalische Tatsache ist, dass sich Informationen weiträumig maximal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. Die Frage, warum dies gerade bei der Information genau so ist, kann derzeit wohl kaum jemand befriedigend beantworten. Das Beschäftigen mit der endlichen Größe der Lichtgeschwindigkeit hat schließlich zur speziellen Relativitätstheorie geführt. Dieses auffällige Erscheinen der Information sollte eigentlich ein Anlass sein, sich auch mit ihr selbst intensiv zu beschäftigen. In der physikalischen Theorie spielt Information allerdings nur eine Nebenrolle, die Wissenschaft der Informatik ist irgendwo zwischen der Mathematik und den Ingenieurwissenschaften angesiedelt und tangiert bei der Physik bekanntlich mit der Entropie die Thermodynamik. Die hier vertretene Sicht ist, dass man mit jeder physikalischen Messung Information erlangt und jede Beschreibung und Theorie versucht, Eigenschaften und Folgerungen daraus zu demonstrieren. Es soll daher im vorliegenden Beitrag versucht werden, sich mit der Frage zu beschäftigen, wo Information physikalisch in Erscheinung tritt, wo sie einen Einfluss auf unser naturwissenschaftliches Weltbild liefert und wo sie uns zum tieferen Verständnis weiterführt.

Information

Räumliche Information

Bild 1-1: Keil beim Vogelflug.

Im Bild 1-1 sehen wir den Keil eines fliegenden Vogelschwarms. Typisch für eine physikalische Beschreibung ist, zunächst die gemeinsame Geschwindigkeit dieser Vögel zu registrieren. Zusätzlich gibt es die räumliche Verteilung in Form des Keils. Die einzelnen Vögel weisen untereinander Positionen auf, in Bezug auf die Flugrichtung einen seitlichen und einen vorwärts gerichteten Abstand. Aus der Lage einzelner Vögel zu ihren Nachbarn alleine lässt sich der Keil nicht zwingend folgern. Aus der Kombination solch einer gegenseitigen Position wäre auch eine Linie oder irgendeine Zickzackstruktur möglich, wie man es häufig beobachtet, wenn die Vögel sich zusammenfinden. Die Information über die Geschwindigkeit und Form des Keils wiederum könnte auch auf einzelne der Vögel verzichten, eine große Anzahl führt zu besserer Genauigkeit. Es ist hier also möglich, sowohl individuelle Information bezogen auf einzelne Vögel als auch eine Information typisch für die Gruppe wahrzunehmen. Die räumliche Struktur des Keils wird durch eine abzählbare Anzahl von Vögeln (Objekten) „abgetastet“. Die lokal begrenzte Kenntnis der Beziehung einzelner benachbarter Vögel zueinander reicht also alleine nicht, um das gesamte System zu beschreiben.

Zeitliche Information

Analog dazu können wir das Messen eines elektrischen Stroms betrachten, dabei werden beim Abtasten Raum und Zeit getauscht. Das grundsätzliche Problem wird in Bild 1-2 deutlich: Strom $I$ ist das Verhältnis von der einen Querschnitt passierenden Ladungsmenge $Q$ pro Zeit $t$, $I={\frac {dQ}{dt}}$, und man kann ihn messen, wenn man die Steigung der gezeigten Funktion (Ladung pro Zeit) bestimmt. In der Maxwellschen Theorie ist die Ladung $Q$ eine analoge Größe, die Elementarladung $e$ war vor 150 Jahren noch nicht bekannt. Mit der dort benutzten mathematischen Darstellung der Differentialrechnung ist verbunden, dass man üblicherweise einen Grenzwert mit $dt=\Delta t\rightarrow 0$ bildet.

Bild 1-2: Das Messen von Strom $I$ und der Einfluss der Größe Elementarladung $e$.

Wie in Bild 1-2 zu sehen, bereitet dieses Bilden eines Grenzwertes, startend mit großen Ladungsmengen $\Delta Q$ und noch großen Zeitintervallen $\Delta t$, zunächst kein ernsthaftes Problem. Irgendwann sind aber die Zeitintervalle $\Delta t$ so klein, dass die Quantelung der Ladung $Q=N\cdot e$ bemerkbar wird, Bild 1-2 unten. Man könnte den Strom eines Elektronenstrahls in einer Braunschen Röhre so messen, dass man die Lichtblitze auf dem Leuchtschirm, die die einzelnen Elektronen auslösen, registriert.

Bei kurzen Zeitintervallen $\Delta t$ kann die Ladungsänderung mit der Größe einer Elementarladung $e$ nicht mehr auf mehrere Zeitintervalle verteilt werden und man misst in einem Zeitintervall $\Delta t$ schließlich entweder eine Elementarladung $e$ oder keine. Die sich dabei ergebenden Werte der Größe Strom $I={\frac {\Delta Q}{\Delta t}}$ sind ziemlich unsinnig, entweder wäre $I=0$ oder $I={\frac {e}{\Delta T_{e}}}$ mit einer von $\Delta t$ abhängigen willkürlichen Größe. Nur mit ergänzender Integration und Mittelung wären solche Messungen verwertbar. Einzig sinnvoll bleibt ein Bezug auf die zeitliche Dauer $T_{e}$ zwischen zwei registrierten Elektronen: $I={\frac {e}{T_{e}}}$. Da $T_{e}$ nicht immer gleich groß ist (warum das nicht sein kann, wird gleich erläutert), ist das Messen des Stromes zwar nur unsicher möglich, aber wegen einer endlichen Menge der von einzelnen Elektronen vermittelbaren Information doch dementsprechend genau.

Fragt man sich, welche beobachtete Größe die Information über den Wert des Stromes enthält, so ist dies nicht die Ladung $e$ der einzelnen Elektronen, denn diese ist als Naturkonstante immer gleich und nicht mit Information modulierbar. Es ist der zeitliche Bezug, der Abstand $T_{e}$ ! zwischen mindestens zwei Elektronen, der die Information über die Stromstärke

$I={\frac {e}{T_{e}}}$ [11-1]

vermittelt. In der Nachrichtentechnik kennt man so etwas im Zusammenhang mit dem Abtasttheorem. Bei dieser Betrachtung ist die Ladung digital, Zeit und Strom sind dagegen analoge Größen, jeder beliebige Wert scheint für sie zunächst zulässig. Dass der zeitliche Abstand zwischen aufeinander folgenden Elektronen beim Messen nicht konstant oder regelmäßig sein kann, wird verständlich, da sonst diskrete Frequenzen $f={\frac {n}{T_{e}}}$ im Spektrum auftauchen würden, ohne dass dafür ein Anlass besteht. Das Fourier-Spektrum eines Rechteckimpulses, der sich ergibt, wenn der (während der Messung konstant angenommene) Strom erst ein- und dann wieder ausgeschaltet wird, ist kontinuierlich breitbandig. Dazu müssen die beim Messen des Stromes registrierten Ladungen zeitlich unregelmäßig aufeinanderfolgen. Das Resultat ist Rauschen (spektral breitbandig) und die damit verbundene Ungenauigkeit des Ergebnisses. Eigenschaften von Rauschen werden uns im Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ begegnen. In der hier gewählten Zeitvorstellung besteht allerdings ein Bezug zu unendlich lang andauernden Schwingungen, also zu externen harmonischen Oszillatoren oder Uhren. Innerhalb der Folge der Elektronen alleine gäbe es als Maß die jeweilige zeitliche Dauer zwischen den detektierten Elektronen, die nicht so ohne weiteres zu vergleichen und unterscheiden wäre.

Die Zeit taucht unter verschiedenen Aspekten in der physikalischen Beschreibung auf. Als Zeitspanne können wir solch eine Dauer mit anderen vergleichen. Daneben gibt es allerdings mit einer „aktuellen Zeit“ auch die Möglichkeit, eine zeitliche Reihenfolge von Ereignissen mit vorher und nachher zu sortieren, das Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ wird dies behandeln.

Information und Gesetz

Ehe wir zu konkreten physikalischen Problemen vorstoßen, sei zunächst mit Tabelle 1 eine einfach zu überschauende Anordnung betrachtet. Neun, zum Beispiel farblich unterscheidbare Würfel, werden gemeinsam geworfen. Es existiert einerseits eine vorgegebene Struktur mit ihrer Anzahl, jeder Würfel trägt auf seiner Oberfläche die Zahlen 1 bis 6 und sie werden gemeinsam geworfen, andererseits ist das Ergebnis des Wurfes für jeden Würfel rein zufällig eine dieser Zahlen, aber keine andere. Es ist daher für jeden individuellen Würfel nicht möglich, anzugeben, welche Zahl er beim nächsten Wurf zeigen wird. Es existieren nur Wahrscheinlichkeiten, jeweils 1/6, für die möglichen Ergebnisse. Mit jedem Wurf wird ein neuer Informationssatz gewonnen, die in der Tabelle gezeigte Zeile. Beim üblichen Spiel interessiert uns dieser einzelne Wert des Würfels nicht. Wir addieren die Werte aller Würfel und erhalten die Augensumme. Damit verzichten wir auf eine Information, die Kenntnis des Anteils vom einzelnen Würfel an dieser Summe. Bei neun Würfeln kann die Augensumme jeden der 46 Werte zwischen den Zahlen 9 und 54 annehmen. Bei Kenntnis der einzelnen Würfelwerte gibt es allerdings 69 mögliche Kombinationen. Die Werte der Augensumme treten beim Würfeln mit sehr unterschiedlicher Häufigkeit und daraus folgender Wahrscheinlichkeit auf.

Tabelle 1-1: Ergebnisse des Würfelns

Wurf	Wa	Wb	Wc	Wd	We	Wf	Wg	Wh	Wi	Augensumme	Augenprodukt
1	3	1	6	2	4	1	6	3	5	31	12960
2	6	1	4	2	3	2	1	4	2	25	2304
3	5	6	1	3	3	5	1	5	5	34	33750
4	3	6	2	4	2	1	2	5	5	30	14400
5	5	4	4	4	4	5	5	3	2	36	192000
6	2	5	4	3	5	4	5	2	4	34	96000
7	3	5	1	4	3	2	3	4	6	31	25920
8	6	1	1	3	3	4	2	3	3	26	3888
9	5	1	1	1	6	3	2	2	5	26	1800
10	2	1	1	1	6	4	4	6	6	31	6912
11	1	2	1	1	1	6	1	6	1	20	72
12	6	5	2	2	5	6	3	4	4	37	172800
13	3	5	6	5	3	1	5	6	1	35	40500
14	1	2	5	2	6	2	1	4	4	27	3840
15	2	5	6	3	6	5	3	1	1	32	16200
16	1	1	3	5	6	1	5	5	5	32	11250
17	5	3	6	4	5	5	2	6	6	42	648000
18	6	5	2	4	4	4	5	6	6	42	691200
19	1	1	4	1	6	6	2	1	6	28	1728
20	2	5	6	6	4	2	1	6	5	37	86400
										31,8	<- Mittelwert
Summe	68	65	66	60	85	69	59	82	82	70,6666667	<- Mittelwert
Mittelwert	3,4	3,3	3,0	3,0	4,3	3,0	3,0	4,1	4,0	3,53333333	<- Mittelwert

Einerseits wählt der Experimentator nun mit dieser Summation eine Art des Erfassens von Eigenschaften aus, andererseits existiert die Struktur der Augensummen als Linien im Koordinatensystem der Würfel, so wie in Bild 1-3 gezeigt. Hier im Beispiel mit zwei Würfeln (a, b), Bild 1-3 links zu sehen. Es gibt dann sechsunddreißig individuelle Wurfergebnisse aber nur elf mögliche Augensummen. Damit bleibt ein entsprechender restlicher Teil der Information für ein Gesetz des Ensembles übrig. Die Häufigkeitsverteilung für größere Anzahlen von Würfeln ist in Bild 1-3 rechts zu sehen. Ab drei Würfeln zeigt sich die Glockenkurve für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensummen.

Bild 1-3: Ab drei Würfeln zeigt sich die Glockenkurve für die Verteilung der Augensummen.

In unseren Gedanken vollziehen wir bei diesem Beispiel folgende Schritte:

1. Wir lösen uns von den individuellen Informationen der einzelnen Würfel, wir machen sie bei unserem Betrachten ununterscheidbar und fassen sie zu einem Kollektiv zusammen. (Bei einem Gas würden wir nicht die Bewegung einzelner Atome oder Moleküle registrieren, sondern eine ihnen gemeinsame Eigenschaft wie Druck, Temperatur oder Volumen).
2. Wir geben als Beziehung die Addition vor, die Multiplikation (in der Tabelle ganz rechts) würde zu anderen, unübersichtlichen Ergebnissen führen. (Bei einem Gas wären Druck oder Volumen von uns vorgewählt). Die dazugehörige Information existiert erst beim Kollektiv.
3. Wir fassen gleichartige Summen zusammen und bekommen im 2-Würfel-Beispiel nun 11 davon, dies ist im Gegensatz zu den 36 Möglichkeiten, wenn wir die Individualität nicht weglassen würden. Damit wird die Informationsmenge gegenüber der Vorgabe begrenzt, ein Anteil des Zufalls wird ausgeblendet und es steht nun ein Rest der Information zur weiteren Verwendung zur Verfügung. (Druck, Volumen und Temperatur des Gases sind globale Größen, keine individuellen der Atome oder Moleküle).
4. Aus der Restinformation erhalten wir nun als Gesetz die Glockenkurve, allerdings wegen der begrenzten Menge von Information nur einzelne Punkte davon und nicht etwa die kontinuierlich durchgezogene mathematische Kurve. (Ein in der Genauigkeit begrenztes Gesetz mit entsprechendem Rauschen).

Bild 1-4: Häufigkeitsverteilung der Augenmultiplikation, drei Würfel mit Oberflächen 1 bis 6.

Auch mit der Multiplikation können wir ein gesetzmäßiges Verhalten beobachten, Bild 1-4. Die Häufigkeitsverteilung der Augenprodukte von Würfeln ist allerdings nicht so schön anzusehen wie die glockenförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der Addition und die dazugehörende geometrische Struktur zeigt keine ausgeprägten Flächen sondern nur kleinere Punktkombinationen. Die Zahlenfolge enthält Lücken. Aber die Epizykeln des Ptolemäus waren ja auch nicht so schön wie Keplers und Newtons Gesetze. Hier wählt schließlich der Beobachter, welche Gesetze weiter verfolgt werden und welche für die zukünftige Betrachtung ausscheiden.

Interessant ist nun noch die Frage, ob aus dieser neuen Informations- und Gesetzeskombination die Ausgangsdaten zurückgewonnen werden können. Das Zuordnen einzelner Zahlenwerte zu einzelnen Würfeln ist offensichtlich allein mit Kenntnis der Augensummen nicht möglich. Kann man aber rekonstruieren, welche Art Würfel (Zahl der Würfeloberflächen) und welche Anzahl davon verwendet wurden ? Dass dies in begrenztem Umfang möglich ist, wird im Abschnitt „Information und Gesetz“ gezeigt, denn die mit vielen Würfen gewonnene Verteilungsfunktion hat zwei voneinander unabhängige Parameter, das Maximum und die relative Breite.

Es sei an dieser Stelle hervorgehoben, dass dieses Würfelexperiment zwei Komponenten enthält. Zum einen eine vorhandene Struktur in Form der Qualität der Würfel, eine feste Anzahl von Oberflächen, definiert beschriftet und eine feste Anzahl von verwendeten Würfeln. Diese Strukturen haben räumlichen Charakter, über den gemeinsamen Wurf all dieser Würfel kommt eine zeitliche Komponente hinzu. Das Ergebnis dieses Würfelns enthält nun noch den Zufall, aus der Vergangenheit folgt keins der neuen Wurfergebnisse. Aufgrund der vorhandenen Strukturen kann man nun allerdings für einige Größen Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen. Dies betrifft die oben erwähnte Augensumme und auch den zeitlichen Mittelwert der Augenzahl für einzelne Würfel. Typisch dafür ist eine Regel, nach der einzelne Ergebnisse zusammengefasst werden.

Wenn wir nun versuchen, die Struktur unserer Welt zu erkennen, so sei im folgenden die Hypothese vertreten, dass wir Teile davon durch eine Auswahl der Kombination von Beobachtungen erfassen können. Dies versuchen wir in der Physik. So zeigt sich oben beim Beispiel des Vogelfluges der Keil als räumliche Kombination der Positionen von einzelnen Vögeln zu ihren Nachbarn. In der Physik weisen wir den einzelnen Vögeln eine Koordinate in Raum und Zeit zu. Neben dieser lokalisierten individuellen Information, im Grenzfall als Punkt idealisiert, gibt es die gemeinsame Struktur des Keils, die nicht mehr derartig lokalisiert ist. Beim Beispiel des Stromflusses gab es die lokalisierte Ladung der einzelnen Elektronen und die Eigenschaft der Kombination, den in Raum und Zeit ausgedehnten Strom. Für die nicht lokalisierten Anteile der Information gibt es für alle beteiligten Objekte eine Gemeinsamkeit. Bei den Würfeln war dies der gemeinsame Wurf, bei den Vögeln der gemeinsame Flug und bei den Ladungen ihr gemeinsamer Beitrag zum Strom.

In der Physik begegnet uns immer wieder eine solche Kombination lokalisierter und nicht lokalisierter Eigenschaften, wir kennen Teilchen und Wellen. Die Eigenschaft als Teilchen begegnet uns, wenn lokalisiert eine Wechselwirkung auftritt wie bei der Detektion oder beim Energieübertrag. Wenn die Wechselwirkung räumlich ausgedehnt erscheint, wie bei Überlagerung und Interferenz, dann registrieren wir die Eigenschaft der Welle. Dies sei an folgendem Beispiel des Doppelspaltes demonstriert:

Information beim Doppelspaltexperiment

Wellen werden an Hindernissen gebeugt. Das grundlegende Experiment am Doppelspalt ist bestimmt allen Lesern bekannt und soll hier in der Einführung einige Probleme verdeutlichen. Links oben in Bild 1-5 sehen wir zunächst eine räumlich ausgedehnte Lichtquelle. Die Gruppe der Photonen, die diese verlassen, trägt Information über ihren Ort, Abmessungen und optische Qualitäten in Form der Divergenz und Ausbreitungsrichtung. Der großflächige Strahl des Gaslasers ist schön parallel, während der mikroskopische Laser im CD-Spieler eine Divergenz von einigen 10 Bogengrad aufweist.

Sobald ein Hindernis in den Weg kommt, hier rechts daneben eine Blende mit einem Loch, werden Teile dieser Information gegen die des Hindernisses ausgetauscht. Dieses Hindernis existiert für alle Photonen dieses Experiments gemeinsam, egal wann sie es passieren. Solange das Loch gegen die Wellenlänge des Lichtes groß ist, sehen wir mit dieser Anordnung einer Lochkamera auf der Detektionsfläche ein Bild der Lichtquelle mit der Schärfe, die durch die Strahlenoptik bestimmt ist. Das Licht zeigt jetzt nur einen Ausschnitt seiner ursprünglichen räumlichen Verteilung und dafür ist Information über die gegenseitige Position von Lichtquelle und Loch prägnant. Wenn man den Lochdurchmesser verkleinert der Wellenlänge des Lichtes nähert, zeigen immer mehr Photonen eine Wechselwirkung mit dieser Blende und werden merklich gebeugt, während der Anteil der ungestört passierenden Photonen abnimmt. Die Abbildung der Lichtquelle mit dem zu ihr gehörenden Informationsanteil auf der Detektionsfläche $D$ weicht dem Beugungsbild der Blende, der Information über ihren Durchmesser, ihre relative Position und ihre Form. Wenn der Strahl, im Bild rechts daneben, auf einen der Spalte eines Doppelspaltes fokussiert wird, beobachten wir auf der Detektionsfläche dahinter das entsprechende Beugungsbild, das wesentlich durch die Position des Spaltes relativ zur Lichtquelle und seine Breite $B$ geprägt ist. Die ursprüngliche Information der verteilen Photonen beim Abstrahlen von der Lichtquelle ist nicht rückwärts zu rekonstruieren, neu ist die Information im Bezug zum Spalt. Ist der ursprüngliche Strahl so divergent, dass beide Spalte beleuchtet werden, so zeigt sich zusätzlich die Information des Abstandes d der beiden Spalte im Interferenzmuster, ganz rechts.

Wie sieht dieses Problem aber nun aus, wenn nur wenige Photonen unterwegs sind, wie unten im Bild 1-5 zu sehen ist ? Links ist zunächst die erwartete Wahrscheinlichkeitsverteilung für die drei möglichen Fälle, nur oberer Spalt, unterer Spalt und beide Spalte, dargestellt. Daneben ist das Ergebnis mit einem einzelnen Quant, Elektron oder Photon demonstriert.

Können Sie aus solch einem einmaligen lokalisierten Ereignis eine Aussage über den Weg dieses Quants machen ? Nein ! Ein einzelnes Quant kann nicht genug Information transportieren, um solch eine detailreiche Aussage zu vermitteln. Mit einer einzigen Ja-Nein-Aussage ist dies nicht möglich. Auch mehrere Quanten, wie im mittleren Teil des Bildes, reichen noch nicht aus. Erst die beiden ganz rechten Bilder beginnen unsere Fragestellung beantworten zu können. Die Frage nach dem Weg und seiner Gestalt lässt sich also erst aus den Beziehungen zahlreicher Quanten untereinander beantworten. In diesem Fall ist es die räumliche Verteilung auf der Detektionsfläche. Sie ist unabhängig davon, wann die einzelnen Quanten eingetroffen sind. Es ist für die behandelte Fragestellung also egal, ob mehrere Quanten gleichzeitig unterwegs sind oder nacheinander ankommen, eine zeitliche Information wird hier nicht diskutiert ! Gemeinsam sind die räumlichen Positionen der Quelle und des Hindernisses in Bezug auf die Gruppeninformation. Dies lässt die bekannten Einzelphotonen- und Einzelelektronenexperimente unter einem neuen raumzeitlichen Blickwinkel erscheinen und sei eine Anregung, die Gedanken der folgenden Kapitel nachzuvollziehen.

Bild 1-5:
Zur Information als Beziehung zwischen Objekten können einzelne Quanten nur einen kleinen Teil beitragen.
Oben links tragen Photonen zunächst die Information über Ort und Größe der Lichtquelle. Beim Passieren von Blenden und Spalten im Strahlweg wird diese Information gegen die der Hindernisse ausgetauscht.
Von links nach rechts nimmt unten der Informationsgehalt bei der Detektion einzelner Quanten mit ihrer Anzahl zu, die links angedeuteten statistischen Verteilungen lassen sich erst mit großen Zahlen erreichen.

Wo finden wir Information ?

Wer sich heute damit beschäftigt, wie die Welt physikalisch zu beschreiben ist, begegnet zunächst zwei unterschiedlichen Sichtweisen. Mit der „klassischen Physik“ beschreibt man die Welt als Kontinuum, es gibt Raum und Zeit sowie Ursachen und Wirkungen. Die Natur scheint beliebig genau definiert, was von Seiten der Information bedeutet, dass die Menge der Information unendlich sein müsste. Nachdem Emil Wiechert 1896 und J.J. Thompson die elementare Ladung des Elektrons entdeckten und Max Planck 1900 das Wirkungsquantum, wurde vor hundert Jahren die Theorie von Atomen und der Quantenmechanik entwickelt, die derzeit als die umfassendste Theorie in der Physik angesehen wird. Die Ergebnisse der auf ihr beruhenden Berechnungen liefern Wahrscheinlichkeiten für experimentelle Beobachtungen. Viele Physiker sehen die klassische Physik als ihren Grenzfall für große Anzahlen von Quanten und folgen außerdem der Kopenhagener Interpretation. Auf ihrer Habenseite steht, dass es keine wesentlichen Widersprüche bei den mit ihr berechneten Beobachtungen gibt und eine umfassende Anzahl von Erscheinungen beschrieben wird. Schattenseiten der Quantenmechanik sind das fehlende elementare Verständnis ihrer Natur und die gedankliche Inkonsequenz, wenn man annimmt, dass die kausalen Zusammenhänge der klassischen Physik als Grenzwert aus dem Zufall der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten folgen sollen. Parallel zum Anwenden der Quantenmechanik wuchs auf technischer Seite das Übertragen von Nachrichten, zum Beispiel mit Telegrafie, Rundfunk und Fernsehen. Daraus folgte dann ein eigener Wissenschaftszweig, wir kennen die Informatik, Nachrichten- und Computertechnik.

Wenn der Physiker eine Messung durchführt, möchte er Information erkennen. Es liegt daher nahe, physikalische Probleme einmal von der Seite der Information her zu betrachten, was unter anderem Weizsäcker vor einiger Zeit mit seinem Ur einführte. Wenn es beispielsweise Elektronen gibt, die sich nicht individuell unterscheiden lassen, dann sei im folgenden die Größe „Ladung“ auf eine Anzahl von Elektronen zurückzuführen. Die kleinste mögliche Anzahl wäre ein einzelnes Elektron. Bestünde die Welt nur aus solch einem einzigen Elektron, so gäbe es maximal die Information, ob dieses Elektron vorhanden ist oder nicht und wir hätten keine Möglichkeit, dies zu erkennen. So etwas wie das elektrische Feld wäre eine unnötige, ja sogar sinnlose Illusion. Selbst um solch ein Feld auch nur punktuell abzutasten, brauchte man mindestens eine zweite Ladung. Auch Größen wie Kraft oder Position könnte man dem einzelnen Objekt nicht zuordnen.

Um diese Gedanken zu veranschaulichen, betrachten wir ein planetenähnliches System mit der Sonne im Zentrum, allerdings sollen die dort vorhandenen Objekte sich auf ein Minimum an Informationen beschränken, also keine Information tragenden individuellen Eigenschaften, wie zum Beispiel einen Durchmesser, zeigen können. Starten wir mit der „Sonne“. Diese Sonne ist entweder vorhanden, wie es Bild 1-21 links zeigt oder nicht, rechts. Ein solches isoliertes System hat noch keine Koordinatenachsen, es ist 0-dimensional. Begriffe wie Entfernungen oder die Zeit haben keinen Sinn. Es gibt im Höchstfall die Information, ob die „Sonne“ S als Objekt vorhanden ist oder nicht. Wie wir später verstehen werden, ist dies gedanklich zunächst eine punktuelle Vorstellung in dem Sinne: es gibt keine weitere Eigenschaft als die, dass dieses Objekt existiert oder nicht existiert. Dem Leser sind allerdings Unschärferelationen und die Nullpunktsenergie vertraut. Wir werden später, um Singularitäten zu vermeiden, räumliche Punkte durch zumindest minimale Längen und Zeitpunkte durch Dauern ersetzen müssen, bekannt ist sicher die Relation zwischen Energie- und Zeit-Genauigkeit. Dann ist auch die Nichtexistenz eine Information und die Unkenntnis nicht mit der definierten Zahl Null, sondern mit einer endlichen Größe zu verbinden, was mit dem rechten Teil des Bildes als der Tatsache einer möglichen Existenz symbolisiert werden soll.

Bild 1-21: Bei minimalem Informationsgehalt des Systems existiert das Objekt S entweder, links, oder es existiert nicht, rechts. Ein raumzeitliches Koordinatensystem wäre sinnlos.

Bild 1-22: Zwei Objekte $S$ und $E$ zeigen neben der Existenz der Objekte noch eine Beziehung zwischen ihnen, hier den Abstand ${\underline {SE}}$, und das Problem wird eindimensional.

Bild 1-23: Ein System mit drei Objekten enthält auch drei dazwischen befindliche Beziehungen. Die Darstellung erfordert zwei Dimensionen.

Wenn dieses System nun um die „Erde“ $E$ ergänzt wird, dann ergibt sich das Bild 1-22. Mit zwei Objekten $S$ und $E$ gibt es neben dem Vorhandensein der Objekte noch eine Beziehung zwischen Ihnen, das ist der Abstand ${\underline {SE}}$, und das Problem wird eindimensional beschreibbar. Dieser Abstand ${\underline {SE}}$ legt den Maßstab einer Länge fest, der mit den uns vertrauten Maßstäben eines externen Beobachters zwischen der realen Sonne und Erde zeitlich variieren würde. Im Quantensystem mit minimaler Information sind bei so wenigen Objekten solche dynamischen Effekte weder erkennbar noch definiert und es gibt damit auch keine Veränderungen, die Grundlage einer weiteren physikalischen Größe, der „Zeit“, sein könnten. In diesem kleinen System würden selbst auch aufeinander zustürzende Objekte als Grundlage des Erkennens gegenseitiger Existenz nur ihren Abstand ${\underline {SE}}$ als konstant scheinendes Maß kennen.

Mit drei Objekten, ergänzt um den die Erde umkreisenden Mond $M$, wird das „Universum“ nun schon interessanter, Bild 1-23. Während die Anzahl der Objekte um eins gewachsen ist, steigt die Anzahl der Beziehungen von eins um zwei auf drei, da jedes neue Objekt Beziehungen zu allen schon vorhandenen Objekten zeigt, und es gibt die Entfernungen ${\underline {SE}}$, ${\underline {EM}}$ und ${\underline {SM}}$. Dieses System ist nun zweidimensional und in einer Ebene beschreibbar. Neben den Entfernungen ist man versucht, daraus nun auch Winkel abzuleiten. Mit einer Informationsmenge 3 Bit entsprechend der Existenz von den drei Quanten ist allerdings sehr wenig Information vorhanden. Außerdem gibt es zeitliche Veränderungen, die besonders einfach an der Periode $T_{ME}$ der Mondumkreisung festgemacht werden können. Mit dem Maßstab ${\underline {EM}}$ der Entfernung Erde Mond ist auch die Entfernung Sonne Erde ${\underline {SE}}$ keine Konstante mehr, sondern eine zeitabhängige Länge ${\underline {SE}}(t)$. In den uns vertrauten Koordinaten des Solarsystems ist die Bahn der Erde um die Sonne eine Ellipse und nicht etwa ein Kreis mit konstantem Radius. Der ungleichmäßige Abstand Erde - Sonne ${\underline {SE}}(t)$ könnte dabei im Koordinatensystem von Bild 1-23 auf eine Schwingung um eine Gleichgewichtsposition zurückgeführt werden. Nur mit weiteren Planeten wäre es möglich, solch ein raumzeitliches Geschehen zu beschreiben, zum Beispiel mit den Epizykeln des Ptolemäus. Bis zum Gravitationsfeld ist es ein weiter Weg.

An dieser Stelle wird allerdings schon ein Grundprinzip der Informationsabtastung deutlich. Es gibt zwei verschiedene Eigenschaften, die sich gegenseitig bedingen, wie Bild 1-24 zeigt. Eine Gerade wird durch zwei Punkte definiert und umgekehrt kann man mit zwei Geraden einen Punkt definieren. Um eine Geschwindigkeit (Impuls) zu definieren, braucht man neben dem Zeitintervall zwei Raumpunkte $\left(v={\frac {x1-x2}{t1-t2}}\right)$.

Bild 1-24: Zum Erkennen einer Struktur benötigt man mindestens zwei Abtastwerte, zwei Punkte für eine Gerade oder zwei Geraden für einen Punkt.

In der Nachrichtentechnik findet man dies dann als Abtasttheorem wieder, nachdem zum Abtasten einer periodischen Struktur mindestens zwei Abtastwerte pro Periode vorhanden sein müssen. Der Physiker ahnt an dieser Stelle vielleicht schon als ähnlich komplementäres System die Darstellung der Welt mit Wellen und Teilchen. Es sei an dieser Stelle ausdrücklich bemerkt, dass es dabei nicht nur die zwei abtastenden Größen gibt, sondern damit verbunden die resultierende Beziehung, es handelt sich also jeweils um eine Dreieinigkeit.

Die Vorstellung einer zeitlichen Entwicklung orientiert sich im folgenden an der schon von Weizsäcker geäußerten Annahme einer Liste von Ereignissen und Zuständen, die die Vergangenheit festhält und die in der Gegenwart um die realisierten Messergebnisse potentieller Möglichkeiten der Zukunft ergänzt wird. In dem an dieser Stelle bisher gedachten System ist allerdings nicht zu sehen, in welchem Träger die Information einer solchen Liste geführt werden sollte. Dies ist ein Hinweis, dass wir uns im Folgenden auch mit der Vorstellung von „Zeit“ noch ausführlich beschäftigen müssen.

Wenn man sich den bei der physikalischen Messung erfassten Teil des Universums aus einzelnen Quantenobjekten zusammengesetzt denkt, so kann man die gesuchten Eigenschaften aus den Beziehungen dieser Quanten untereinander ableiten. Die gesamte Informationsmenge hängt mit der Anzahl der Quanten zusammen. Die beim Messen erreichbare Auflösung hängt daher von dieser Anzahl ab. Allerdings kann man, wie später gezeigt wird, nicht alle Information auf eine physikalische Größe konzentrieren. Auch die Maßstäbe ergeben sich, wie oben im Beispiel gezeigt, erst aus den gegenseitigen Beziehungen der Objekte. Wenn die Grenze unserer heutigen physikalischen Beschreibung des Universums durch die Planckeinheiten gegeben wird, so kann man annehmen, dass diese ein Resultat der Menge von Objekten und der Energie im Universum und dem damit verbundenen Umfang an Information sind.

Aus gequantelten Größen folgt sofort eine Begrenzung von Informationsmengen. Die Abzählbarkeit bedeutet, das es nur ganzzahlige Vielfache einer Grundeinheit gibt und keine Zwischenwerte. Es gibt also keine kontinuierlichen, analogen Funktionen, sondern nur Stufen, wie wir es vom harmonischen Oszillator kennen. Für ihn gilt, wie in Bild 1-25 gezeigt, der Zusammenhang von Wirkung und im System vorhandener Energie in diskontinuierlicher Weise. Solange die zugeführte Energie nicht die für die Frequenz des Oszillators Typische Schwelle $E_{1}=1\cdot h\cdot f$ überschreitet, passiert nichts. Mit höheren Energien werden dann die einzelnen Stufen des Oszillators nacheinander erreicht. Die Stufung von $H$ mit $N=0$ beginnt dann mit dem Energieintervall $\Delta E=0\dotsc h\cdot f$ und wird mit Stufen dieser Breite fortgesetzt. Eine Gerade mit der Steigung $T_{\nu }={\frac {h}{\Delta E}}={\frac {1}{f}}$ (das ist die Periodendauer) verbindet die energetischen Mittelwerte der Stufen. Auf dieser analogen klassischen Geraden liegen die Punkte der beobachtbaren Messergebnisse. Diese trifft mit den Stufen für ganze Vielfache des Wirkungsquantums $H=N\cdot h$ an den Stellen zusammen, die die Quantenmechanik für die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators erwartet, $E=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h\cdot f$. Ganz links finden wir für $N=0$ die bekannte Nullpunktsenergie bei $E={\frac {h\cdot f}{2}}$, sie taucht an dieser Stelle wegen der diskreten Stufung und der daraus folgenden Digitalisierungsunschärfe auf. Sie charakterisiert unsere Unkenntnis, die Größe unseres Nichtwissens über den Zustand.

Bild 1-25: Der harmonische Oszillator. Die Wirkung $H=N\cdot h$ als Funktion anderer Größen ($h={\frac {E}{f}}$) erscheint nur als ganzzahliges Vielfaches von $h$, digital gestuft und einer daraus folgenden begrenzten Genauigkeit und einem mittleren Startwert. Die Steigung der Geraden entspricht der Periodendauer $T_{\nu }={\frac {1}{f}}$ des harmonischen Oszillators.

Die Wirkung

$H=\int E\cdot dt=N\cdot h$ [11-2]

ist uns zwar als Rechengröße vertraut, nicht jedoch so anschaulich wie etwa die Begriffe der Energie $E$ und der Leistung $P={\frac {dE}{dt}}$. Es gibt noch andere elementar gequantelte Größen, die im Experiment beobachtet werden, so die elektrische Elementarladung e und das magnetische Flussquant, das Fluxon $\Phi _{0}$. Diese werden bei den folgenden Gedanken eine wichtige Rolle spielen, auch sie führen zu einer Grenze der Auflösung und einer aus der Abzählbarkeit folgenden Unsicherheit, die im Prinzip schon als Heisenbergsche Unschärferelationen bekannt ist. Vermutlich ist auch bei ihnen eine der „Nullpunktsenergie“ entsprechende Basis der Ungenauigkeit zu erwarten.

Aus Sicht der Information ist so etwas wie die Nullpunktsenergie aus folgendem Grunde sinnvoll: die Information einer digital binären Ziffernfolge 00100 ist durch Negation in 11011 umzuformen und man wird zu recht erwarten, das die Menge an Information in beiden Folgen identisch ist, da die transformierende Relation reversibel ist. Damit tragen dann die Nullen genauso Information wie die Einsen. Fehlende Information muss dann dadurch charakterisiert sein, dass den unbekannten Stellen einer Zeichenfolge weder eine Null noch eine Eins zugeordnet werden kann, sondern XXXXX, also jeweils nur eine Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent für beide Möglichkeiten mit der entsprechenden Energie.

Lassen Sie uns im Folgenden betrachten, wie verschiedene Phänomene unter solch einem Blickwinkel zu sehen sind.

Verschiedene Quanten

Vor gut hundert Jahren entdeckten Physiker die ersten Quanten, zunächst das Elektron, dann das Plancksche Wirkungsquantum und folgend die Photonen. Davon sind die Größe der Ladung des Elektrons ($e=1,6022\cdot 10^{-19}\,{\text{As}}$) und das Plancksche Wirkungsquantum ($h=6,6261\cdot 10^{34}\,{\text{VAs²}}$) unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem. Die Masse des Elektrons hat den minimalen Wert der Ruhemasse und die Photonen treten mit beliebiger Energie auf. Im Zusammenhang mit der Supraleitung wurde schließlich das magnetische Flussquant ($\Phi _{0}=2,0678\cdot 10^{15}\,{\text{Vs}}$) gefunden, das vorher schon mit doppelter Größe prognostiziert worden war. Das experimentelle Ergebnis, lieferte dann ein Indiz für die Existenz der Cooper-Paare. Die Kombination dieser drei Konstanten finden wir in der Gleichung:

$h=2\cdot e\cdot \Phi _{0}$ [12-1]

Im Fall der Supraleitung finden wir die Zwei im Zusammenhang mit der Ladung des Cooper-Paars. Bei der Ladung hätte ich sie auch allgemein vermutet, denn im ladungsneutralen Universum gibt es für jede Ladung eine zweite entgegengesetzte. Im Folgenden ist diese Zwei jedoch fast immer mit dem magnetischen Flussquant kombiniert, wenn man nach „schönen“ Gleichungen sucht. So auch beim Klitzing-Widerstand $R_{k}$, dessen in der Literatur gefundene Beschreibung $R_{k}={\frac {h}{e^{2}}}=25813{\text{ Ohm}}$ sich leicht mit [12-1] in den Quotienten aus Magnetfluss zu Ladung wandeln lässt:

$R_{k}={\frac {2\Phi _{0}}{e}}$ [Vs/As] [12-2]

Wenn es magnetisch nur Dipole gibt, enthalten diese zwingend zwei Pole mit den diese dann umgebenden Flussquanten und zusätzlich den entsprechenden Fluss, der die Pole verbindenden Dirac-String. Gedanklich problemlos lässt sich diese Zwei weiterhin auch dem Abtasttheorem zuordnen.

Neben diesen beiden elektromagnetischen Quanten $e$ und $\Phi _{0}$ gibt es automatisch noch zwei weitere. Jede Elementarladung ist Quelle eines zugehörigen elektrischen Feldes und damit gibt es auch einen dazugehörigen, diese Ladung umgebenden, immer gleich großen elektrischen Fluss $\Phi _{E_{0}}$ und umgekehrt gibt es dann auch eine Polstärke $Q_{M}$ für magnetische Flüsse.

Für einen elektrischen Fluss zeigt sich entsprechend der im Gerthsen gefundenen sinnvollen Definition

$\Phi _{E}={\frac {Q}{\epsilon _{0}}}$ [Vm] [12-3]

in der Folge, dass es auch ein elektrisches Flussquant mit der Größe

$\Phi _{E_{0}}={\frac {e}{\epsilon _{0}}}$ [12-4]

geben sollte. Ein Einheitenvergleich zwischen elektrischen und magnetischen Größen ergibt für diesen elektrischen Fluss $\Phi _{E}={\frac {Q}{\epsilon _{0}}}$ [As · Vm / As] die Einheit [Vm]. Im Produkt von Ladung und Fluss zeigen sich vier elementare Maßeinheiten $\Phi _{E}\cdot Q$ [VAms]. Die Einheit der elektrischen Ladung $Q$ ist [As], die Einheit des magnetischen Flusses $\Phi _{M}$ ist [Vs]. Dann ergibt sich für die Einheit einer magnetischen Ladung $Q_{M}$ aus Symmetriegründen und auch aus dem Gaußschen Satz nach Integration über die Zeit für $Q_{M}$ die Einheit [Am].

Diese Quellenstärke magnetischer Monopole („magnetische Ladung“) ist nach Dirac:

$g={\frac {n}{2}}\cdot h\cdot {\frac {c}{2\pi e}}$ [Vm] [12-5]

Nun ist es in der physikalischen Beschreibung durchaus üblich, durch passende Wahl von Einheiten die rechnerische Beschreibung zu vereinfachen (zum Beispiel mit c = 1) und historisch zu heutzutage unüblichen Maßen zu kommen (die elektrische Kapazität wurde in Zentimeter statt heute üblich in Farad angegeben) oder durch Multiplikation mit Naturkonstanten elektrischen und magnetischen Größen die gleichen Einheiten zu „verpassen“, wie es bei dem elektrischen Fluss verbreitet zu finden ist. Im folgenden werden die elektromagnetischen Quanten so bemaßt, wie es der Symmetrie des im Kapitel „Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten“ diskutierten elektromagnetischen Quaders entspricht. Die Potentiale [V] treten als Ableitungen der Flüsse auf, magnetisch nach der Zeit (Induktionsgesetz) und elektrisch nach dem Raum (Coulomb-Gesetz). Die Ableitungen der Pole liefern den Strom [A], elektrisch die Ladung pro Zeit und magnetisch dann der Bezug auf entsprechende räumliche Änderungen. Die räumlichen Ableitungen beziehen sich wohl nicht auf Längen alleine sondern auf den Quotienten aus einer Fläche pro Länge.

Die in der Literatur erwartete Größe des magnetischen Monopols hat die Einheit

$g={\frac {e}{2\alpha }}$ [As] [12-6]

und ergibt dann multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit $c$ die hier erwartete Einheit.

$Q_{M}={\frac {e\cdot c}{2\alpha }}$ [As · m/s] [12-7]

und eingesetzt ergibt sich der Zusammenhang mit dem elementaren magnetischen Flussquant

$Q_{M}={\frac {e\cdot c\cdot 4\cdot {\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {\mu _{0}}}}}{\frac {2e}{\sqrt {\epsilon _{0}}}}}={\frac {h}{e\cdot \mu _{0}}}={\frac {2\Phi _{0}}{\mu _{0}}}$. [12-8]

Gegenübergestellt zeigen sich elementare elektrische und magnetische Ladungen und Flüsse also entsprechend der folgenden Tabelle 1-1. Die magnetische Ladung kann man dann auch gequantelt mit

$Q_{M_{0}}={\frac {\Phi _{0}}{\mu _{0}}}$ [12-9]

erwarten. Im Folgenden wird allerdings, um den ständigen Faktor Zwei zu vermeiden, wie in Gleichung [12-7] die doppelte Größe $Q_{M}=2Q_{M_{0}}$ verwendet.

Bei den Schwingungsquanten gilt für ihre Energie

$E=h\cdot f$ [12-10]

und für den Zusammenhang zwischen Frequenz und Periodendauer

$T_{\nu }={\frac {1}{f}}$. [12-11]

Tabelle 1-2: Elektrische und magnetische Ladungs- und Flussquanten

Art	Ladung	Fluss
elektrisch	$e=\Phi _{E_{0}}\cdot \epsilon _{0}={\frac {h}{2\Phi _{0}}}=1,602\cdot 10^{-19}$ [As]	$\Phi _{E_{0}}={\frac {e}{\epsilon _{0}}}={\frac {h}{2\Phi _{0}\cdot \epsilon _{0})}}={\frac {hc^{2}}{Q_{M}}}=1,810\cdot 10^{-8}$ [Vm]
magnetisch	$Q_{M}={\frac {2\Phi _{0}}{\mu _{0}}}={\frac {h}{(e\cdot \mu _{0})}}={\frac {hc^{2}}{\Phi _{E}}}=3,2911\cdot 10{-9}$ [Am]	$2\Phi _{0}=Q_{M}\cdot \mu _{0}={\frac {h}{e}}=4,136\cdot 10^{-15}$ [Vs]

Die universelle Darstellung ist daher die Kombination

$h={\frac {E}{f}}=E\cdot T_{\nu }$, [12-12]

die im Einzelfall aus sehr unterschiedlichen Komponenten zusammengesetzt sein kann. Im mechanischen Fall gilt entsprechendes mit

$h=x_{a}\cdot p_{a}$, [12-13]

wobei wir später im Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ im Zusammenhang mit Phononen sehen werden, dass die Ortskoordinate $x_{0}$ als minimale Auslenkung einer Schwingung und der dazugehörigen Impuls $p_{0}$ ebenfalls Quantencharakter zeigen.

Im Experiment begegnen uns die einzelnen Quanten, indem wir sie zählen (Photonen, Elektronen, Flussquanten) oder über größere Anzahlen mitteln (integrieren). Gegebenenfalls interessiert uns auch der zeitliche Abstand, in dem wir sie registrieren (Abklingzeiten, zeitabhängige Dichten). Die Zeit taucht zum einen als ablaufende Zeit $t$ mit Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft auf, wenn eine Dynamik beobachtet wird, oder aber als Dauer einer Messung oder Periode $T={\frac {h}{E}}$, als Quotient von Wirkung und Energie. Das durch die quantisierte Ladung $e$ verursachte Schrotrauschen ist schon lange bekannt und in anderem Zusammenhang verstanden, während die masselose Quantelung des Magnetflusses $\Phi _{0}$, die in den folgenden Überlegungen häufig gleichwertig auftaucht, in unserer Vorstellung noch keinen vergleichbaren Stellenwert erhalten hat.

Die Elementarladung begegnet uns im Experiment bei Elektronen, Protonen und µ-Mesonen. In diesen Fällen ist damit stets eine Masse verbunden und wohl auch die Vorstellung eines Teilchens. Davon benötigen wir im folgenden nur die elektrischen Eigenschaften, also die Ladung, Massen treten in den Maxwellschen Gleichungen ja auch nicht auf. Eine solche Ladung ist zum Beispiel auf der Elektrodenplatte eines Kondensators dann auf viele Elektronen und Protonen räumlich verteilt, ohne selbst als lokalisiertes Teilchen existent zu sein. Auch in Photonen wird sie uns begegnen. Wenn Photonen erzeugt werden, bei der inversen Paarbildung, beim Orbitalwechsel zwischen atomaren Elektronenschalen, mit Speicherringen oder beim Stromfluss in der Rundfunkantenne, sind stets die elementaren Ladungen ausschlaggebend beteiligt und bleiben dann vernünftigerweise auch in Zukunft für die Eigenschaften des Photons prägend.

Der elektromagnetische Quader

Wir finden die elektromagnetischen Quanten in der Literatur zahlreich in Kombination mit Naturkonstanten, wie hier zum Beispiel bei den Gleichungen [12-1] bis [12-9]. Es gelingt, solche Zusammenhänge in einem „elektromagnetischen Quader“ (EMQ) darzustellen. Dabei werden vier Eckpunkte des Quaders durch die Quadrate der vier elektromagnetischen Quanten gebildet, wie es Bild 13-1 zeigt. Die Mitten der sechs Oberflächen ergeben sich als Produkte je zweier unterschiedlicher solcher Quanten. Die Verbindungslinien zwischen diesen ausgezeichneten Punkten stellen Multiplikationsfaktoren dar, die größtenteils als Naturkonstanten bekannt sind oder gegebenenfalls später noch behandelt werden. Auslöser für die folgende Beschreibung war die Erkenntnis, dass man mindestens zwei Quanten braucht, um eine Beziehung zwischen ihnen physikalisch zu realisieren und dass die Größe Energie in vielen Formeln mit dem Quadrat gequantelter Größen auftritt, $E_{C}=Q^{2}/2C,E_{L}=\Phi ^{2}/2L\dotsc$

Bild 13-1: Der elektromagnetische Quader wird aus den Multiplikationen von je zwei elektromagnetischen Quanten aufgespannt.

So muss man das Quadrat der Elementarladung mit dem Klitzing-Widerstand $R_{k}=2\Phi _{0}/e$ multiplizieren, um zum Wirkungsquantum zu gelangen

$R_{k}\cdot e^{2}=2\Phi _{0}\cdot e=h$ [13-1a]

und noch einmal damit multipliziert erreicht man das Quadrat des doppelten magnetischen Flussquants.

$h\cdot R_{k}=(2\cdot \Phi _{0})^{2}$ [13-1b]

Die Koordinaten sind in horizontaler Ebene von links nach rechts die Einheiten von Zeit und Raum (Sekunde und Meter) und von vorn nach hinten die elektrischen Einheiten (Ampere und Volt). Von oben nach unten ändern sich die Einheiten nicht, die Ebenen unterscheiden sich also jeweils um einen reinen Zahlenfaktor, das Doppelte der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante 2α. In der obersten Ebene sind nur elektrische Größen, in der untersten nur magnetische und die mittlere werden wir später der Information zuordnen. Die Multiplikationsfaktoren sind in Bild 13-2 als Verbindungslinien dargestellt. Die Feinstrukturkonstante α zeigt hier das Verhältnis der Vakuumimpedanz $Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}$, die durch den Quotienten der elektromagnetischen raumzeitlichen Beziehungen gebildet wird, zum halben Klitzing-Widerstandes $R_{k}/2=\Phi _{0}/e$ als Quotient der elementaren Quanten im elektromagnetischen Quader links und entsprechendes beim Pendant rechts.

$\alpha ={\frac {\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}{\frac {\Phi _{0}}{e}}}={\frac {\frac {\Phi _{E_{0}}}{Q_{M_{0}}}}{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}}$ [13-2]

Weiterhin ist sie im Verhältnis der im unteren Teil des Bildes markierten Geschwindigkeiten zu finden.

${\frac {\Phi _{E_{0}}}{2\Phi _{0}}}=2\alpha \cdot c$ [13-3]

$v_{Q}={\frac {Q_{M}}{e}}={\frac {c}{2\alpha }}$ [13-4]

und eine weitere Impedanz:

$Z_{MR}={\frac {\Phi _{E_{0}}}{Q_{M}}}={\frac {\frac {e}{\epsilon _{0}}}{\frac {2\Phi _{0}}{\mu _{0}}}}={\frac {{Z_{0}}^{2}}{R_{K}}}=2\alpha \cdot Z_{0}$ [13-5]

sowie Bild 13-2 Mitte die Kombinationen:

• die Lichtgeschwindigkeit $c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\cdot \epsilon _{0}}}$ [13-6]
• die Impedanz des Vakuums ${Z_{0}}^{2}={\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}$ [13-7]
• das Doppelte der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante $2\alpha ={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}\cdot h\cdot c}}$ [13-8]

also insgesamt neun Multiplikatoren.

Bild 13-2: Die Multiplikationsfaktoren im elektromagnetischen Quader.

Diese Quotienten der elektromagnetischen Quantenpaare sind:

• der Klitzing-Widerstand $R_{k}={\frac {2\Phi _{0}}{e}}$
• die Dielektrizitätskonstante $\epsilon _{0}={\frac {e}{\Phi _{E_{0}}}}$
• die Permeabilität des Vakuums $\mu _{0}={\frac {2\Phi _{0}}{Q_{M}}}$

zwei später noch zu behandelnde Geschwindigkeitsgrößen (Bild 13-2 unten).

Ein solcher Quader lässt sich mit drei Maßen für seine eigenen Abmessungen, wie es Bild 13-2 an drei Beispielen zeigt, und einem weiteren für seine Position relativ zum Universum eindeutig definieren. Dies bedeutet, dass all diese Naturkonstanten auf maximal vier Grundgrößen zurückzuführen sein müssen. Die Frage, welche dieser Größen nun die Basis einer solchen Struktur liefern, gibt den Anlass, dann Einzelheiten im Kapitel „Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten“ zu lesen.

Die abzählbare Physik zeigt zahlreiche bekannte physikalische Phänomene unter einem neuen Blickwinkel und mit neuen Zusammenhängen. Ganz neu allerdings ist die Hypothese am Ende der Abhandlung, bei der die Gravitationskonstante auf die Energie räumlicher Beziehungen zurückgeführt wird, als ein mit der Verteilung der Massen im Universum vorgegebener Faktor.

Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz

Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz

Der Quotient von Spannung und Strom stellt die Impedanz dar. Die elektrische Spannung wird durch räumlich verteilte Ladungen und zeitliche Änderung des Magnetflusses bestimmt. Der elektrische Strom ist verknüpft mit bewegten Ladungen und dem ihn räumlich umgebenden Magnetfeld. Die mikroskopischen Größen, Elementarladung $e$ und magnetisches Flussquant $\Phi _{0}$, treten nur in ganzzahliger Form auf, es gibt keine halben Elektronen oder Flussquanten. Daher finden sich im Quotienten aus Spannung und Strom diese ganzen Zahlen in den Brüchen wieder, und wenn Impedanzen gemessen werden, kann dies auf ein Zählen dieser Quanten $e$ und $\Phi _{0}$ zurückgeführt werden. Dieses Zählen hat eine Genauigkeit, die durch die Natur der ganzen Zahlen auf $\Delta =\pm 1$ begrenzt ist.

Es wird gezeigt, dass daraus beim Messen die bekannten Rauschphänomene des Schrotrauschens, Weißes Rauschen und die Nyquist-Grenze folgen. Im Zusammenhang mit der Impedanz von Kondensatoren und Spulen treten Zeiteinheiten auf, die in Kombination mit den Eigenschaften des Klitzing-Widerstandes anschaulich mit dem Ladungstransport verbunden werden. Die Unschärfe beim Abzählen von Ladungen und magnetischen Flussquanten führt zu elektrischen und magnetischen „Nullpunktsfeldern“, deren Quelle die Größe der halben elementaren Quellen hat. Diese Felder treten auch im Zusammenhang mit einer elementaren Hysteresekurve des Memristors auf.

Ist die Welt digital ?

Wenn man sich fragt, ob unsere Welt eine digitale Struktur hat, denkt man normalerweise an Größen wie die Plancklänge $l_{p}=\left({\frac {h\cdot G}{c^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}=1,6\cdot 10^{-35}\,{\text{m}}$ ($G$ Gravitationskonstante, $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ Planckkonstante, $c=2,998\cdot 10^{8}\,{\text{m/s}}$ Lichtgeschwindigkeit) oder die Planckzeit $t_{p}=\left({\frac {h\cdot G}{c^{5}}}\right)^{\frac {1}{2}}=5,4\cdot 10^{-44}\,{\text{s}}$, also sehr kleine Maße, die auf Naturkonstanten zurückgeführt werden. Aber schon in atomaren Strukturen kann man eine digitale Welt sehen, wenn Messwerte durch Abzählen erhalten werden, zum Beispiel die Anzahl der Elektronen in den Schalen der Atome. Die fortschreitende Miniaturisierung der elektronischen Bauelemente führt dazu, dass auch die beteiligten Felder und ihre Quellen immer kleiner werden. Erste Transistoren, die mit der Ladung eines einzelnen Elektrons gesteuert werden, wurden kürzlich demonstriert. Unsere experimentelle Erfahrung zeigt, dass die Beobachtungen wesentlich durch Abzählen gequantelter konstanter Größen bestimmt werden, beim Magnetismus ist beispielsweise die Addition der magnetischen Momente typisch. Die Energie, deren Quantelung uns bei Schwingungen begegnet, ist keine elementar abzählbare Größe. In vielen Experimenten begegnet sie uns zwar gequantelt (beim harmonischen Oszillator, beim Potentialtopf), diese Quanten können aber je nach Frequenz $f$ beliebige Größe haben ($E=h\cdot f$). Das Energiemittel eines abgeschlossenen Systems zählt zwar zu den Erhaltungsgrößen, allerdings kann nach aktueller Vorstellung die Energie für kurze Zeit im Rahmen der Unschärferelation $dE\cdot dt\geq h$ vom Mittelwert abweichen und in einem Raum-Zeit-Element mit konstantem Lichtstrom ist die Anzahl der Photonen keine Erhaltungsgröße.

Als Naturkonstante ist das „Plancksche Wirkungsquantum“ $h=6,626\cdot 10^{34}\,{\text{VAs²}}$ Basis einer „digitalen“ Struktur, was bedeutet, das die Wirkung $H=N\cdot h$ nur in diskreten Schritten wächst, in ganzzahligen Vielfachen von $h$. Außerdem kennen wir beim Elektromagnetismus die vier Quanten, die in Tabelle 1-1 zusammengefast waren.

Im Experiment begegnen uns die einzelnen Quanten, indem wir sie zählen (Photonen, Elektronen, Flussquanten) oder über größere Zahlen mitteln (integrieren). Gegebenenfalls interessiert uns auch der zeitliche Abstand, in dem wir sie registrieren (Abklingzeiten, zeitabhängige Dichten). Die Zeit taucht zum einen als ablaufende Zeit $t$ mit Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft auf, wenn eine Dynamik beobachtet wird, oder aber als Dauer eines definierten Zustandes, einer Messung oder Periode $T={\frac {h}{E}}$, als Quotient von Wirkung und Energie.

Wir wollen uns nun mit der Frage beschäftigen, was die oben benannte Quantisierung für die Eigenschaften der elementaren elektronischen Bauelemente und deren einfachsten Kombinationen zur Folge hat.

Strom – Spannung – Impedanz

In den folgenden Überlegungen treten zeitliche und räumliche Komponenten auf. Wie in der speziellen Relativitätstheorie (Minkowskis vierdimensionale Welt $x_{1}=x$, $x_{2}=y$, $x_{3}=z$, $x_{4}=jct$) wird die zeitliche Komponente mit der Wurzel aus minus eins

$j={\sqrt {-1}}$

multipliziert, das wird dann im folgenden gebraucht, um schließlich zu bekannten Formeln zu gelangen. Es wird hier das in der Elektrotechnik übliche $j$ benutzt, um Verwechselungen mit $i$ als Zählgröße oder Index zu vermeiden. Die Größen Induktivität L und Kapazität C enthalten die Information, wie die magnetischen oder elektrischen Felder räumlich verteilt sind, die von einzelnen Strömen und Ladungen geliefert werden. Für die Spule mit dem effektiven Querschnitt $A$, der Windungszahl $N$ und der Länge $l$ gilt

$L=\mu \mu _{0}A\cdot N/l=\mu _{0}\cdot \lambda _{L}$ [Vs/A] [22-1]

und für den Kondensator

$C=\epsilon \epsilon _{0}A/d=\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}$ [As/ V] [22-2]

jeweils mit einem Quotienten $\lambda _{X}$ aus Feldfläche und -länge. Dieser Quotient sei durch eine jeweilige Länge $\lambda _{L}=A/l$, $\lambda _{C}=A/d$ im Folgenden abgekürzt verwendet, außerdem sei der Einfachheit halber $\mu =1=\epsilon$ es gebe also keine Wechselwirkung mit umgebender Materie.

Der elektrische Strom fließt in gequantelter Form mit einem Anteil, der von bewegten Ladungen herrührt und einem anderen induziert vom Magnetfeld. Beide sind unabhängig voneinander, dies wird mit der Darstellung als einer komplexen Zahl symbolisiert. Dabei ist der Realteil einer räumlichen Komponente zuzuordnen und der Imaginärteil einer zeitlichen.

$I=\Phi _{M}/L+dQ/jdt=m\cdot \Phi _{0}/L+\Delta n\cdot e/(j\Delta t)$ [A] [22-3]

Auch die Spannung wird durch solche elementaren Quanten geprägt:

$U=Q/C+d\Phi _{M}/(jdt)=n\cdot e/C+\Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t)$ [V] [22-4]

In jedem Glied dieser Gleichungen treten die gequantelten Größen auf. Die stationären Größen Flussquant $\Phi _{0}$ und Ladung $e$ werden mit ihren Anzahlen $m$, $n$ gezählt. Änderungen dieser Anzahlen sind mit $\Delta m$, $\Delta n$ im dynamischen Fall im Zeitraum $j\Delta t$ zu beobachten. Der Strom enthält das ihn aufrecht erhaltende (im Raum statische) Magnetfeld und (dynamisch) die ihn transportierenden Ladungen. Die Spannung wird durch statische Ladungen im Raum und deren elektrischem Feld erzeugt sowie durch die Dynamik der Induktion, das sich ändernde Magnetfeld. Strom und Spannung sind dabei mit beliebigen Werten realisierbar, da jeweils variable Komponenten wie zeitlich das $j\Delta t$ (als imaginäre Anteile) und räumlich die die Geometrie der Felder charakterisierenden Größen $L$ und $C$ auftreten und beliebige analoge (Zwischen-)Werte ermöglichen.

Die räumlichen Komponenten sind die realen Anteile und lassen sich auch mit den beiden anderen elektromagnetischen Quanten darstellen

$I=m\cdot Q_{M0}/\lambda _{L}+e\cdot \Delta n/j\Delta t$ [A] [22-3]

$U=n\cdot \Phi _{E0}/\lambda _{C}+\Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t)$ [V] [22-4]

Eine Impedanz, die ein passives elektronisches Bauelement charakterisiert, wird allgemein durch das Verhältnis Spannung zu Strom gegeben. Aus den Gleichungen [22-4] und [22-3] kann man vier extreme Impedanzen separieren, die Quotienten der Realteile, der Imaginärteile und die entsprechend gemischten Glieder. Mit einer Matrixdarstellung der möglichen Kombinationen sind in Tabelle 2-1 die zwei Anteile der Spannung für die Spalten und die beiden Komponenten des Stroms für die Zeilen verwendet.

Tabelle 2-1: Vier ausgezeichnete Impedanzen

Z = U / I			Spannung (Im)	Ladung (Re)
		U =	Φ0 · Δm / j Δt	n · e / C
	I =	\
Strom (Im)	e · Δn / j Δt		R = Ui / Ii	C: = Ur / Ii
			Widerstand U/I	1/ Kapazität U/Q
Magnetfluss (Re)	m · Φ0 / L		L: = Ui / Ir	M = Ur / Ir
			Induktivität Φ/I	Memristor Φ/Q

Die Elemente der Matrix sind die Quotienten aus Spannung und Strom. Diese Quotienten sind, wie im folgenden gezeigt, die vier bekannten fundamentalen Bauelemente Widerstand, Kondensator, Spule und der erst vor vierzig Jahren entdeckte Memristor, der Widerstand mit „Gedächtnis“, dessen Widerstandswert von der Vorgeschichte seines Betriebs abhängt.

Im Einzelnen betrachtet, ergibt sich als Quotient der auf zeitliche Änderungen bezogenen Imaginärteile (Spannung und Strom $R=U_{i}/I_{i}$) der normale ohmsche Widerstand mit

$R=(\Phi _{0}\cdot \Delta m/j\Delta t)/(e\cdot \Delta n/j\Delta t)=(\Phi _{0}\cdot \Delta m)/(e\cdot \Delta n)=(\Delta m/\Delta n)\cdot (R_{k}/2)$ [V/A] [22-5]

als Quotient der Änderung der Anzahl magnetischer Flussquanten m pro im gleichen Zeitintervall geänderter Anzahl der Ladungsquanten $\Delta n$ multipliziert mit dem halben Klitzing-Widerstand $(R_{k}/2)=\Phi _{0}/e$, dem Quotienten aus zwei elementaren elektromagnetischen Quanten.

Der zweite der reellen Quotienten ist der Memristor. So, wie ihn Leon Chua ursprünglich definiert hat, lässt er sich mit den elementaren elektromagnetischen Quanten wie folgt darstellen:

$M=\Phi _{M}/Q=(m\cdot \Phi _{0})/(n\cdot e)$ [V/A] [22-6]

Die Impedanz des Memristors ist unten als Quotient der Realteile von Gleichungen [22-3] und [22-4] zu finden.

Hier sind also nicht in die Änderungen der Quantenzahlen relevant, sondern deren absolute Werte $m$ und $n$, gegebenenfalls gezählt ab einem noch zu definierenden Startzeitpunkt. Wie später noch gezeigt wird, sind dies raumbezogene Anzahlen. Dieses Verhältnis der Anzahl magnetischer Flussquanten $m\cdot \Phi _{0}$ zur Anzahl der Elementarladungen $n\cdot e$ ist der Widerstand mit Gedächtnis, mit dem man derzeit elektronische Datenspeicher entwickelt.

Die gemischten Quotienten ergeben die imaginären Impedanzen der Kapazität $C$ und der Induktivität $L$.

Für die Kapazität ergibt sich (U-Real- / I-Imaginärteil) das Verhältnis der räumlich gespeicherten Ladungen zu deren zeitlicher Änderung

$Z_{C}=(n\cdot e/C)/(e\cdot \Delta n/j\Delta t)=n\cdot j\Delta t/(\Delta nC)$ [22-9]

entsprechend der klassischen Formulierung

$Z_{C}=-1/(j\omega C)$ [22-9a]

mit der sich durch Vergleich ergebenden Kreisfrequenz

$\omega =-\Delta n/(n\cdot \Delta t)$ [22-10]

Man erhält also den bekannten Wechselstromwiderstand. Die Kreisfrequenz $\omega$ ist demnach ein Maß dafür, wie schnell sich die Anzahl der Elektronen $\Delta n/\Delta t$ pro Zeitintervall auf den Kondensatorplatten ändert, und das relativ in Bezug auf die Gesamtzahl $n$.

Und für die Induktivität (U-Imaginär- / I-Realteil, Anzahl der Flussquanten pro ihrer zeitlichen Änderung) gilt sinngemäß ebenfalls vertrautes.

$Z_{L}=(\Delta m\cdot \Phi _{0}/j\Delta t)/(m\cdot \Phi _{0}/L)=-j\cdot L\cdot \Delta m/(m\cdot \Delta t)=j\omega L$ [22-11]

entsprechend mit der Kreisfrequenz $\omega$:

$\omega =-\Delta m/(m\cdot \Delta t)$ [22-12]

Anstatt der Elektronen $e$ beim Kondensator treten also bei der Induktivität die Magnetflussquanten $\Phi _{0}$ bei im Prinzip gleicher Formelgestalt in Erscheinung.

Ausgehend von den Definitionsgleichungen der Kapazität und der Induktivität erhält man Formeln für deren Impedanzen, die sich wie bei den resistiven Elementen als Produkte aus dem halben Klitzing-Widerstand $(R_{k}/2)$ und Quotienten aus Anzahlen von Ladungen und Flussquanten darstellen lassen.

Kondensator:

$1/C=U/Q=\Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t\cdot n\cdot e)=(\Delta m/(j\Delta t\cdot n))\cdot {R_{k}/2}$ [22-13]

Um dem elektrostatischen Potential hervorgerufen von $Q=n\cdot e$ Elementarladungen auf der Kapazität $C$ Paroli zu bieten, ist also die Spannung einer dynamische Änderung eines Magnetflusses auf induktiver Seite von $\Delta m$ magnetischen Flussquanten $\Phi _{0}$ pro Zeitintervall $j\Delta t$ erforderlich.

Spule:

$L=\Phi _{M}/I=m\cdot \Phi _{0}/(e\cdot \Delta n/j\Delta t)=(j\Delta t\cdot m/\Delta n)\cdot m{R_{k}/2}$ [22-14]

Bei der Induktivität $L$ entsprechen $m$ Flussquanten $\Phi _{0}$ dem Stromfluss von $\Delta n/j\Delta t$ Elektronen $e$.

In der analogen Welt werden Widerstände und Impedanzen als Quotient von Spannung und Strom gemessen und das Ergebnis ist eine reelle oder komplexe Zahl. Aus obigen Überlegungen ergibt sich nun eine andere Betrachtung:

In der Welt dieser Quanten bedeutet das Messen einer Impedanz das Zählen von Elektronen, Flussquanten und deren Änderung während gegebenenfalls vom Experimentator definierter Zeiträume.

Die Gleichungen [22-3] und [22-4] liefern mit $R=(\Phi _{0}\cdot \Delta m)/(e\cdot \Delta n)$

$I=m\cdot \Phi _{0}/L+e\cdot \Delta n/j\Delta t=m\cdot \Phi _{0}/L+\Delta m\cdot \Phi _{0}/(R\cdot j\Delta t)$ [22-3b]

sowie

$U=n\cdot e/C+\Phi _{0}\cdot \Delta m/j\Delta t=n\cdot e/C+\Delta n\cdot e\cdot R/j\Delta t$ [22-4b]

und lassen sich jeweils als Kombination von elektrischen und magnetischen Anteilen interpretieren. Andererseits zeigen sie zeitlich betrachtet eine Kombination statischer und dynamischer Komponenten. Beides wird in den späteren Kapiteln eine Rolle spielen.

Unter diesem Aspekt sind der Widerstand $R=U_{i}/I_{i}$ und der Memristor $M=U_{r}/I_{r}$ Quotienten zeitlich gleichartiger Größen, während der Kondensator mit $C:U_{r}/I_{i}$ und die Spule mit $L:U_{i}/I_{r}$ statische und dynamische Anteile untereinander verbinden. Sortiert man nach den elektromagnetischen Eigenschaften, so verbindet der Kondensator die elektrischen Größen [22-4b], die Induktivität die magnetischen [22-3b], Widerstand und Memristor sind Kombinationen beider.

Koordinatensysteme

Im klassischen Koordinatensystem mit Strom I und Spannung U, wie es zum Beispiel in der Elektrotechnik für Kennlinien benutzt wird, Bild 23-1, finden wir in der Strom-Spannungsebene {U ; I} zunächst den ohmschen Widerstand $R={\Delta }U/{\Delta }I$als eine Gerade mit einer Steigerung (s. Steigungsdreieck), die den Wert des Widerstandes angibt, und die Verlustleistung P = U·I lässt sich als Rechteckfläche darstellen.

Bild 23-1: Strom-Spannungsebene, der ohmsche Widerstand R bzw. der Leitwert 1/R sind die Steigung einer Geraden, die Verlustleistung P ist eine Fläche.

An dieser Stelle sollte man dazu bemerken, dass unsere Vorstellung vom funktionalen Zusammenhang y=f(x) zweier Größen x und y ja in der Regel ein Denken mit Ursache (x) und deren Wirkung auf (y) beinhaltet. Bild 23-1 links beantwortet also die Frage: wie ändert sich die am Widerstand R abfallende Spannung U, wenn wir den Strom I der Quelle variieren ? Durch Vertauschen der Achsen im rechten Teil des Bildes können wir auch schauen, welcher Strom I sich bei einer angelegten Spannung U ergibt und erhalten dann als Steigung den Leitwert 1/R. Wir können hier also durch Wahl der Art unseres Denkansatzes oder wie das Experiment durchgeführt wird, Ursache und Wirkung tauschen. Die vorgegebene Größe einer Impedanz (R, C, L und M) liefert uns unabhängig von durch den Experimentator bestimmten Kausalitäten Zusammenhänge zwischen den beteiligten Größen U, I, Ladung Q und Magnetfluss $\Phi _{0}$.

Mit der Zeit t als dritter Koordinatenachse, wie sie in Bild 23-2 eingeführt wird, ergibt sich zunächst der Energieumsatz $E=\int P\cdot dt$ als Quader-Volumen über der Fläche $P=U\cdot I$, der Leistung. Das Volumen der Energie $E_{R}$, das die in dem Widerstand umgesetzte Wärme zeigt, die dem System elektromagnetisch verloren geht, wächst im Laufe der Zeit kontinuierlich an. $E_{R}$ wird deswegen in diesem Koordinatensystem über einen Zeitraum $t=0\ldots T$ ausgedehnt dargestellt.

Bild 23-2: Energieumsatz als Volumen über der Leistungsfläche in einer Impedanz $R=dU/dI$ während der Zeit $t=0\ldots T$.

Strom und Spannung sind jeweils zeitliche Ableitungen der gequantelten Größen Ladung e und Magnetfluss $\Phi _{0}$. Durch entsprechende Integration lässt sich obiges Koordinatensystem in solch eines umwandeln, bei dem die abzählbaren Größen die Achsen bilden, Bild 23-3. Nach der doppelten zeitlichen Integration jeweils von Strom- und Spannungsachse ist es praktisch, die Zeitachse zweimal durch die Zeit zu dividieren und in eine Frequenzachse umzuwandeln. Dann sind die Volumen in diesem neuen Koordinatensystem ebenfalls Energien.

Bild 23-3: Darstellung der Wirkungsebene mit den Achsen Ladung $Q=n\cdot e$ und magnetischer Fluss ${\Phi _{M}}=m\cdot {\Phi _{0}}$, beide gequantelt. Mit der dritten Achse Frequenz f stellen die dargestellten Volumen Energien dar.

Die aktuelle Zeit t ist durch das mehrfache Integrieren sozusagen versteckt worden. Die „aktuelle Zeit“ t weicht daher einem Zeitraum, Sekunden addieren sich zu Minuten oder Stunden. Einzelne Zeitpunkte verschwinden unlokalisiert in einem Zeitraum T definierter Dauer. Aus dieser Projektion betrachtet beschreiben Zeitkonstanten und Periodendauern die Natur (siehe die späteren Kapitel). Wir kennen so etwas in der klassischen Physik von der Fouriertransformation beim Umrechnen vom „ablaufenden“ Zeitbereich in den Frequenzbereich, der durch Periodendauern T = 1 / f gekennzeichnet ist, und zurück. Die Ebene mit den Koordinatenachsen Ladung Q und magnetischer Fluss $\Phi _{M}$, beide gequantelt, enthält Flächen der Wirkung H = Energie x Zeit, ebenfalls gequantelt.

Ladung Q, Magnetfluss $\Phi _{M}$ und Frequenz f sind hier skalare Größen. In diesem Koordinatensystem {Q ; $\Phi _{M}$ ; f}. gibt es keine raum-zeitliche Darstellung. Es gibt weder ein räumliches hin und her oder davor und dahinter noch ein zeitliches vorher und nachher. Raum und ablaufende Zeit sind ausgeblendete Eigenschaften des hiermit dargestellten Teils der Realität.

Bei den in Bild 23-4 gezeigten Koordinatensystemen {U ; Q ; t} und {$\Phi _{M}$; I ; t} sind die ablaufende Zeit t, Strom I und Spannung U mit Richtungen in Raum oder Zeit verknüpft und nur eine Größe ($\Phi _{M}$ oder Q) ist jeweils durch eine natürliche Zahl, einen Skalar, charakterisiert; im System {U ; I ; t} waren alle Koordinaten in der Raumzeit gerichtet.

Bild 23-4: Aufladen eines Kondensators. Der Kondensator zeigt sich reziprok als Gerade 1/C, die gespeicherte Energie E als Dreiecksfläche. Die Zeitachse t spiegelt in diesem Fall die fortlaufende aktuelle Zeit t wider.

Das Volumen entspricht jetzt der Wirkung H. Die Zeitachse t spiegelt in diesem Fall die fortlaufende aktuelle Zeit t wider. Da die Ladung Q=n·e und die Wirkung H=N·h gequantelt sind, müssen auch die blauen Flächen, die einem Magnetfluss $\Phi _{M}$ entsprechen, gequantelt sein. Rechts daneben das entsprechende Koordinatensystem einer Spule.

Das „digitale“ Koordinatensystem

Das Koordinatensystem mit den Achsen $\Phi _{M}$ und Q ist durch die abzählbaren Größen Flussquanten $m\cdot \Phi _{0}$ und Elementarladungen $n\cdot e$, die uns die Energie tragenden elektromagnetischen Felder liefern, digital strukturiert. Magnetfelder sind Dipolfelder, elektrische Felder haben als Quellen Monopole. Im folgenden wird jedenfalls, wenn von einem aufgeladenen Kondensator geredet wird, gemeint sein, das die Ladungsneutralität auch im betrachteten System gilt und das für jedes zusätzliche Elektron auf einer Elektrode (zum Beispiel einer der Kondensatorplatten) der gegenüberliegenden eines verloren gegangen ist, dort fehlt es und es gibt dort dann ein „Loch“ mit entgegengesetzter Ladung.

Bild 23-5: Die Digitalisierung mit der Wirkung h ermöglicht typische Kombinationen von Flussquanten $\Phi _{0}$ und Elementarladungen e (von links nach rechts:):
I- Flussquant $\Phi _{0}$ und Cooper-Paar 2e,
II- Flussquant $\Phi _{0}$ und Elektron-Loch-Paar +e /-e,
III- Elektron e ohne Magnetfeld +$\Phi _{0}$ /-$\Phi _{0}$,
IV-Elektron e beim Stromtransport im Klitzing-Widerstand Rk mit 2$\Phi _{0}$ pro e)

Das Produkt von Ladung Q und Magnetfluss $\Phi _{M}$ bildet auf der Grundfläche des Koordinatensystems {Q ; $\Phi _{M}$ ; f}, Bild 23-3, wie in Bild 23-5 gezeigt, eine Fläche der Wirkung H, die ebenfalls als elementare Naturkonstante h quantisiert auftritt. Das kleinste Rechteck in der Ebene mit den Kanten Elementarladung e und Flussquant $\Phi _{0}$ hat allerdings nur die halbe Fläche dieser kleinsten Wirkungseinheit h. In der $H=Q\cdot {\Phi _{0}}$ Ebene findet sich das magnetische Flussquant $\Phi _{0}$ in Einklang mit der Mindestgröße h entweder mit zwei Ladungen von Elektronen, also zum Beispiel des „Cooper-Paars“ der Supraleitung (Bild 23-5, I, links), in diesem Zusammenhang wurde es ja das erste Mal experimentell nachgewiesen, oder mit einem Elektron-Loch-Paar, II, der ladungsneutralen Variante des Stromtransportes. Denkbar wäre auch ein Elektron-Positron-Paar, wie es bei der Paarbildung erscheint. Die statische Ladung des einzelnen Elektrons erfordert zwei sich kompensierende magnetische Flussquanten $\Phi _{0}$, Bild 23-5 III, oder die beim Ladungstransport auftretende Variante mit zwei Flussquanten $\Phi _{0}$ einer Richtung (Bild 23-5, IV, rechts). Dieses Bild begegnet uns bei der Impedanz des Klitzing-Widerstandes Rk. Alle gezeigten Beispiele haben noch das symmetrische Pendant, was vielleicht zum Verständnis der Hochtemperatursupraleitung beitragen würde. Nicht gezeigt sind also zum Beispiel die auf der entgegengesetzten linken Seite des Koordinatensystems noch möglichen Kombinationen zweier Löcher bzw. Positronen.

Der Widerstand und seine Messung

Der ohmsche Widerstand R ist durch die Proportionalität von Strom I und Spannung U charakterisiert, im Koordinatensystem {$\Phi _{M}$ ; Q ; f} gilt $e\cdot \Delta n/j\Delta t\sim \Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t)$. Außerdem wird Energie umgesetzt, nicht notwendigerweise in Wärme, auch durch Strahlung und mit Leitungen können die energietragenden Felder mit der ihnen innewohnenden Information abgeführt werden, ohne dabei in ungeordnete Bewegung unter Informationsverlust überführt zu werden. Mit einer idealen, unendlich langen Leitung bleibt die raum-zeitliche Struktur der elektromagnetischen Felder erhalten, nur ihre Position in Raum und Zeit verändert sich. Für solche Leitungen gilt die obige Proportionalität, und man kann eine Impedanz messen: $Z={\frac {U}{I}}={\frac {E}{H}}={\sqrt {\frac {\frac {dL}{dx}}{\frac {dC}{dx}}}}={\sqrt {\frac {L'}{C'}}}$, die sich aus dem Verhältnis Induktivität pro Länge [dL/dx] zu Kapazität pro Länge [dC/dx] ergibt (E und H sind die elektrischen und magnetischen Feldgrößen). Das Ersatzschaltbild zweier solcher Leitungen unterschiedlicher Impedanz zeigt Bild 24-1. Ersetzt man das Ende einer unendlichen Leitung (wie sie im oberen Teil des Bildes angedeutet ist) durch einen ohmschen Widerstand gleichen Wertes (wie an der unteren Leitung gezeigt), so ist dies links eingangsseitig nicht zu merken. Betrachten wir einen Widerstand R zum besseren Verständnis des folgenden zunächst als Strom und Ladung transportierendes und elektromagnetische Felder tragendes Element realisiert mit einer Leitung und ein Umsetzen von elektromagnetischer Feldenergie in Wärme erst als einen zweiten Schritt, dann sehen wir die elektromagnetischen Felder der folgenden Überlegungen anschaulich. Die beteiligten Felder weisen in diesem Bild zunächst noch eine Struktur und feste Beziehungen zueinander auf, die beim Umwandeln in Wärme dann verloren geht und der Unordnung weicht.

Bild 24-1: Ersatzschaltungen elektrischer Leitungen unterschiedlicher Impedanz $Z={\sqrt {\frac {\frac {dL}{dx}}{\frac {dC}{dx}}}}={\sqrt {\frac {L'}{C'}}}$.

Was passiert nun bei fest gewähltem Zeitintervall ${\Delta }t$, wenn der Strom I nicht kontinuierlich fließt, sondern aus einzelnen Ladungspaketen ${\Delta }n\cdot e$ besteht ? Man registriert dann Stromstöße und zählt die einzelnen Elektronen und magnetischen Flussquanten entsprechend obigen Überlegungen. Ein Widerstand ist dann durch das Verhältnis ${\Delta }m$ zu ${\Delta }n$ der Anzahlen magnetischer Flussquanten${\Delta }m\cdot {\Phi _{0}}$ (für die Spannung) zu den Ladungen ${\Delta }n\cdot e$ (für den Strom) während einer Messdauer T charakterisiert. Beim Verhältnis ${\Delta }m:{\Delta }n=1:1$ liegt der Wert des halben Klitzing-Widerstandes $R_{k}/2=\Phi _{0}/e$ vor und die Grafik Bild 24-2 zeigt ihn (schwarz, 45°) und andere Widerstände mit entsprechender Steigung. Aufgrund der gerasterten Struktur der Ebene gibt es nur rationale Vielfache des Klitzing-Widerstandes als Ergebnis.

Bild 24 -2: Verschiedene Widerstände in der Wirkungsebene und die Digitalisierungsunschärfe h an dem Beispiel ${\delta }m=3und{\delta }n=6,R_{6/3}={R_{k}/2}/2$.

Beim Messen von ${\Delta }m\Phi _{0}$ und ${\Delta }n\cdot e$ ergibt sich auch eine Grenze der Genauigkeit aufgrund der diskreten Struktur der gezählten Größen. Jede der natürlichen Zahlen ${\Delta }m$ und ${\Delta }n$ unterscheidet sich von der nächsten um eins, und daraus ergibt sich die bekannte fundamentale Unsicherheit von $\Delta =\pm 1$. Die Größe (Fläche) dieser Unsicherheit ergibt sich für jeden Punkt des Diagramms, als Beispiel gezeigt am Quadrat um den Punkt (6;3) in Bild 24-2. Die Unsicherheitsfläche hat die Größe der Planck’schen Konstanten h, [12-1]. Dies ist wieder ein Beispiel dafür, dass die Heisenbergsche Unschärferelation eigentlich eine Digitalisierungsungenauigkeit bedeutet und des weiteren, dass die Plancksche Konstante die Informationseinheit 1 Bit darstellt.

Daraus folgt nun, dass ein Widerstand nur so genau bestimmt werden kann, wie es die Anzahl der bei der Messung gezählten Quanten zuläßt. Wie viele Quanten erforderlich sind, entnehmen wir dem Bild 24-3. Mit 1 bis 3 Quanten können wir überhaupt keine Aussage treffen, außer dass gegebenenfalls ein Widerstand vorhanden ist. Die möglichen Kombinationen sind in Tabelle 2-2 aufgelistet. Unter der Annahme der maximalen Unsicherheit von $\Delta =\pm 1$ für beide gezählten Größen ergibt sich für den Quotienten $m/n$ der komplette Bereich von 0 bis unendlich, mit drei Quanten sind vielleicht zwei unterscheidbare Klassen angedeutet.

Bild 24 -3: Die Genauigkeit der Widerstandsbestimmung ist abhängig von der Anzahl $L={\Delta }m+{\Delta }n$ der gemessenen Quanten. Unterscheidbar sind K = L -1 Klassen von Widerstandsgrößen.

Tabelle 2-2: Kombinationen von 1 bis 3 gemessenen Quanten $\Delta m,\Delta n$ , die dazugehörigen Unsicherheitsbereiche $(\Delta m\pm 1,\Delta n\pm 1$) und die Möglichkeiten ihrer Quotienten $\Delta m/\Delta n$ , wenn die Digitalisierungsunschärfe $\Delta =\pm 1$ berücksichtigt wird

Quantenanzahl L = Δm + Δn	Anzahl der Flussquanten Δm · Φ0	Unsicherheitsbereich Δm+-1	Anzahl der Ladungen Δn · e	Unsicherheitsbereich Δn+-1	Quotientenbereich Δm / Δn bei D = + -1 R = (Δm/Δn) · {Rk/2}
1	1	0 - 2	0	-1 - 1	$0-\infty$
	0	-1 - 1	1	0 - 2	$0-\infty$
2	0	-1 - 1	2	1 - 3	0 - 1
	1	0 - 2	1	0 - 2	$0-\infty$
	2	1 - 3	0	-1 - 1	$1-\infty$
3	0	-1 - 1	3	2 - 4	0 - 1/2
	1	0 - 2	2	1 - 3	0 - 2
	2	1 - 3	1	0 - 2	$1/2-\infty$
	3	2 - 4	0	-1 - 1	$2-\infty$

Mit vier Quanten entsprechend Tabelle 2-3 kann man mit dem aufrecht stehenden Fehlerquadrat bereits drei Widerstandsbereiche unterscheiden. Mit sechs Quanten sind es dann fünf Bereiche, mit acht Quanten sieben und so weiter… Für die Anzahl $K$ der unterscheidbaren Widerstandsklassen gilt bei einer Anzahl $L=\Delta m+\Delta n$ von gezählten elektromagnetischen Quanten,

$K=L-1$. [24-1]

Andererseits ist die Zahl $M$ der möglichen Kombinationen im Bereich von $m$ Flussquanten und $n$ Elektronen

$M=m\cdot n$ [24-2]

Tabelle 2-3: Kombinationen von vier gemessenen Quanten $\Delta m,\Delta n$ , die dazugehörigen Unsicherheitsbereiche $(\Delta {m\pm 1},\Delta {n\pm 1})$. Die Möglichkeiten ihrer Quotienten $\Delta m/\Delta n$, wenn die Digitalisierungsunschärfe $\Delta =\pm 1$ berücksichtigt wird, ergeben drei unterscheidbare Klassen K (gelb, grün und blau) mit Überschneidung.

Quantenanzahl L = Δm + Δn	Anzahl der Flussquanten Δm · Φ0	Unsicherheitsbereich Δm+-1	Anzahl der Ladungen Δn · e	Unsicherheitsbereich Δn+-1	Quotientenbereich Δm / Δn bei D = + -1 R= (Δm/Δn) · {Rk/2}
4	4	3 - 5	0	-1 - 1	$4-\infty$
	3	2 - 4	1	0 - 2	$3/2-\infty$
	2	1 - 3	2	1 - 3	1/2 - 2
	1	0 - 2	3	2 - 4	0 - 2/3
	0	-1 - 1	4	3 - 5	0 - 1/4

Entsprechend ergibt sich für jede Steigung in dem m, n Diagramm eine Umgebung der Ungenauigkeit, Bild 24-3 rechts zeigt dies. Gemessen werden immer rationale Vielfache des Klitzing-Widerstandes $R_{k}$ mit definierter Ungenauigkeit. Jede Widerstandsgerade ist daher von einem „Schlauch“ des undefinierten Bereiches mit der von $\Delta =\pm 1$ vorgegebenen Breite umgeben. Jedenfalls könnte man schon jetzt mit einigem Rechenaufwand das für den Stromfluss mit gequantelten Ladungen typische Schrotrauschen (das Prasseln der an einem Detektor ankommenden Elektronen) ableiten, dies gelingt jedoch auf anderem Wege sehr viel einfacher, wie im Folgenden gezeigt werden wird.

Wegen der Größe des Unsicherheitsbereiches h ergibt sich aus dem Bild 24-3, dass mit diesen Quadraten alle möglichen Kombinationen abgedeckt werden und die Anzahl der Wirkungsquanten $N\cdot h$ damit identisch mit der Menge der Information ist. Die Größe Widerstand, die Steigung der Geraden, ist ein Teil dieser Information, der Abstand zum Ursprung ein anderer. Wie im Kapitel „Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film“ zur Messung gezeigt wird, enthält die Menge der Quanten weitere Information, dies tritt im Signal zu Rausch-Verhältnis, das gleich behandelt wird, zu Tage. Die Fläche der Kombinationsmöglichkeiten könnte auch mit Quadraten abgedeckt werden, bei denen die Anzahl L ungerade ist. Die Physik kennt den Unterschied von Bosonen und Fermionen. Das Abtasttheorem erfordert für das Erkennen von Strukturen mindestens zwei Abtastwerte, durch die ein Unterscheiden möglich wird. An dieser Stelle sei es daher bei geraden Werten für L belassen.

Der Energieaufwand beim Messen und das dabei auftretende Rauschen

Das Messen des Wertes eines Widerstandes liefert Information über seine Größe. Diese Information ist hier in der Kombination der beiden Anzahlen für magnetische Flussquanten und Elementarladungen mit der Beziehung eines Quotienten enthalten. Eine weitere mögliche Beziehung zwischen diesen Anzahlen wäre ihr Produkt. Das Produkt aus Spannung und Strom ist die Leistung. Spannung und Strom sind aber die zeitlichen Ableitungen dieser Anzahlen und das Produkt liefert daher die Leistung zweimal multipliziert mit der Dauer der Messung, $P\cdot \Delta t\cdot \Delta t=E\cdot \Delta t=H$, also eine Wirkung.

Strom I und Spannung U bestimmen zunächst die Leistung $P=U\cdot I$, die im Widerstand $R=U/I$ umgesetzt wird, multipliziert mit der Zeit t ergibt dies die Energie $E=\int Pdt$ . Wir werden jetzt den Energieaufwand $E$ berechnen, der nötig ist, um den Widerstandswert $R$ mit einer gewünschten vorgegebenen Genauigkeit zu bestimmen (Die Messdauer sei $T$; $\Delta m,\Delta n$ sind die Anzahlen der während dieser Zeit gezählten magnetischen und elektrischen Quanten). Die erreichbare Genauigkeit hängt von der Anzahl der gezählten Quanten $\Delta m$ und $\Delta n$ ab und damit von der durch ihre Anzahl aufgespannten Fläche, dem Maß für die Informationsmenge. Diese entspricht einer Anzahl $N=\Delta m\cdot \Delta n/2$ von Wirkungsquanten h = 2 e $\Phi _{0}$ [12-1]. Die aufzuwendende Energie $E=N\cdot h/T$ ist das in Bild 24-4 aus der Grundfläche $\Delta m\cdot \Delta n$ und der Höhe $f=1/T$, der Bandbreite, aufgespannte Volumen. Diese Energie entspricht der Datenrate [Bit/s]:

$E=U\cdot I\cdot T=(\Delta m\cdot \Phi _{0}/T)\cdot (\Delta n\cdot e/T)\cdot T=\Delta m\cdot \Delta n\cdot \Phi _{0}\cdot e/T=N\cdot h/T$ [24-3]

Der Energieaufwand beim Messen wächst also sowohl mit zunehmender Informationsmenge und damit gewünschter Genauigkeit bei gleicher Messdauer (das entspricht der Größe der Grundfläche dieses Volumens) als auch bei kürzerer Messdauer (der Bandbreite f = 1/T). Es besteht die durch das Zählen bedingte Unbestimmtheit der Messung, die mit dem diagonalen Quadrat an der Spitze jeder Grundfläche im Beispiel von Bild 24-4 angedeutet ist.

Bild 24-4: Energieaufwand zum Messen, $E=\Delta m\cdot \Delta n/T$ entspricht dem Volumen, die Maßquadrate der Grundfläche haben die Größe $h/2$.

Die Anzahl der Wirkungsquanten der Grundflächen $N=\Delta m\cdot \Delta n/2$ ist das halbe Produkt zweier Anzahlen von Quanten, $\Delta m$ und $\Delta n$, denn es gilt, wenn man die Quadrate der Ebene mit der Größe $h/2$ abzählt

$\Delta m\cdot \Delta n\cdot (h/2)\cdot 1/T=N\cdot h/T=E,N=\Delta m\cdot \Delta n/2$ [24-4]

An dieser Stelle fällt auf, da die Zahl $N$ der Wirkungsquanten $h$ eine ganze Zahl ist, folglich einer der Faktoren $\Delta m$ oder $\Delta n$ gerade sein muss (siehe auch Bild 23-4 und die Bemerkung zu Bild 24-3).

Die Anzahl $\Delta n$ der zählbaren Ladungen e wächst mit der Stromstärke $e\cdot (\Delta n/\Delta t)$ und der Messdauer T. Bei gleicher Anzahl und kurzer Messdauer T wachsen die Verluste mit dem Quadrat der Stromstärke $I=\Delta n\cdot e/T$, während diese in die gesuchte Messgröße Widerstand (dem Signal S) nur linear eingeht.

Nun kann man auch über das Signal S und Rauschen R Aussagen machen. Die Energie $E_{s}$ des Signals S wächst mit der Grundfläche $S=\Delta m\cdot \Delta n\cdot h/2$ und mit 1/T, der Kürze der Messdauer.

$E_{s}=S/T=\Delta m\cdot \Delta n\cdot (h/2)/T=N\cdot h/T$ [24-5]

Bild 24-5: Nutzsignal S und Rauschen R - Schrotrauschen am Beispiel $\Delta m=5,\Delta n=10$. Der Umfang (das Rauschen) wächst mit der Wurzel aus der Fläche (dem Signal).

Die Energie $E_{r}=R/T$ des Rauschens $R$ wächst mit dem Umfang des Schlauches $d=+(\Delta m+\Delta n)/2$, Bild 24-5 zeigt den violetten Schlauch (Rauschen) der Unsicherheit auf Grund der Digitalisierung für das blau umrahmte Volumen (das Signal, die Menge der Information), die Unsicherheitsfläche h (violett) ist an der vorderen Ecke des blauen Quaders zu erkennen.

$R=(m+n)\cdot h/2$ [24-6]

Beim Schrotrauschen gilt

$\Delta N=R/h\sim {\sqrt {N}}={\sqrt {S/h}}$ [24-7],

was hier unmittelbar aus Bild 24-5 ersichtlich ist. Die Energie des Signals wächst linear mit der Bandbreite f = 1/T, das Rauschen also ebenso, beide hängen nur von der Zahl der Quanten in der Wirkungsebene $H=Q\cdot \Phi$ ab, das Rauschen linear und das Signal quadratisch.

Zum Messen eines Widerstandswertes muss man Energie einsetzen. Man kann zum Beispiel den Strom $I=e\cdot \Delta n/\Delta t$ für die Dauer $\Delta t=T=1{\text{ s}}$ einer Sekunde messen, während eine Spannung $U=\Phi _{0}\cdot \Delta m/\Delta t$ von U = 1 V an den Widerstand gelegt wird. Die Energie dabei ist $E=U\cdot I\cdot T$. Zeitpunkte einer aktuellen Zeit t der einzelnen Quanten im Intervall T (einer Zeitdauer) gehen nicht in die Messung ein.

Bei gleicher Energie für die Messung, aber unterschiedlicher Messdauer $T_{1}$ oder $T_{2}$ beobachtet man folgendes: Bild 24-6 vergleicht als Beispiel den flachen Quader rechts mit $T_{1}$, m = 4, n = 8 gegenüber dem links mit $T_{2}$, m = 2, n = 4. Bei gleicher Energie (gleichem Volumen) des Signals gilt wegen der um den Faktor vier unterschiedlichen Grundfläche:

$T_{1}=4\cdot T_{2}$ [24-8]

also auch ein entsprechendes Verhältnis der Bandbreiten f1, f2.

$f_{1}=f_{2}/4$ [24-9]

das Verhältnis der Energien (Volumen des Kantenschlauchs) des Rauschens $R_{1}$, $R_{2}$ ist dagegen

$R_{1}=R_{2}/2$ [24-10]

Bild 24-6: Weißes Rauschen: Unterschiedliche Integrationszeit bei gleicher Energie des Signals, Beispiel m / n = 4 / 2 gegenüber m / n = 8 / 4.

Angewandt auf das obige 1V-1s-Beispiel bedeutet das: Bei einer Spannung von U = 1 Kilovolt flösse ein eintausendfacher Strom und die gleiche Energie wäre mit der Messdauer T = 1 µs eingesetzt. Die erreichbare Auflösung beim Messen des Widerstandswertes wäre geringer, da nur 1/1000 der jeweiligen Quanten e und $\Phi _{0}$ zum Zählen zur Verfügung stehen. Das Signal- zu Rauschverhältnis wäre um den Faktor ${\sqrt {10^{3}}}$ kleiner. Um das gleiche Signal- zu Rauschverhältnis wie bei der 1V-1s-Messung zu erreichen, müsste man T = 1 ms messen. Dann wäre die Anzahl der Elektronen, magnetischen Flussquanten und Wirkungsquanten e, $\Phi _{0}$, h die gleiche. Der Energieaufwand wäre allerdings um den Faktor $10^{3}$ größer als bei den ersten beiden Beispielen. Es sei schon hier auf einen im Kapitel zur Messung dann behandelten Zusammenhang hingewiesen: Verbunden mit der geringeren Auflösung der Widerstandsmessung ist eine größere Präzision der Zeitspanne, in der die Messung erfolgt, im Beispiel T = 1 µs anstatt T = 1 s bei gleicher Energie der Messung beziehungsweise T = 1 ms bei gleicher Auflösung und $10^{3}$-facher Energie (Datenrate).

Bei gleicher Energie (wie das zum Beispiel zeitunabhängig bei thermischem Rauschen mit $E_{th}=k_{B}T$der Fall ist) nimmt das Rauschen mit der Messdauer das heißt mit kleinerer Bandbreite ab. Durch die Mittelung über die Zeit $T$ ändert sich das Rauschen $R$ mit ${\sqrt {f}}$, es handelt sich um weißes Rauschen.

$R\sim {\sqrt {f}}$ [24-11]

Weißes Rauschen , , oder auch Johnson-Rauschen genannt, ist dadurch charakterisiert, dass die darin enthaltene Leistung nur von der Bandbreite des Systems, nicht aber von der Frequenz abhängt. Also keine gleiche Leistung pro Oktave (wie im vertrauten logarithmischen Bild), sondern gleiche Leistung bei absolut gleichem linearem Frequenzintervall. Ohne eine Frequenzbegrenzung würde dies zur „Ultraviolettkatastrophe“ führen: das heißt einer unendlichen Leistung des Rauschens. Nyquist fand quantentheoretisch die Grenzfrequenz $f_{q}$ als den Grund dafür, dass dieses Problem nicht existiert. Wenn thermisch die Energie (Boltzmann-Konstante $k_{B}$)

$E_{t}h=k_{B}T$ [24-12]

zur Verfügung steht, folgt in unserem Koordinatensystem für den Quader mit der kleinsten möglichen Grundfläche h und einer durch die Energie bestimmten Höhe $f_{q}$ sofort die quantentheoretische Grenzfrequenz

$f_{q}=E_{th}/h=k_{B}T/h$ [24-13]

der Nyquist-Formel, Bild 24-7.

$U^{2}=k_{B}\cdot T\cdot R\cdot \Delta f\cdot (f/f_{q})/(e^{f/f_{q}}-1)$ [24-14]

Bild 24-7: Grenzfrequenz nach Nyquist.

Auch das für tiefe Frequenzen relevante 1/f-Rauschen kann in dieser Gedankenwelt leicht abgeleitet werden, allerdings erst im nächsten Kapitel.

Zu bemerken ist noch einmal, dass hier während der Messdauer T keine zeitliche Struktur mit einer ablaufenden Zeit t gemessen wird, das Messintervall ist allein charakterisiert durch eine zeitliche Länge T, seine Dauer. Bei den diskutierten Messungen werden die Quanten während des Messintervalls gezählt, ohne eine Angabe des Zeitpunktes dafür zu registrieren.

Für die Menge der Information gilt:

$N\cdot h=E\cdot T$. [24-15]

Der Kondensator

Die Folgen der Quantelung der Ladung

Die Quantelung der Ladung liefert einen Effekt, dessen Prinzip uns ähnlich schon im Abschnitt „Information“ begegnet ist. Die Ladung Q auf den Platten eines Kondensators C führt zu einem elektrischen Feld E und dem elektrischen Fluss $\Phi _{E}$:

$Q=C\cdot U=\epsilon \epsilon _{0}\cdot A\cdot U/d=\epsilon \epsilon _{0}\cdot A\cdot E=\epsilon \epsilon _{0}\cdot {\Phi }_{E}$ [25-1]

Wegen der Quantelung der Ladung $Q=n\cdot e$ ergibt die graphische Darstellung in Bild 25-1, so wie es analog für die Wirkung $H=N\cdot h$ Bild 1-7 zeigte, dass die Anzahlen der Ladungseinheiten e zu Stufen bei jeder ganzen Zahl führen. Die Steigung dieser Stufen ist proportional zu der Fläche A, auf der die Quelle des Feldes E verteilt ist, wie sich aus Gleichung [25-1] ergibt. Verbindet man die Mitten der Stufen durch eine Gerade als Näherung durch eine einfache analoge Funktion, so wird der Anzahl von Null Ladungen ein Wert des elektrischen Feldes ungleich Null zugeordnet. Anstatt der Nullpunktsenergie im Abschnitt „Information“ ergibt sich hier ein mit dem Begriff Vakuumenergie beschriebener Effekt – eine Grundladung mit Größe der halben Elementarladung e liefert hier ein entsprechendes elektrische Feld. Die Stärke des daraus folgenden, als Mittelung über Fluktuationen auftretenden elektrischen Feldes $E_{0}$ hängt von der Steigung der Funktion ab, das heißt vom Material und der Größe der Fläche A, die von Feldlinien durchströmt wird. Je größer diese Fläche A ist, desto kleiner ist diese Feldstärke $E_{0}$, desto besser mitteln sich die „Schwankungen“, die räumliche Unsicherheit der Verteilung von Ladungen, als Quelle eines elektrischen Vakuumfeldes, heraus.

Bild 25-1: Die Quantelung der Ladung Q führt zu einer digitalen Stufung und damit definierter Unsicherheit in der Größe der Ladung und des verbundenen elektrischen Feldes E . Als Folge dieser Unsicherheit existiert auch ohne extra aufgebrachte Ladungen ein minimales mittleres Feld $E_{0}$. Die Steigung tan$\phi$ ist durch die vom Feld E durchströmte Fläche A und dem darin befindlichen Material charakterisiert.

Anders als bei der stets positiven Energie im Abschnitt „Der elektromagnetische Quader“, könnte man bei polaren Grundgrößen (+e oder –e) vielleicht den Mittelwert 0 für die Unbestimmtheit zwischen den ersten Stufen der Leiter und entsprechend das Fehlen eines Grundfeldes erwarten. Dem entgegen steht, dass dann auch das Quadrat dieser Größe, und die damit verbundene Energie fehlte und Überlegungen, die im Kapitel zur Bedeutung von „Information“ folgen werden. Diesen Effekt eines „Grundfeldes“ ohne definierte Richtung (oder in Analogie „Nullpunktfeld“ zu nennen, ein Vakuumfeld) muss im folgenden beim Kondensator, dem Memristor (Abschnitte „Die Spule“ und „Der Memristor“) und entsprechend mit einem „Grundmagnetfeld“ bei der Spule berücksichtigt werden.

Die Abzählbarkeit der elektrischen Ladungen und der dazugehörigen Flussquanten lässt sich in Bild 25-12 darstellen. Aus Sicht der Information gehört zu den Punkten der identischen Anzahlen ein Unsicherheitsbereich, diesen stellen die grünen Quadrate dar. Die Fläche dieser Quadrate entspricht dem Produkt aus Ladung und Flussquant

$e\cdot \Phi _{E0}=e\cdot e/\epsilon _{0}=h\cdot v_{\Phi }$ [VAms] [25-1a]

Dieses Produkt ist gleich der Planckschen Konstante multipliziert mit der im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ?“ erwähnten Geschwindigkeit $v_{\Phi }$ mit der Einheit [VAms]. Die magnetische Analogie liefert als Produkt die Plancksche Konstante multipliziert mit der Geschwindigkeit $v_{Q}$, siehe dann Kapitel „Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten“.

Bild 25-12: Die Anzahl von Ladungen und Flussquanten ist identisch, es gibt Bereiche der Unsicherheit mit der Fläche $h\cdot v_{\Phi }$ (grün) und der Hälfte davon (blau).

Die Ladung auf dem Kondensator

Betrachten wir nun einen Kondensator. Dabei wird uns zunächst der aufgeladene statische Zustand interessieren und dann aber auch die Dynamik des Aufladens. Im statischen Fall beobachten wir die Quantelung der Ladung und des elektrischen Flusses, im dynamischen kommt die Quantelung des magnetischen Flusses dazu, die mit dem Lade- und Entladestrom verbunden ist.

Auf einer Kondensatorelektrode können einzelne Elektronen aufgebracht werden, auf der Gegenseite fehlen sie dann natürlich, wenn die Ladungsneutralität für das gesamte System gilt. Die gespeicherte Energie nimmt mit der Anzahl der getrennten Elementarladungen zu, und zwar mit dem Quadrat der Elektronenanzahl.

Für die Energie des Kondensators, der mit n Elektronen geladen ist, gilt, wenn man die Grundladung e / 2 berücksichtigt,

$E_{Cn}=Q^{2}/(2C)=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}/(2C)$, [25-2]

Diese Energie ist auf das Kollektiv der Elektronen verteilt. Das einzelne Elektron liefert das Feld für den Bruchteil 1/n . Die Größe dieses Anteils hängt von der Gesamtzahl n ab, ist also vom Ladezustand und der Kapazität C abhängig. Stellt man sich die Fläche A=a² der Elektrodenplatten des Kondensators auf die einzelnen Elektronen aufgeteilt vor, wie in Bild 25-2 gezeigt, dann sieht man, dass für das einzelne Elektron um so weniger Platz ist, mit je mehr Elektronen es sich die Fläche teilen muss. Entsprechend sinkt sein Anteil an der Kapazität $C_{n}$ = C / n, was gleichbedeutend mit entsprechend höherer Energie $E_{n}$ des anteiligen Feldes ist:

$E_{n}=n\cdot e^{2}/(2C)$ [25-3]

Bild 25-2: Verteilte Ladungen auf den Elektroden des Kondensators und deren Flächenanteile.

Die Energiezustände für die verschieden großen Anzahlen von Ladungsträgern entsprechen dem Energieschema des Teilchens im Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden. Die geometrische Analogie ist offensichtlich, die Ladungen sind auf den Elektrodenflächen des Kondensators eingesperrt.

Typische Zeitspannen

Aus den vorherigen Gedanken folgend ist es für unsere Vorstellung einleuchtend, dass es gegebenenfalls räumliche Bezüge und Koordinaten für die Ladungen gibt. Für die anschließenden Gedanken wird es sich als praktisch erweisen, diesen Ladungen auch eine zeitliche Dauer zuzuordnen. So ergibt sich in der Kombination mit dem Klitzing-Widerstand $R_{k}=2\Phi _{0}/e$ die für Auf- und Entladen typische Zeitkonstante

$\tau _{C}=R_{k}\cdot C$ [25-4]

Beim Füllen mit n Elektronen gilt für das letzte hinzugekommene Elektron der Energieanteil

$\Delta E_{Cn}=E_{Cn}-E_{Cn-1}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}/2C-\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}/2C=n\cdot e^{2}/C$ [25-5]

Die charakteristische Zeitdauer $T_{C_{n}}$ für ein Elektron aus dem Kollektiv von n Elektronen (die Lebensdauer beim Entladen über den Klitzing-Widerstand, die Zeit ungestörter Bewegung auf der Elektrode, die Zeitdauer bis zu einer Änderung) verbunden mit der Energiedifferenz $\Delta E_{C_{n}}$ ist dann wegen des Bezuges zwischen dem Wirkungsquant h, Energie E und Zeit T

$T_{Cn}=h/{\Delta }E_{Cn}=\tau _{C}/n$ [25-6]

Aus den anteiligen Kondensatorflächen $A/n=A_{n}=r_{C_{n}}^{2}$ der Elektronen folgen freie Weglängen $r_{C_{n}}$ zwischen den Stößen mit anderen Elektronen und mit der Zeit $T{C_{n}}$ als Stoßzeit folgt eine mittlere Elektronengeschwindigkeit

$v_{C_{n}}=r_{C_{n}}/T_{C_{n}}$ [25-7]

Die Abhängigkeit dieser Geschwindigkeit von dem Ladungszustand ergibt sich

$v_{C_{n}}={\sqrt {A/n}}/(\tau _{C}/n)={\sqrt {n}}\cdot a/\tau _{C}$ [25-8]

sie wächst also mit der Wurzel aus der Anzahl n der Elektronen. Eine dieser Geschwindigkeit entsprechende kinetische Energie würde mit der Geschwindigkeit zum Quadrat, also ebenfalls der Anzahl n der Elektronen proportional wie das folgende Potential [25-9] wachsen. Mit dieser Geschwindigkeitsvorstellung kann man das Elektronenkollektiv auf der Kondensatorplatte als Elektronengas verstehen . Da die Energie $E=Q^{2}/2C$ im elektrischen Feld des Kondensators mit dem Quadrat der Elektronenzahl n² steigt, werden die einzelnen Stufen [25-2] beim Füllen energetisch immer größer. Die Spannung Un am Kondensator wächst beim Laden linear mit der Menge n der Ladungen e, natürlich ebenfalls gestuft.

$U_{n}=n\cdot e/C={\sqrt {2n\cdot E_{n}/C}}$ [25-9]

Bei Zimmertemperatur (T = 300 K) und C = 1 pF reicht für $dE_{n}=n\cdot e^{2}/C>k_{B}\cdot T$ eine Anzahl von etwa n = 2000 Elektronen schon aus, um mit einer Spannung von größenordnungsmäßig U = 0,3 mV aus dem thermischen Rauschen deutlich herauszuragen. Die Kapazitäten in heutigen integrierten Schaltungen sind wegen der kleinen Strukturen deutlich geringer, so dass es möglich ist, Signale mit wenigen Ladungseinheiten trotz des thermischen Untergrundes zu erkennen. Die damit verbundenen Stufen begrenzen allerdings die Signaldynamik und als Folge können wir uns die Natur nicht mehr stetig mit beliebig genau-großem Informationsgehalt vorstellen.

Die für den Kondensator typische Zeitkonstante $\tau _{C}$ zeigt im Zusammenhang mit der durch ein Ladungspaar vorhandenen Energie $E_{C_{1}}$ noch die Eigenschaft

$E_{C_{1}}\cdot \tau _{C}=(e\cdot e/2C)\cdot R_{k}\cdot C=h$ [25-10]

als Produkt aus Energie und Zeit das Wirkungsquantum zu ergeben.

Die Elektronen als Welle auf den Elektroden

Die Idee, eine Vielzahl von Elektronen über die Elektrodenfläche zu verteilen, kann man auch unter dem Gesichtspunkt betrachten, dass die Elektronen eine Wellennatur zeigen. Diese Wellen sind durch die Ränder der Elektrodenplatten begrenzt, dort sind Knoten der Schwingungen. Die Elektronen bilden also stehende Wellen, deren Wellenlänge im Zusammenhang mit der Kantenlänge steht, Bild 25-3 zeigt ein Beispiel. Ein einzelnes Elektron hat dann im niedrigsten Energiezustand nur eine halbe Schwingungsperiode pro Flächendurchmesser. Viele Elektronen verteilen sich auf der anteiligen Flächen der Elektrode oder es bilden sich entsprechend viele Knoten und Bäuche auf der gesamten Fläche, was wir als Oberwellen bei verschiedensten Schwingungstypen kennen. Aus der Energie En jedes einzelnen Elektrons ergibt sich mit n Elektronen eine zugehörige Frequenz $f_{n}$ mit $E_{n}=h\cdot f_{n}$

$f_{n}=E_{n}/h=n\cdot e\cdot e/(2C\cdot h)=n\cdot e/(4\cdot C\cdot \Phi _{0})=n/2\tau _{C}$ [25-11]

Bild 25-3: Elektronen auf den Elektroden als stehende Wellen.

Ein Elektron beansprucht als Welle (als Teil des Kollektivs aller Elektronen) die Elektrodenfläche A = a² / n mit der Kantenlänge $a={\sqrt {(A/n)]}}$ und hat entsprechend die Wellenlänge $\lambda =2a/{\sqrt {n}}$ . Wegen der Relation zwischen Wellengeschwindigkeit $v_{C_{E_{n}}}$ , Wellenlänge $\lambda$ und Frequenz $f_{n}=E_{n}/h$ ergibt sich mit [25-10]:

$v_{C_{E_{n}}}=\lambda _{n}\cdot f_{n}=(2a/{\sqrt {n}})\cdot n/2\tau _{C}={\sqrt {n}}\cdot a/\tau _{C}$ [25-12]

Dies ist die Geschwindigkeit von Elektronen, wie sie sich oben schon aus der Stoßzeit $T_{C_{n}}$ ergab, [25-8].

Das Entladen eines RC-Gliedes

Wenn man einen Kondensator C über einen Widerstand R entlädt, erfolgt dies klassisch nach einem Exponentialgesetz. Für die auf dem Kondensator befindliche Ladung gilt

$Q=Q_{0}\cdot e^{-t/RC}$ [26-1]

und für die Energie entsprechend

$E=E_{0}\cdot e^{-2t/RC}$ [26-2]

mit einer Zeitkonstante $\tau =R\cdot C$, dem Produkt aus Widerstand und Kapazität, während deren Dauer die Ladung auf $1/e$ und die Energie auf $1/e^{2}$ reduziert sind. Das Produkt dieser Zeitkonstante mit der Energie ergibt eine Wirkung,

$\tau \cdot E=R\cdot C\cdot Q^{2}/2C=R\cdot n^{2}e^{2}/2=H$ [26-3]

die unabhängig von der Größe der Kapazität C ist. Diese Wirkung H ist also unabhängig von der durch die Kapazität konkret beschriebenen räumlichen Verteilung der Ladungen, diese ist allerdings noch in der Größe der Energie enthalten. Beim Entladen des n-ten Elektrons wird die Energiedifferenz

$\Delta E_{C_{n}}=E_{n}-E_{n-1}=\left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right)\cdot e^{2}/2C=ne^{2}/C$ [26-4]

abgegeben. Damit verbunden ist dann die Wirkung

$H=R\cdot n\cdot e^{2}$ [26-5]

für deren Größe sich mit dem Klitzing-Widerstand $R_{k}=2\Phi _{0}/e$ beim letzten Elektron (n = 1)

$R_{k}\cdot e^{2}=e^{2}\cdot 2\phi _{0}/e=h$ [26-6]

das Plancksche Wirkungsquantum ergibt. Die Zeitkonstante der Entladung $\tau$ entspricht dann der oben definierten charakteristischen Zeitdauer des Kondensators $\tau _{C}=R_{k}\cdot C$, [25-4]. Für den mit n Elektronen gefülltem Kondensator ergab sich eine typische Lebensdauer dieses Zustandes zu $\tau =T_{C_{n}}=\tau _{C}/n$, [25-6] , was für die Wirkung der jeweiligen Entladung über den Klitzing-Widerstand dann bedeutet, dass diese in allen Fällen ebenfalls gleich dem Planckschen Wirkungsquantum ist.

$\tau \cdot {\Delta }E_{C_{n}}=(\tau _{C}/n)\cdot ne^{2}/C=R_{k}\cdot e^{2}=h$ [26-7]

Eine solche Entladung ist im Bild 26-1 gezeigt. Weitere Einzelheiten zum Thema Entladung sind im Internet abgelegt .

Bild 26-1: Entladungszeiträume für die einzelnen Elektronen auf einem mit sechs Elektronen gefülltem Kondensator. Das Umladen findet innerhalb der schraffierten Flächen statt. Die Zahlen geben die Anzahl der Elektronen auf den Elektroden an. Die Flächen sind beim Entladen über den Klitzing-Widerstand elementare Wirkungsquanten h.

Andere Zeitkonstanten mit anderen Widerständen als $R_{k}$ kann man durch Kombination von Klitzing-Widerständen $R_{k}$ in Reihe oder parallel geschaltet erhalten. In Reihe geschaltet ergeben sich keine gedanklichen Probleme, ein Elektron passiert alle Widerstände, den Fall von vier Klitzing-Widerständen mit $R=4R_{k}$ zeigt Bild 26-2.

Bild 26-2: Vergleich der Entladung über den Klitzing-Widerstand $R_{k}$ mit der über einen viermal so großen.

Die Behinderung durch die Flussquanten nimmt in diesem Beispiel $R=4R_{k}$ um den Faktor vier zu, entsprechend verzögert sich das Entladen eines Elektrons um den Zeitfaktor vier. Die beim Entladen verloren gehende Energie ist unabhängig von der Größe des Widerstandes. Entsprechend sind die beiden die Energie repräsentierenden Volumen für den Fall des Klitzing-Widerstandes $R_{k}$ (mit der Höhe $f_{R_{k}}=1/2\tau _{C}$) und den vierfachen Wert $R=4R_{k}$ davon (mit der Höhe $f_{4R_{k}}=1/8\tau _{C}$) über den durch den Widerstand gegebenen Grundflächen ($h$ oder $4h$) gleich. Die Grundfläche ist dabei für den vierfachen Entladewiderstand aber um den Faktor vier vergrößert. Dies entspricht einer vierfachen Menge an Informationseinheiten, allerdings gekoppelt mit jeweils viermal größerer zeitlicher Ungenauigkeit. In diesem Fall kann eindeutig mit „ ja“ oder „nein“ beantwortet werden, dass das Elektron durch einen der in Reihe geschalteten Klitzing - Widerstände geflossen ist. Ein Teil dieser Information steckt in der Genauigkeit, mit der der Entladewiderstand und die Entladezeit zueinander in Relation stehen. Die Energie als Ableitung der Wirkung nach der Zeit ist in beiden Fällen gleich. Die Menge der abzählbaren Quanten pro Zeitintervall bleibt identisch.

Die Spule

Das Gegenstück zur Ladung e des Kondensator, ist bei der Spule das Flussquant $\Phi _{0}=h/2e$ . Entsprechend gilt für die Energie analog [25-2] ein quadratischer Zusammenhang mit der Anzahl m der Flussquanten $\Phi _{0}$ .

$E_{Lm}=L\cdot I^{2}/2=\Phi ^{2}/2L=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\Phi _{0}^{2}/2L$, [27-1]

Diese Gleichung entspricht wie beim Kondensator den Energiestufen des Potentialtopfes zwischen unendlich hohen Wänden. Für jede Änderung eines von m Flussquanten gilt dann entsprechend der Gleichung [26-4] für die Ladung beim Kondensator

$\Delta E_{Lm}=m\Phi _{0}^{2}/2L$ [27-2]

Analog zum Kondensator gibt es wieder charakteristische Zeiten $T_{Lm}=h/\Delta E_{Lm}$ , diesmal charakteristisch bei der Induktivität L für die Änderung der Anzahl von insgesamt m vorhandenen Flussquanten um ein Flussquant $\Phi _{0}$ entsprechend der Ladungsänderung beim Kondensator in Gleichung [25-6]:

$T_{Lm}=h\cdot 2\cdot L/(m\Phi _{0}^{2})=8\cdot L/(m\cdot R_{k})$ [27-3]

Die Größe des Magnetflusses $\Phi$ hängt von der Induktivität L (der Strom- und Feldverteilung im Raum) und der Größe des Stroms I ab.

$\Phi =L\cdot I=L\cdot {\Delta }Q/{\Delta }t$ [27-4]

Wenn die am Stromfluss I beteiligten Elektronen beim Passieren der Induktivität L zwei Magnetflussquanten $\Phi _{0}$ erzeugen, dann ist die Dauer $\tau _{L}$ charakteristisch für ihre zeitliche Folge und es gilt

$2\Phi _{0}=L\cdot e/\tau _{L}$ [27-5]

Diese charakteristische Zeit ist entsprechend der Gleichung [25-4] für $\tau _{C}$ beim Kondensator

$\tau _{L}=L\cdot e/2\Phi _{0}=L/R_{k}$ [27-6]

und daraus ergibt sich ein Zusammenhang mit der Zeit $T_{Lm}$ aus der Gleichung [27-3]

$T_{Lm}=8\cdot \tau _{L}/m$ [27-7]

Wegen der Ähnlichkeit und Symmetrie der Gleichungen können wir sicher auch die übrigen Überlegungen, die wir zum Kondensator getroffen haben, auf die Spule übertragen. Dies betrifft auch die Einzelheiten der Referenz12,13, in der Auf- und Entladevorgänge diskutiert werden. Wenn wir anstatt $R_{k}$ für das Bestimmen der charakteristischen Produkte ${R_{k}/2}=(\Phi _{0}/e)$ eingesetzt hätten, ergäbe sich eine Kollision zur Quantelung der Wirkung $h=2e\cdot \Phi _{0}$. Wie beim Kondensator ergibt sich für das Produkt aus der charakteristischen Zeit und der Energie zweier Flussquanten das Wirkungsquantum.

$E\cdot \tau _{L}=h$ [27-8]

Für die Flussquanten gilt eine Quantelung, wie sie in Bild 25-1 für die Ladung gezeigt wurde, dem elektrischen Feld E entspricht dann in einer Spule das Magnetfeld H und die Steigung der Funktion ist proportional zur der von den Windungen umschlossenen Fläche A, in der das Magnetfeld gebildet wird (d entspricht der Länge der Spule). Bild 27-1 zeigt die aus der Quantisierung folgenden Stufen und die klassische Ausgleichsgerade. Basis für die Abbildung ist der Zusammenhang zwischen Magnetfluss und erzeugendem Strom und dessen räumlicher Verteilung, wobei das Abweichen von der Formel im Lehrbuch (die üblicherweise nur für die „lange“ Spule gezeigt wird) die sonst vernachlässigten Inhomogenitäten im „Geometriefaktor“ enthält.

$\Phi =L\cdot I=(\mu \mu _{0}\cdot Geometriefaktor\cdot A/d)\cdot I\sim A\cdot I/d\sim A\cdot H$ [27-9]

Wegen der Digitalisierungsunschärfe zeigt sich wieder für m = 0 ein diesmal magnetisches „Grundfeld“ $H_{0}$, es wird induziert von der Größe des Flussquants $\Phi _{0}$, wie gleich bei den Landau-Niveaus zu sehen sein wird.

Bild 27-1: Quantelung des Magnetflusses und Grundfeld $H_{0}$, m ist eine gerade Zahl.

Im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ?“ wurde festgestellt, dass die Information über die Größe Strom $I=e/T_{E}$ im zeitlichen Abstand $T_{E}$ von aufeinanderfolgenden Ladungsträgern zu finden ist. Wenn ein solcher Strom nun einen kreisförmigen Leiter mit der Induktivität L durchfließt, ist ein Magnetfeld mit dem Fluss $m\cdot 2\Phi _{0}=L\cdot e/T_{E}$ die Folge. Für die kleinstmögliche Menge von Flussquantenpaaren gilt mit $\tau _{L}=L\cdot e/2\Phi _{0}$ [27-6]

$2\Phi _{0}=L\cdot e/T_{E}=L\cdot e/\tau _{L}$ [27-5]

und damit $\tau _{L}=T_{E}$, oder allgemein $m=\tau _{L}/T_{E}$. Die Anzahl 2m der Flussquanten ist also ein Maß für den mittleren zeitlichen Abstand $T_{E}$ der Elementarladungen beim Stromfluss. Die für die Induktivität typische Zeitkonstante $\tau _{L}$ ist identisch mit dem zeitlichen Abstand der Elementarladungen zum Erzeugen eines magnetischen Flussquantenpaars. Andererseits denkt man bei der Induktivität eher an $L=\mu \mu _{0}A/l=\mu _{0}\cdot \lambda _{L}$., also an ihre räumlich geometrische Struktur. Unter diesen statischen Verhältnissen spielt die reale Anzahl der den Strom tragenden elektrischen Ladungen keine Rolle.

Landau-Niveaus und Flussquanten

In der „Physik für Ingenieure“ findet man eine halbklassische anschauliche Beschreibung eines zweidimensionalen Elektronengases, der Landau-Niveaus und des Quanten-Hall-Effektes, aus der folgende Zusammenhänge übernommen sind. Die Elektronen mit der Energie $E=m_{e}\cdot (2\pi )^{2}\cdot a^{2}\cdot f^{2}/2=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h\cdot f$ bewegen sich in einer Ebene senkrecht zum Magnetfeld $B_{z}$ auf Kreisbahnen mit dem Radius a und der Umlauffrequenz $f=B_{z}\cdot e/(2\pi m_{e})$, die klassische Rotationsenergie $E_{rot}=m_{e}\cdot (2\pi )^{2}\cdot a^{2}\cdot f^{2}/2$ entspricht den gequantelten Energiestufen $E=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h\cdot f$ der Landau-Niveaus folgend aus der Wellenfunktion.

$a^{2}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h/(\pi ^{2}\cdot m_{e}\cdot f)$ [27-10]

Der magnetische Fluss innerhalb solcher Kreisbahnen ist

$\Phi _{z}=B_{z}\cdot \pi \cdot a^{2}$ [27-11]

Eingesetzt kürzen sich dann die Elektronenmasse $m_{e}$ u.a. heraus, so dass übrig bleibt

$\Phi _{z}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h/e=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot 2\Phi _{0}$ [27-12]

was bei n = 0 die Existenz eines Grundflusses $\Phi _{0}$ zeigt.

Der Memristor

Im Unterschied zum ohmschen Widerstand hängt die Leitfähigkeit des Memristors davon ab, welche Spannung und welcher Strom bereits in der Vergangenheit auftraten.

$M={\frac {\Phi _{M}}{Q}}={\frac {m(t)}{n(t)}}\cdot {\frac {R_{k}}{2}}$ [28-1]

Ein konstantes Verhältnis würde den Memristor nicht vom ohmschen Widerstand unterscheiden lassen. Die technisch interessante Eigenschaft ist die Möglichkeit, dass die Vorgeschichte des Stromtransportes einen Einfluss auf das aktuelle Verhalten hat. Als Informationsspeicher kann der Memristor dienen, wenn die Kennlinie eine Hysterese vergleichbar zu dem Zusammenhang zwischen magnetischem Feld und Induktion beim Permanentmagneten hat oder wie sie die induzierte räumliche Verschiebung von Ladungen bei einem ferroelektrischen RAM (Random Access Memory) zeigt, so dass man durch eine differentielle Messung erfahren kann, wie der Memristor in der Vergangenheit betrieben wurde. Im Memristor können zum Beispiel beim Ladungstransport Ladungen längs ihres Weges hängen bleiben und die Leitfähigkeit beeinflussen, wie das bei der sogenannten „Verstärkung“ des Photowiderstandes passiert, oder eine magnetisierbare Umgebung ändert feldbedingt seine Permeabilität, was technisch genutzt wird, den Wechselstromwiderstand von Stellgliedern in Spannungsstabilisatoren zu steuern. Mit einer aus solchen Effekten folgenden Hysterese versucht man derzeit Information speichernde Memristoren herzustellen. In unserem Koordinatensystem bedeutet dies, dass das Verhältnis von Flussquanten pro Elektron davon abhängt, wie viele Elektronen oder Flussquanten vorher „geflossen“ sind. Die differentielle Steigung der Kurve in der $(Q|\Phi )$-Ebene hängt also von der Vorgeschichte ab. Ein mögliches Beispiel zeigt Bild 28-1.

Bild 28-1: Der Memristor in der Wirkungsebene. Feldabhängige differentielle Widerstände führen zu einer Hysteresekurve, mit der man Information speichern kann. Gezeigt ist die kleinste Hysteresekurve mit der Fläche (h + h/2) beim Memristor unter Einbeziehen von elektromagnetischen Vakuumfeldern.

Bei großen vorhandenen Magnetflüssen $\Phi$ ist hier die Anzahl der Elektronen e pro Fluxon $\Phi _{0}$ groß, bei kleinen Magnetflüssen umgekehrt. Das ganze kann natürlich auch aus der Sicht des Elektrons betrachtet werden, dann gehört zu kleinen Elektronenanzahlen eine große Zahl von Flussquanten. Die Steigungen der feldabhängigen (differentiellen) Widerstände müssen bei einem passiven Bauelement positiv sein, negative Widerstände sind bekanntermaßen mit Verstärkung verknüpft. Da waagerechte oder senkrechte Steigungen unendlich großen Leitwerten oder Widerständen entsprechen, kommen solche Konstruktionen an dieser Stelle nur für Ein-Aus-Schalter in Frage. Die in dieser Hysteresekurve enthaltene Fläche charakterisiert die zum Hin- und Herschalten zwischen den stabilen Feldzuständen benötigte Energie (das außerdem von der Zeit abhängige Volumen über dieser Hysteresekurve).

Die Annahme ganzzahliger Quanten $m,n$ war zur Beschreibung des einfachen ohmschen Widerstandes R sicher richtig, da bei diesem Änderungen der Quantenzahlen/Zeit $(\Delta m\cdot \Phi _{0})/(\Delta n\cdot e)$ maßgeblich waren. Für den Memristor ist eine solche Annahme falsch. Bei den für den Memristor $M$ wichtigen absoluten Werten $(m(t)/n(t))$ ist der in Bild 25-1 und Bild 27-1 gezeigte Effekt für die Nullpunktsgrößen analog zu berücksichtigen, die elektromagnetischen Vakuumfelder dürfen nicht vernachlässigt werden. Mit den daraus folgenden zusätzlichen halben Ladungen und Flussquanten ist dann eine kleinste, zum Nullpunkt symmetrische, mit elementaren Schritten umlaufbare Fläche denkbar, wie sie in Bild 28-1 dargestellt ist. Sie hätte die Größe $(h+h/2)$, diese entspricht einer Informationseinheit $h$ plus deren Digitalisierungsunschärfe $h/2$, was in Analogie zu 1 Bit Information auch vernünftig wäre. Der gleiche Gedanke begegnet uns später bei einem Photon und der Nullpunktsenergie wieder und tangiert auch die Fragen des Kapitels zu Messen und Information. Bild 28-2 zeigt Möglichkeiten ausgedehnterer Hysteresekurven. Die mit steigendem Informationsinhalt wachsende Anzahl der Strukturen soll an dieser Stelle nicht weiter diskutiert werden.

Bild 28-2: Verschiedene Strukturen von Hysteresekurven mit mehr Informationsinhalt, ganz links Beispiele für Schalter, daneben Memristoren mit unterschiedlichen Quantenkombinationen.

Zählen und Impedanz

Die Impedanzen können gemessen werden, indem man Ladungs- und magnetische Flussquanten zählt. Der ohmsche Widerstand ist charakterisiert durch das Verhältnis von der zeitlichen Änderung des Magnetflusses, die eine Stromvariation behindert, zum elektrisch beschleunigten Stromfluss, der pro Zeitintervall bewegten Elektronenzahl, [22-5]. Der Memristor zeigt das Verhältnis der pro Volumen vorhandenen magnetischen Flussquanten zu den im Raum befindlichen elektrischen Ladungsträgern, [22-6], ein Verhältnis von Dynamik zu Statik. Induktivität und Kapazität sind durch die räumliche Verteilung der magnetischen und elektrischen Felder bestimmt, wobei die Induktivität sich auf die Anzahl m der magnetischen Flussquanten bezieht, die mit einer Menge $\Delta n/\Delta t$ passierender Ladungsträger pro Zeitintervall in Relation stehen, [22-14]. Die Kapazität zeigt, wie groß die Spannung ist, die eine Menge n gespeicherter Ladungsträger erzeugt, und wie viele Flussquanten zur Balance mit dem elektrischen Feld die Energie ihres Magnetfeldes durch die zeitlichen Änderung ihrer Anzahl $\Delta m/\Delta t$ übertragen müssen, Gleichungen [22-13] . Einzelheiten und Dynamik werden beim LC Schwingkreis zu sehen sein. Damit haben wir, zusammengefasst in Tabelle 2-4, die elementaren passiven elektronischen Bauelemente in unserem neuen Koordinatensystem und die Vorschriften für ihre Messung kennengelernt und auch die Unbestimmtheit, die sich abhängig von den gemessenen Anzahlen ergibt.

Tabelle 2-4: Messvorschrift (Zählparameter) und Impedanzen der klassischen passiven Bauelemente

Bauelement	Einheiten	* {$\Phi _{0}/e$} [Ω]	Impedanz [Ω](ω)	Kreisfrequenz [s-1]
Widerstand	R [Ω] = [V/A]	(Δm / Δn) (j Δt / j Δt)
Memristor	M [Ω] = [Vs/As]	(m+½) / (n+½)
Kondensator	1/C [1/F] = [V/As]	Δm / (j Δt·n)	n·j Δt / (Δn C)	w = -Δn / (n·Δt)
Induktivität	L [H] = [Vs/A]	m·j Δt / Δn	-j L·Dm / (m·Δt)	w = -Δm / (m·Δt)

Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen

Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen

Das lokalisierte Photon ist im Resonator zwar ohne materielle Elektronen existent, die Elementarladung bleibt trotzdem die das elektrische Feld prägende Größe. Man kann daher die Problematik auf einen elektrischen Schwingkreis übertragen und es zeigen sich, wenn nur wenige Elektronen an den Schwingungen beteiligt sind, gegenüber der klassischen Darstellung zwei Probleme:

1. Die Energien der elektrischen und magnetischen Felder bei statischer Aufladung von Kondensatoren und Spulen mit Elektronen und magnetischen Flussquanten unterscheiden sich gegenüber den Energiestufen des harmonischen Oszillators im schwingenden Fall um den Faktor ${\frac {2}{\pi }}$.
2. Während beim harmonischen Oszillator die mögliche Energie gestuft mit konstantem Abstand $\Delta E=h\cdot f$ existiert, wächst die Energie eines Kondensators quadratisch mit der Anzahl der Elektronen, wie ein Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden. Entsprechend verhält sich eine Induktivität in Bezug auf die Energie des Magnetfeldes infolge magnetischer Flussquanten.

Diese Diskrepanzen verschwinden, wenn man annimmt, das die Felder im LC-Schwingkreis zwar auf die elementaren Quanten zurückzuführen sind, die zeitliche Existenz von den daraus folgenden Feldern und ihren Kombinationen aber in Einklang mit der Unbestimmtheit durch die digitale Struktur der Wirkung $H=N\cdot h$ begrenzt ist. Für jede Kombination elektrischer und magnetischer Felder lässt sich abhängig von der vorhandenen Energie eine Lebensdauer angeben. Daraus folgt dann eine Wahrscheinlichkeit für ihr Auftreten während der Periode einer Schwingung und eine Struktur, die für große Anzahlen der Quanten in die bekannte klassische übergeht. Für kleine Anzahlen ist aber ein Abweichen von der bekannten Statistik der Besetzungszahlen des harmonischen Oszillators zu erwarten. Die in diesem Kapitel behandelten Wahrscheinlichkeiten haben ihre Ursache nicht im Zufall, sondern sind auf das Hamiltonsche Prinzip zurückzuführen. Auf dieser Basis kann nun auch das 1/f-Rauschen verstanden werden.

Das mechanische Analogon zum lokalisierten Photon, ein Phonon, sollte sich ähnlich verhalten. Für ein solches Phonon liegen experimentelle Befunde vor, die mit den prognostizierten feldabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die beteiligten Energien in Einklang sind. Als Folge der Ähnlichkeiten treten bei den mechanischen Oszillatoren zwei konstante Größen, eine Länge (die Auslenkung) und ein Impuls, auf, die den elektromagnetischen Größen Elementarladung und Flussquant entsprechen.

Wir sind auf der einen Seite mit Photonen vertraut, wir benutzen sie zum Übertragen von Information, bei der Fotografie und in der Messtechnik, auf der anderen Seite ist unsere Vorstellung sehr begrenzt, was ein Photon wirklich ist. Einigkeit besteht sicher darüber, dass die elektromagnetischen Photonen und auch die mechanischen Phononen Größen sind, die es gestatten, den Energieaustausch mit den entsprechenden elektromagnetischen und akustischen Wellen zu beschreiben. Wenn aus einer elektromagnetischen oder akustischen Welle Energie übertragen wird, geschieht dies gequantelt, mit der Energie $E$:

$E=h\cdot f={\frac {h}{T}}={\frac {h\cdot c}{\lambda }}$ [3-1]

(mit dem Planckschen Wirkungsquant $h$, der Geschwindigkeit der Wellen $c$, der Frequenz $f$, der Periodendauer $T$, der Wellenlänge $\lambda$). Der Energieaustausch der Welle tritt lokalisiert auf, zum Beispiel am Ort des Atoms, dessen Elektron das Orbital wechselt, wobei die Wechselwirkung dann in einem räumlichen Bereich erfolgt, der wesentlich kleiner als die Wellenlänge ist. Während des Ausbreitens stellen wir uns die Energie räumlich verteilt in Form elektrischer und magnetischer Felder oder in potentieller und kinetischer Energie vor, wobei die Position der Quanten dabei nur sehr begrenzt definiert ist. Einzelne Photonen beobachtet man sehr einfach im hochenergetischen Röntgenbereich, mit sichtbarem und infrarotem Licht schon durch den thermischen Hintergrund mit wachsender Wellenlänge zunehmend schwieriger und bei Radiowellen überwiegt das thermische Rauschen der Umgebung. Die einzelnen Photonen sind dann nicht mehr ohne weiteres aus dem Untergrund zu isolieren. Die Phononen treten gegebenenfalls lokalisiert an Molekülen und bei Fehlstellen in Festkörpern auf.

Das Photon im Resonator

Um Eigenschaften eines Photons zu untersuchen, sollte es so konkret wie möglich betrachtet werden können. In einer sich frei ausbreitenden elektromagnetischen Welle findet man das Photon nur zufällig irgendwo. Wie kann man seine Position, den Ort eingrenzen ? Indem die elektromagnetische Welle zwischen Spiegeln hin- und herläuft, im Extrem als stehende Welle zwischen zwei Spiegeln im Abstand $\lambda /2$ oder in einem entsprechenden Hohlraumresonator. Im Unterschied zur laufenden elektromagnetischen Welle, bei der sich elektrisches und magnetisches Feld in Phase ausbreiten, tritt im Resonator bekanntermaßen wegen der unterschiedlichen Phasendrehung bei der Reflexion und der daraus folgenden unterschiedlichen Interferenz ein periodischer Wechsel der Energie zwischen elektrischem und magnetischem Feld auf. Diesen Wechsel zwischen zwei Formen der Energie beobachtet man allgemein bei harmonischen Oszillatoren, Einzelheiten werden wir gleich ausführlich beim Schwingkreis behandelt. Ansonsten verhält sich das derartig lokalisierte Photon „normal“, so lässt sich bei Längenänderung des Resonators leicht zeigen, dass die damit verbundene Energie- und Frequenzänderung durch von außen geleistete Arbeit erreicht wird und das Ergebnis dieser Rechnung ist der bekannte Impuls p des Photons, $\lambda =c/f$

$p=h\cdot f/c=h/\lambda$ [3-11]

Interessant ist nun die Frage: Welche Größen von lokalisierten Photonen und Phononen ändern sich mit der Frequenz und welche nicht ? Dazu wird das Photon also in seinen Koordinaten auf das Volumen $V=\lambda ^{3}/8$. begrenzt, wie es in Bild 3-1 zu sehen ist.

Bild 3-1: Photon (Mode) im Resonator, einem Würfel mit der Kantenlänge $\lambda /2$.

Unter dieser Annahme kann die maximale Energiedichte $E_{vm}$ eines einzelnen Photons berechnet werden.

$E_{vm}=E/V=8\cdot h\cdot f/\lambda ^{3}=8\cdot h\cdot f^{4}/c^{3}$ [3-12]

und weiter ergibt sich für die Beträge der elektrischen und magnetischen Feldstärken entsprechend:

[E] ~ [B] ~ $f^{2}$ [3-13]

Die mit einem einzelnen Photon verbundene Information beträgt natürlich nur ein Bit, das Vorhandensein: ja oder nein. Mit verschiedenen Frequenzen ist allerdings eine unterschiedlich genaue Lokalisierung in der Zeit durch die Periodendauer und in drei Dimensionen des Raumes mit der Wellenlänge verbunden. Damit entspricht [3-12] der Vorstellung, dass die Energie E = h / T eine zeitliche Informationsdichte darstellt, auf die wir später noch zurückkommen werden.

$E=\Delta H/\Delta t$ [3-14]

Wenn man die sich abwechselnden Felder zu Zeiten misst, bei denen nur eine Sorte der Felder vorhanden ist, kann man diese mit solchen vergleichen, die von statischen Quellen erzeugt werden. Dann gilt für die dafür nötigen Ladungen oder Magnetflüsse mit passenden Geometriefaktoren $g$, die die Inhomogenitäten der Felder berücksichtigen und bei einer von der Frequenz unabhängiger und durch die Geometrie bedingten Impedanz $Z_{Res}$.

$Q={\sqrt {h\cdot \epsilon \epsilon _{0}\cdot g\cdot c}}$ [3-15]

$\Phi =Z_{Res}\cdot Q={\sqrt {h\cdot c\cdot \mu \mu _{0}/(g\cdot \pi ^{2})}}$ [3-16]

Beide sind also unabhängig von der Frequenz f !

Dieser Einfluss der Quellen der elektromagnetischen Felder ist also nur von der Geometrie des Resonators abhängig, d.h. von dessen qualitativen Proportionen, aber die Größe und Stärke der Quelle ist es nicht von der Frequenz der Photonen, die für deren quantitative räumliche Größe relevant ist. Mit steigender Frequenz $f$ werden die Abmessungen des Resonators immer kleiner und damit auch die räumliche (und auch zeitliche) Ausdehnung der Felder. Das führt zu den steigenden Feldstärken ~ $f^{2}$ der Gleichung [3-13] und den Energiedichten ~$f^{4}$ in [3-12].

Diese Frequenzunabhängigkeit der Quellen ist eine zunächst sicher überraschende Tatsache, nun ist die Frage natürlich, wie groß diese Ladung und der magnetische Fluss sind. Einzelheiten sind in der soeben zitierten Arbeit zu finden, hier soll gleich die äquivalente und besonders anschauliche Darstellung des in einem elektrischen Schwingkreis extrem lokalisierten Photons, des Energiequants der elektromagnetischen Schwingungen, folgen.

Bei einem Atom, das ein Photon abstrahlt, gibt es die elementare Ladung $e$ an dieser Quelle, ein Elektron wechselt von einem Energieniveau zum anderen. Bei Radiofrequenzen mit strahlenden Antennen sind die bewegten Elektronen die ursprünglich die Felder tragenden Objekte. Beim Synchrotron und Speicherring kreisen elementare Ladungen. Es ist daher eigentlich nicht verwunderlich, wenn die Elementarladung $e$ auch in der Rolle einer virtuellen Ladung das Geschehen prägt.

Der Schwingkreis bei wenig Energie und mit wenigen Quanten

Der LC-Schwingkreis ist ein bekanntes Beispiel eines harmonischen Oszillators, bei dem die Energie zwischen der des elektrischen Feldes $E_{E}$ im Kondensator $C$ und der magnetischen $E_{M}$ im Feld der Spule $L$ hin und her pendelt. Die Resonanzfrequenz $f=1/{\sqrt {2\cdot \pi \cdot (L\cdot C)}}$ des Schwingkreises ist durch das Produkt der Größen von Kondensator C und Spule L bestimmt. In Kapitel 2 waren zwei Zeitdauern durch die Kapazität $C$ und die Induktivität $L$ charakterisiert, $\tau _{C}=R_{k}\cdot C$,[2-54] und $\tau _{L}=L/R_{k}$,[2 76]. Ihre Kombination liefert die Periodendauer des Schwingkreises in folgender Weise:

$T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {L\cdot C}}=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\tau _{L}\cdot \tau _{C})}}$ [3-21]

Für jede Frequenz $f=1/T$ gibt es unendlich viele Kombinationen von $L$ und $C$. Die Energie liegt, wie bei jedem harmonischen Oszillator zu sehen, gequantelt vor. Die einzelnen Anregungszustände unterscheiden sich um die konstante Differenz $E=h\cdot f$ und es existiert eine Mindestenergie $E=h\cdot f/2$, die schon in Kapitel 1.1. als Digitalisierungsunschärfe interpretiert wurde. Wir wollen im einzelnen nun betrachten, was zusätzlich aus der Quantelung der für die Felder verantwortlichen Größen folgt, die bei statischen Feldern (elektrisch mit $Q_{=}$, magnetisch mit $\Phi _{=}$) auf Grund von Ladungen $Q_{=}=(n\cdot e)$ und Magnetflussquanten $\Phi _{=}=(m\cdot \Phi _{0})$ beträgt.

Bild 32-1: Die vier möglichen gequantelten einzelnen Felder im energieärmsten Schwingungsfall

Mit den kleinsten möglichen Feldern treten während einer Schwingungsperiode $T$ die in Bild 32-1 gezeigten vier extremen Zustände I: ($\Phi _{0}$; 0), II: (0; e), III: ($\Phi _{0}$; 0), IV: (0; -e) auf, bei denen nur jeweils eines der Felder existiert, entweder das elektrische mit zwei möglichen Polarisationen oder das magnetische, ebenfalls mit zwei möglichen Richtungen. Für den Fall minimaler Energie existiert nur ein Ladungspaar ($n=\pm 1$) oder abwechselnd ein Flussquant ($m=\pm 1$), anderes kann nicht gemessen werden. Es gilt also unter der Annahme statischer Felder, die für die Schwingung später korrigiert werden muss !

$E_{min}=e^{2}/2C=\Phi _{0}^{2}/2L$ [3-22]

und daraus folgt

$L/C=\Phi _{0}^{2}/e^{2}={R_{k}/2}^{2}=Z_{min}^{2}$ [3-23]

Damit ist eine Impedanz $Z_{min}=\Phi _{0}/e$ festgelegt, nicht aber eine Frequenz f = 1 / T ! Solche Systeme mit der Impedanz $Z_{min}$ arbeiten mit den für diese spezielle L/C-Kombinationen typischen der Frequenzen $f={\frac {1}{2\cdot \pi \cdot {\sqrt {L\cdot C}}}}$.

Aus der Quantelung der Energiestufen (E = h \cdot f) [1-1], diese elektromagnetischen Energiepakete sind die Photonen) des harmonischen Oszillators mit $T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {L\cdot C}}$, [3-21] folgt als kleinste Energiestufe aber

$E_{1}=1\cdot h/T=e^{2}/\pi C$ [3-24]

also eine um den Faktor (2 / $\pi$) kleinere Energie als mit $E_{min}$ aus [3-22] erwartet. Wie im folgenden behandelt, ist diese Diskrepanz mit der Vorstellung vereinbar, dass zwar die mittlere Energie eine Erhaltungsgröße ist, ihre Größe aber für kurze Zeitintervalle nur begrenzt genau definiert ist. Die Vorstellung, dass man sie zu jedem Zeitpunkt messen könnte, ist falsch – es gilt die Unschärferelation $\Delta E\cdot \Delta t>=h/2\pi$ und außerdem ist die Photonenzahl keine Erhaltungsgröße. Diese Unschärferelation wird keine Grundlage der im Folgenden entwickelten Vorstellungen sein, diese werden sich aber damit in Einklang befinden. Diese Unbestimmtheit begrenzt auch unsere zeitliche Vorstellung, was noch genauer im Kapitel zur Zeit ausgeführt wird. Die im folgenden betrachteten zeitlichen Abläufe sind mit entsprechender Unschärfe zu versehen. Es sollen keine Aussagen mit einer Genauigkeit gemacht werden, die über diese Unschärferelation hinausgeht. Mögliche zeitliche Angaben über Zustände innerhalb einer Periode sind daher in ihrer Präzision eingeschränkt. Die in der Welt der Physik definierte Genauigkeit hängt von der Energie ab. Bei der kleinsten Energie $E_{1}\cdot T=h$ beträgt sie sogar im Mittel über viele Perioden etwa T/6, zeitlich genauer ist die Zeitangabe bei diesem System als einzelnem Objekt in der Natur nach meiner derzeitigen Vorstellung nicht definiert ! Aus Sicht der Information enthält der statische Zustand mit der Kenntnis, dass die Energie entweder im Kondensator oder der Spule gespeichert ist, auch mehr Präzision als der schwingende Fall, in dem eine solche Zuordnung nicht mehr möglich ist.

Bild 32-2: links: Der Schwingkreis in der (Q; $\Phi$) - Ebene mit m = n = 1. Das Flächenverhältnis Kreis/Quadrat = ($\pi /2$ entspricht dem Energieunterschied zwischen minimaler Energie der einzelnen Komponenten bei einem klassischen Schwingungsverlauf und der des Schwingungsquants. Rechts ist das Bild um die Frequenzachse ergänzt und zeigt ein Photon mit seiner Energie als Volumen.

Bild 32-2 zeigt die schon bekannte Ebene (Q; $\Phi$), die eine Phasenraumdarstellung ist und bei der Geraden durch den Nullpunkt Impedanzen $Z={\sqrt {L/C}}$darstellen. Die gequantelten Ladungen Q auf dem Kondensator C und die Flüsse $\Phi$ in der Spule L sowie mögliche Kombinationen der beiden bilden die Punkte der (Q; $\Phi$) - Ebene. Das Bild 32-2 links stellt die Verhältnisse für alle möglichen LC-Kombinationen mit $Z_{min}=\Phi _{0}/e$ dar.

Die Unterschiede für verschiedene Werte von L und C bei gleichem Quotienten L/C würden sich dann nur in der Periodendauer T der Schwingungen zeigen. Diese tritt nur senkrecht daraus ragend als die Frequenzachse f, reziprok zu dem Produkt $T=2\pi \cdot {\sqrt {L\cdot C}}$, in Erscheinung, wie mit Bild 32-2 rechts gezeigt. Nur in dieser dritten Koordinate, ihrer Frequenz f, unterscheiden sich Schwingkreise gleicher Impedanz (mit dem gleichen Verhältnis L/C) aber unterschiedlicher Größen der Komponenten L und C und entsprechend unterschiedlicher Resonanzfrequenz. Die Zeit tritt in diesem Koordinatensystem nur als „Dauer“ und nicht als ein ablaufendes Geschehen beschreibend auf, trotzdem werden wir gedanklich hinter den Koordinaten in der (Q; $\Phi$)-Ebene eine zeitliche Folge erwarten, die während der Schwingungen durchlaufen wird.

Der kleinste mögliche Schwingungszustand, das rote Quadrat in Bild 32-2, enthält die Punkte des feldfreien Zustandes (0; 0) und vier Feldzustände (0; 1),(1; 0), (0;-1), (-1; 0). Das aus den mit den Feldern verbundenen Eckpunkten gebildete Quadrat hat die Fläche $h=E\cdot T$. Klassisch würden die Schwingungen der kleinsten eingezeichneten Kreisbahn folgen, digital sind davon nur die Eckpunkte des Quadrats realisierbar. Das Flächenverhältnis Kreis/Quadrat = ($\pi /2$) entspricht genau dem oben beobachteten Unterschied zwischen der aus klassisch statischen Feldern abgeleiteten Energie $E_{min}=e^{2}/2C$, [3-2] und der mit der Quantenmechanik gefundenen Größe $E_{1}=e^{2}/\pi C$, [3-4]. Es liegt daher nahe, die fünf Feldzustände des roten Quadrates für realisiert zu halten und die Feldzustände entsprechend einer Pulsweitenmodulation auf die Periodendauer T so aufzuteilen, dass die mittlere Energie dem quantenmechanischen Ergebnis entspricht. Dies zeigt Bild 32-3. Darin sind die klassischen Sinus- und Kosinusfunktionen für Strom und Spannung oder die des elektrischen und des Magnetfeldes gezeigt. Die Summe ihrer Quadrate wäre die konstante gesamte Energie $E_{E}+E_{M}$, denn es gilt sin² +cos² = 1. In Bild 32-3 wird dagegen orange die Differenz dieser Feldenergien $E_{M}-E_{E}$ gezeigt, die mit doppelter Frequenz auftritt. Die Annahme ist nun, dass es eine digitale Schwelle gibt, ab der die Energie entweder dem elektrischen oder dem Magnetfeld zugeteilt wird, unterhalb dieser Schwelle erfolgt die Zuordnung an keines dieser Felder, also im vorliegenden Beispiel ergibt sich dann die Feldstärke Null.

Bild 32-3: Geschaltete elektrische und magnetische Felder, N = 1, die Zeit ist hier eine Dauer, eine aktuelle, ablaufende Zeit innerhalb der Periode ist bei dieser kleinen Energie noch nicht scharf definiert !, wenn sie auch für die Anschauung hier so dargestellt wird.

Für eine den obigen Anforderungen an die mittlere Energie genügenden Pulsweitenverhältnis liegt eine solche Schwelle dicht bei der Energiedifferenz | $E_{M}-E_{E}$ | = ½. Unterhalb dieser Schwelle ist es digital nicht möglich, die Felder eindeutig zu unterscheiden, so dass sich dann die geschalteten magnetischen Felder (grün: $\Phi =\pm \Phi _{0}$,0) oder elektrisch (blau: $Q=\pm e$, 0) abwechselnd und mit unterschiedlicher Polarität, wie in Bild 32-3 gezeigt, ergeben. Man beachte die gemittelte ! Zeitunschärfe $\Delta$t ~ T/6 mit der in Kapitel zur Zeit behandelten Qualität einer Dauer und unterstelle keine darüber hinausgehende Aussagekraft !

Der nächste mögliche Energiezustand $E_{2}=2h/T$ gehört zu zwei (N = 2) Wirkungsquanten h. Bild 32-4 zeigt einen prognostizierten zeitlichen Feldverlauf, rechts daneben die Feldkombinationen in der (Q; $\Phi$) Ebene. Anstatt der feldfreien Zeiten mit (m; n) = (0; 0) in Bild 32-3 treten jetzt die Kombinationen (1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1) mit gleichzeitig vorhandenen elektrischen und magnetischen Feldern auf.

Bild 32-4: Geschaltete elektrische und magnetische Felder bei zwei Schwingungsquanten, N = 2.

Wird der Schwingkreis nicht nur mit einem sondern mit zwei oder drei Elektronen gefüllt, so zeigt Bild 32-5 in der (Q; $\Phi$) -Ebene größere Quadrate, deren Flächenverhältnis dem Energieverhältnis entspricht, N = 4 für zwei Elektronen – Flussquanten und N = 9 für entsprechend drei. Damit wären allerdings nicht alle Energiestufen des harmonischen Oszillators zugeordnet.

Bild 32-5: Der Schwingkreis in der $Q-{\Phi }$ - Ebene, links mit verschiedenem Füllstand (m=n = 1,2,3; $E\cdot T$ = h* 1,4,9), rechts die klassischen Kreise mit den Flächen 1h...9h, die zu den Energiestufen des harmonischen Oszillators gehören.

Es gilt also nach Feldkombinationen $(n\cdot e|m\cdot \Phi _{0}$) zu suchen, die auch andere Besetzungsstufen der linearen Folge $E_{N}=N\cdot h\cdot f$ des harmonischen Oszillators als die schon erwähnten der Quadratzahlen N = i² realisieren. Die klassischen Lösungen dieses Problems zeigen die Kreise in Bild 32-5 rechts.

Für die ersten beiden Energiestufen N = 1 und N = 2 ist die jeweilige zeitliche Dauer der einzelnen Phasen aus der Periodendauer und den Energieverhältnissen eindeutig durch Lösen von Gleichungen mit Unbekannten zu bestimmen. Bei höheren Energiestufen ergeben sich dann aber mehrere Möglichkeiten für die dann zahlreichen möglichen Stufen der Feldkombinationen, die man als Ergebnis einer Messung ermitteln könnte, wenn man nur fordert, dass die mittlere Energie einer Stufe des harmonischen Oszillators entspricht. Unsere Darstellung der Wirkungsflächen zeigt dann auch, dass innerhalb der klassischen Kreise außer den Quadraten weitere Vielecke möglich sind, wie sie in Bild 32-6 angedeutet sind. Diese Möglichkeiten nehmen mit größerer Energie, also größerem mittlerem Radius, zu, im Zentrum ist die Nullpunktsenergie.

Bild 32-6: Feldkombinationen außerhalb der Quadrate innerhalb der klassischen Kreise bei größeren Anzahlen m,n mit der Nullpunktsenergie im Zentrum.

Bild 32-7: Mittlerer zeitlicher Feldverlauf für N = 25, m/n = 5/5.

Ein Beispiel für die Energiestufe N = 25 mit maximal 5 Flussquanten und fünf Elektronen zeigt Bild 32-7 mit einem möglichen zeitlichen Verlauf von vielen denkbaren. Gewählt wurde eine Folge von Feldkombinationen, die zeitlich aufeinander folgend angenommen auf der Umrandung des Quadrats der Fläche $25\cdot h$ liegen, die orange Punkte in Bild 32-7 rechts oben. Der mittlere zeitliche Feldverlauf entspricht hier den roten und grünen dreiecksähnlichen Schwingungen, ist also einer Sinusschwingung durchaus ähnlich.

Bei maximalen Feldern ($E_{E}=5^{2}\cdot e^{2}/2C;E_{M}=5^{2}\cdot \Phi _{0}^{2}/2L$) treten jeweils Energiemaxima auf, die deutlich oberhalb der mittleren Energie E liegen. Mit verschiedenen Kombinationen von kleineren Füllständen aus Elektronen und Flussquanten kann dies im zeitlichen Mittel ausgeglichen werden. Zuständig dafür sind die Flächen der Energie x Zeit = Wirkung, die zwischen der Kurve der momentanen Energie $E_{m,n}$ und dem Zeitmittel E liegen. Diese Wirkungsflächen zu minimieren macht Sinn. Jede Abweichung bedeutet, dass entweder im Feynmanschen Sinne Energie geborgt (E- rote Flächen) wird oder im Überschuss vorhanden ist (E+ grüne Flächen). Auch wenn wir alle Möglichkeiten der Feldkombinationen ($m\cdot \Phi _{0}$; n \cdot e) zulassen, halten wir sie doch nicht alle für gleich wahrscheinlich, sondern favorisieren solche mit geringer Abweichung vom Mittelwert der Energie. Solange die Größe solcher Flächen kleiner als h ist, befinden sie sich im Einklang mit der Heisenbergschen Unschärferelation, im Sinne der vorliegenden Arbeit also im Bereich der digitalen Unsicherheit. Es müsste experimentell noch geprüft werden, ob größere Abweichungen als h im Rahmen der Naturgesetze überhaupt möglich sind. Unklar ist bisher also, ob die digitalen Grenzen echte Schranken sind oder nur Maßstäbe für statistische Aussagen liefern.

Wie verhält sich ein Schwingkreis bei einer vorgegebenen Energiemenge ? Die eingesetzte mittlere Energie sei E, die aktuelle Energie Em,n ist gegeben aus der Feldkombination ($m\cdot \Phi _{0}$; n \cdot e). Bei vorgegebener Füllung des Schwingkreises mit der Energie $E=h\cdot f$ und Vergleich mit den möglichen Energiewerten $E_{m,n}$ der elektromagnetischen Feldkombinationen, die wegen der Quantelung von magnetischem Fluss und Elementarladung möglich sind, treten Energiedifferenzen auf,

$\Delta E=E_{m,n}-E$ [3-25]

Eine daraus abgeleitete Zeit

$\Delta t=h/\Delta E$ [3-26]

ist in unserer herkömmlichen Vorstellung eine maximale Existenzdauer $\Delta t$ für ein Abweichen vom Energiemittel E. $\Delta t$ entspricht also der Lebensdauer einer bestimmten Feldkombination. Wenn diese Zeit $\Delta t$ kurz ist, bedeutet dies eine geringe Wahrscheinlichkeit $W_{m,n}$ dafür, dass der Zustand m,n (diese Kombination von elektrischen und magnetischen Feldern) auftritt, ist dagegen die Zeit $\Delta t$ lang, ist dies mit einer großen Wahrscheinlichkeit $W_{m,n}$ gleich zu setzen. Diese Wahrscheinlichkeit ist also nicht durch „Gottes Würfeln“ zufällig entstanden, sondern folgt aus einer sinnvollen Gesetzmäßigkeit, der „soliden Haushaltsführung“, sie ist im Grunde genommen bekannt als „Hamiltonsches Prinzip“. Diese hier eingeführte Wahrscheinlichkeit $W_{m,n}$ moduliert als Anteil die „totale“ Wahrscheinlichkeit, die mindestens noch die die Schwingung antreibenden Kräfte enthalten muss, die klassisch zu den Sinus- und Kosinus-Schwingungen führen.

Um die Eigenschaften des schwingenden Kreises zu analysieren, wurde die zugehörige Energie $E_{m,n}=m^{2}+n^{2}$ für jeden Knotenpunkt / jedes Element der Ladungs-Fluss-Ebene berechnet. Die Tabelle mit den Spalten „Elektronenzahl“ n und Zeilen „Flussquantenzahl“ m zeigen Bilder 32-8 und 32-9, zu sehen ist jeweils der IV. Quadrant der Ebene { $\Phi$; Q }. In Bild 3LC-8 ist klar zu sehen, dass die diagonal angeordneten Quadrate der obigen Bilder längs ihrer Kanten deutliche Energieänderungen zeigen.

Bild 32-8: Energie $E_{m,n}$ an den Knoten der Ladungs-Fluss-Ebene und farblich markiert die Diagonalen

Diese diagonalen Wege sind mit einem gleichzeitigen Wechsel der Anzahlen von Flussquanten und Ladungen bei einer konstant bleibenden Summe m+n von ihnen verbunden. Schon in den Bildern 32-3 und 32-4 war oben bei nur einem oder zwei Schwingungsquanten zu sehen, dass eine konstante Quantenanzahl m + n keine vorgegebene Gesetzmäßigkeit zu sein scheint. Kombiniert man dagegen ähnliche Energiewerte, dann nähert man sich den klassischen Kreisen, wie in Bild 32-9 deutlich wird.

Bild 32-9: Energie E_m,n an den Knoten der Ladungs-Fluss-Ebene farblich markiert ähnliche Energien

Die Wahrscheinlichkeit von Feldkombinationen

Aus Matrizen ($E_{m,n}$), die die Energie eines Schwingkreises für alle möglichen Kombinationen elektrischer und magnetischer Felder angibt, kann man nun im nächsten Schritt bei zusätzlich vorgegebener mittlerer Energie E eine Matrix mit den Elementen ($\Delta t_{m,n}$) berechnen.

$\Delta t_{m,n}=h/(E_{m,n}-E)$ [3-31]

Eine Wahrscheinlichkeit wird außer von dieser Zeit $\Delta t$ (die eine Komponente der Lebensdauer der dazugehörigen Feldkombination ist, die aus der Differenz der Feldenergien zur mittleren Energie folgt) noch davon abhängen, wieviel Matrixelemente während einer Periode T (eines Umlaufs auf einem Weg in der aktuellen Zeit t als Folge des unten beschriebenen Antriebs ) durchlaufen werden. Diese Anzahl hängt vom Abstand ${\sqrt {(m^{2}+n^{2})}}$ zum Koordinatenmittelpunkt ab, also vom maximalen Füllstand mit Elektronen oder Flussquanten, deren Quadrat mit der Energie korreliert ist.

$W_{m,n}=W_{m,n}(\Delta t_{m,n},E)$ [3-32]

Als erster Versuch wird hier der Ansatz [3-33] verwendet. Dieser Ansatz wurde durch „intelligentes Raten und Probieren“ unter Berücksichtigung der ersten Energieeigenwerte, die Singularität bei (0,0) ausschließend und als Beginn einer Reihenentwicklung, gewählt. Eine genauere Beschreibung des behandelten Problems sei der Zukunft überlassen, da der physikalische Effekt der Wahrscheinlichkeitsverteilung auch ohne die hier fehlende Normierung prinzipiell beschrieben wird.

$W=1/{\sqrt {{\sqrt {(E+1)}}\cdot (1+c\cdot \Delta E^{2})}}=1/{\sqrt {{\sqrt {(m^{2}+n^{2}+0,1\cdot E\cdot \pi +1)}}\cdot (1+1,2589\cdot \Delta E^{2})}}$ [3-33]

Bild 33-1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Grundzustand ($H=1\cdot h;m=n=1)$ mit einem Elektron oder Flussquant. Basis ist die (Q; $\Phi$)-Ebene mit dem feldfreien Zustand in der Mitte. Auf dieser Ebene ist die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Feldkombinationen logarithmisch skaliert errichtet. Im Grundzustand, Bild 32-2, tauchen die vier möglichen kleinsten elektrischen und magnetischen Felder auf, mit größter Wahrscheinlichkeit allerdings der feldfreie Zustand, da dieser im Gegensatz zu den jeweiligen elektrischen oder magnetischen Feldern viermal pro Periode auftaucht (Bild 32-3).

Bild 33-1: Die Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen bei der niedrigsten Energiestufe N = 1; ein Elektron oder ein Flussquant tragen schon mehr Energie als im Mittel vorhanden ist.

Bei einem Füllstand ($H=4\cdot h$) mit zwei Elektronen oder Flussquanten tritt die Kombination ein Elektron plus ein Flussquant gleichzeitig am häufigsten auf. Ein Magnetfeld und gleichzeitig ein elektrisches Feld sind am wahrscheinlichsten, wie Bild 33-2 zeigt.

Bild 33-2: Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen eines Schwingkreises auf der vierten Energiestufe E = 4 h f mit zwei Elektronen oder Flussquanten, N = 4.

Die Energieeinheiten elektromagnetischer Schwingungen $E=h\cdot f$ sind Photonen. Die Zahl N entspricht ihrer Anzahl. Bei großer Energie und den zugehörigen großen Füllständen tritt die klassische Kreisform mit extrem großer Wahrscheinlichkeit in Erscheinung, wie in Bild 33-3 zu sehen.

Bild 33-3: Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen eines Schwingkreises mit vielen Photonen. Klassische Kreisform bei hoher Energie im Schwingkreis.

Die einzelnen Feldkombinationen, die man sich nacheinander durchlaufen denkt, treten nicht alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, einige Kombinationen sind dem analogen Kreis der mittleren Energie näher und damit wahrscheinlicher als andere. Daher existieren die beobachteten „Krönchen“ mit den Spitzen hoher Wahrscheinlichkeit, es gibt eine Verteilung und Modulation der Wahrscheinlichkeiten.

Man kann nun für verschiedene Energien E die Summe WS der Wahrscheinlichkeiten über alle W_m,n bilden. Dabei zeigt sich, dass die Wahrscheinlichkeitssumme WS für die verschiedenen Energien E deutliche Unterschiede aufweist. Dies bedeutet, dass die Umläufe während einer Periode, während der die verschiedenen Feldkombinationen durchlaufen werden, für einige Werte der mittleren Energie eine geringeres durchschnittliches Abweichen von den realen Feldenergien auftritt und diese Umläufe daher wahrscheinlicher sind, andere dagegen, deren Feldkombinationen zu größerer Abweichung führen, sind weniger wahrscheinlich. Im Experiment sollte sich dies zeigen und so bemerkbar machen, dass es eine dadurch modulierte Struktur bei der Besetzungshäufigkeit der Energieleiter des harmonischen Oszillators gibt. Grund ist die Quantelung der Ladungen und Flussquanten und die daraus folgende Verteilung der Feldenergien beim LC-Schwingkreis. Diese erwartete Modulation der Besetzungshäufigkeit zeigt Bild 33-4. Zwischen den „Krönchen“-Strukturen in der Wahrscheinlichkeitsverteilung entsprechend Bild 33-1 bis 33-3 und den Werten der Wahrscheinlichkeitssumme WS ist kein direkter Zusammenhang zu sehen, wie die Beispielbilder zeigen. Gezeigt wird mit Bild 33-4 die Summe der Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von der mittleren Energie, die bei der Simulation im Rechner zunächst alle möglichen Werte annehmen darf, nicht nur die der Energieleiter des harmonischen Oszillators. Dieses Beispiel ist für die LC-Kombinationen mit m / n = 1 berechnet. Für andere Kombinationen von m / n (also andere Impedanzen) wird das Bild seitlich gestaucht oder gedehnt. Eine solche Struktur konnte im Experiment auch wirklich beobachtet werden, das Phononenbeispiel gleich noch zeigen wird.

Bild 33-4: Wahrscheinlichkeitssumme für verschiedene Photonenzahlen bei m/n = 1 und die dazugehörige „Krönchen“ der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Wie man sieht, nimmt die Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen außerhalb eines relevanten Bereiches in der Nähe des der mittleren Energie entsprechenden Kreises (oder bei anderer Impedanz einer Ellipse) schnell um mehr als 20 Größenordnungen ab. Das rechtfertigt, dass nur einige 10.000 Matrixelemente in die numerische Abschätzung einbezogen wurden. Trotzdem ist ein Fehler nicht auszuschließen, denn im unendlichen ist ja mit allem zu rechnen. Weitere Einzelheiten sind im Internet beschrieben.

Die Analogie Photon - Phonon, zwei neue mechanische Quanten

Parallel zu obigen Gedanken für die elektromagnetische Energieeinheiten, die Photonen, soll nun das mechanische Gegenstück, das Phonon betrachtet werden. In der mathematischen Beschreibung von elektromagnetischen und mechanischen Problemen gibt es zwei gleichwertige Analogien, die hilfreich verwendet werden können. Kinetische und potentielle Energien in der Mechanik entsprechen dabei denen von elektrischen und magnetischen Feldern. Beide denkbare Kombinationen sind für Vergleiche möglich und führen zum gleichen Ergebnis. Massen M und Federn (Federkonstante f und ng = 1 / f Nachgiebigkeit) entsprechen dabei so oder so Spulen L und Kondensatoren C.

Mit solch einer Analogie ist es möglich, den Wechsel der Energie vom elektrischen zum Magnetfeld in einem schwingenden System auf ein mechanisches übertragen, bei dem potentielle mit kinetischer Energie abwechselt.

So wie am Anfang des Kapitels die frequenzunabhängigen Größen Ladung und Magnetfluss beim Schwingkreis festgestellt wurden, gibt es bei mechanischen harmonischen Oszillatoren mit schwingenden Massen und gespannten Federn eine von der Frequenz unabhängige maximale Auslenkung $\Theta$ und einen entsprechenden Maximalimpuls $\Pi$, wenn bei verschiedenen Schwingern das Verhältnis Feder zu Masse das gleiche ist. Dieses Verhältnis wird durch die Größe Kraft pro Geschwindigkeit, die mechanische Impedanz

$Zm=F/v={\sqrt {M/ng}}$, [3-41]

bestimmt. Sie ist materialabhängig und außerdem vom Querschnitt des Wellen leitenden Systems, also vom Durchmesser des Schallfeldes beeinflusst. Damit sind die mechanischen Größen maximale Auslenkung $\Theta$, eine Länge, und Maximalimpuls $\Pi$ zwar als gequantelte Größen existent, sie sind aber nicht solche universellen Quanten für alle mechanischen Probleme, wie die von der Materie unabhängigen elektromagnetischen Ladungen und Flussquanten. Das mechanische „Impulsquant“ ist

$\Pi =h/2\Theta ={\sqrt {Z_{m}\cdot h/2}}$ [Ns] [3-42]

und das „Auslenkungsquant“

$\Theta =h/2\Pi ={\sqrt {h/2Z_{m}}}$ [m] [3-43]

Für eine dem Klitzing-Widerstand $R_{k}$ entsprechende mechanische Größe $W_{k}$ gilt

$W_{k}=2\Pi =2\cdot {\sqrt {M/ng}}=2Z_{m}$ [Ns/m] [3-44]

Dass hier der Faktor Zwei auftaucht, ist mit den Gleichungen [3-42] und [3-43] vorauszusehen, da in den Formeln der einzelnen Quanten ja nur h/2 auftaucht und ohne den Faktor 2 die Quantenstufen der Wirkung nicht realisiert werden können. Im mechanischen System macht die mathematisch völlige Symmetrie zwischen Auslenkung und Impuls kein Problem, so dass man eine „Leitfähigkeit“ $1/Z_{m}={\sqrt {ng/M}}$ als zum Widerstand inverse Größe problemlos akzeptiert und den Faktor 2 auch im Nenner beim Viertel der Klitzing-Impedanz $W_{k}/4=\Pi /2\Theta =Z_{m}/2$ genauso hinnimmt. Wie früher erwähnt, erfordert die Größe h eine Kombination von zwei Quanten der einen Sorte mit einem der anderen, um ganzzahlig zu sein.

Im elektromagnetischen Fall bereitet die elektrisch-magnetische Monopol-Dipol-Unsymmetrie der Maxwellgleichungen einer verbreiteten Schönheitsvorstellung von Naturgesetzen Schwierigkeiten, im mechanischen Denkansatz taucht dieses Problem nicht auf.

Das M-Zentrum in Zinksulfid, ein experimentelles Beispiel

Im Zinksulfidkristall ZnS ist jedes Atom von vier Atomen der anderen Sorte umgeben, wie es Bild 34-1 links zeigt. Ein besonderes Phonon an der Grenze des von den Phononen des Wirtskristalls erreichbaren Frequenzspektrums ist das LO-Phonon. Bei ihm handelt es sich um eine stehende Welle, bei der die unterschiedlichen Atome (Zn und S) gegeneinander schwingen. Die Knoten (blau gezeichnet in Bild 34-1) der Schwingung liegen jeweils zwischen den benachbarten unterschiedlichen Atomen (Zn und S) und dichter aneinander, als bei den im folgenden betrachteten lokalen Schwingungen des M-Zentrums. Die Frequenz (10,15 THz) lässt sich mit spektroskopischen Experimenten messen, die Massen der beteiligten Atome sind bekannt und folglich kann man die aus den Bindungskräften resultierenden Federwirkungen berechnen. Daraus folgt das Modell einer linearen Kette, im Bild 34-1 Mitte links gezeigt.

Bild 34-1: Atomanordnung in Zinksulfid (ZnS), Schwingung des LO-Phonons und Modell der linearen Kette, links. Zu sehen sind die gegenseitige Schwingungsrichtung der Atome und die Knoten (blau)dieser stehenden Welle. Rechts die Fehlstelle das M-Zentrum mit einer lokalen Schwingung.

Resonanzen an Kristallbaufehlern können Frequenzen aufweisen, bei denen sich im Kristall keine Schallwellen ausbreiten können. Dadurch sind dann Phononen genauso lokalisiert wie oben Photonen im Resonator. Ein solches System mit drei unterschiedlichen lokalen Phononen ist das M-Zentrum in ZnS – die Doppel-Schwefel-Fehlstelle. Die Fehlstelle ist von Zinkatomen umgeben, die in unterschiedlicher Form gegeneinander schwingen können. Die Schwingungen mit der höchsten der drei dabei auftretenden Frequenzen zeigt Bild 34-1 rechts. Da die Eigenschaften der Federn mit dem LO-Phonon berechnet werden konnten, sind auch die Schwingungen um das M-Zentrum herum bekannt, wie die Übereinstimmung von Experiment und Rechnung zeigten. Ursache dieser Fehlstelle ist wahrscheinlich ein größeres Fremdatom an zentraler Stelle (orange), vermutlich Wolfram, das den benachbarten Schwefelatomen wegen seiner Größe den Platz nimmt. Dessen gegenüber dem Zinkatomen größere Masse macht sich aber bei der Analyse der Schwingungen kaum bemerkbar, da es nur einen kleinen Teil der Masse des schwingenden Komplexes beisteuert und von der Position her, zwischen den Fehlstellen, die Resonanzfrequenzen von allen Atomen am wenigsten beeinflusst.

Tabelle 3-1: Phononenenergien und -impedanzen des M-Zentrums in ZnS

		wavenumber Wellenzahl	energy Energie	frequency Frequenz	Spring Feder Zn	Spring Feder f	impedance Impedanz Zn	impedance Impedanz S
Phonon	nr.	1 /cm	meV	Thz	kg / s²	kg / s²	N s / m	N s / m
Monopol	2	264,30	32,77	7,92	270		5,41E-12
Dipol	1	124,20	15,40	3,72	59		2,54E-12
Dipol	0	85,50	10,60	2,56	28		1,75E-12
LO		338,60	41,98	10,15	440	217	6,92E-12	3,40E-12

Die an den Schwingungen beteiligten Atome sind alle die gleichen, die Lage der Knoten und damit die Länge der beteiligten Federn ist unterschiedlich, wie früher bereits gezeigt. Für die Analyse hier ist wichtig, dass daraus unterschiedliche mechanische Impedanzen für jede der Schwingungen folgen und hilfreich, dass das Problem eindimensional als lineare Kette zu betrachten ist (siehe Tabelle 3-1).

Bild 34-2: Emission des M-Zentrumkomplexes in Zinksulfid (ZnS) im nahen Infrarot (IR), rot: gemessenes Spektrum;
schwarz: Simulation aus den Phononen;
grün: Bei der Differenz zeigen sich die nicht zur Phononenbande gehörenden Linien;
ganz unten die bei der Simulation beteiligten Phononenleitern ausgehend von den 0 Phononübergängen bei 1479meV (I) und 1482meV (II).

Die Phononen treten bei einer Emission eines an der Fehlstelle angeregten Elektrons im nahen Infrarotbereich als Satelliten elektronischer Übergänge auf. Jede Sorte der Phononen bildet eine Leiter mit Energiestufen, die ein ganzzahliges Vielfaches seiner Energie darstellen. Dabei wird diese Energie von der des Photons abgezogen und eine niederenergetische Seitenbande des elektronischen Emissionsspektrums aus all den möglichen Phononen Kombinationen gebildet. In der roten Linie von Bild 34-2 zeigen sich Zusammenstellungen von auswertbar bis zu 8 Phononen einer Sorte.

Während in einer früheren Arbeit nur die Energiewerte ausgewertet wurden, um die energetische Lage der Emissionslinien den unterschiedlichen Schwingungskombinationen ausgehend von zwei elektronischen Übergängen zuzuordnen, wird jetzt hier versucht, auch die Amplituden der einzelnen Linien auszuwerten. Folgende Annahmen dienten der Anpassung eines synthetischen Spektrums an das gemessene:

1. Die Linien sind gaußförmig
2. Jedes der drei lokalen und des LO-Phonons hat eine individuelle Linienbreite, die für beide Phononenbanden gleich ist
3. die Linienbreite nimmt bei Mehrphononenprozessen gering und gleichartig zu

Mit diesen minimalen Anpassparametern wurde per Hand ein Spektrum ausgehend von den zwei Hauptlinien bei 1479 und 1482 meV synthetisiert, die schwarze Linie in Bild 34-2, das bis auf einige, zu diesen beiden Phononenbanden nicht gehörende Linien (grün die Differenz, es gibt weitere Übergänge), dem gemessenen Spektrum sehr ähnlich ist. Die beobachtete Empfindlichkeit des Verfahrens liegt in der Größenordnung 10% der einzelnen Amplitudenwerte.

Bild 34-3 zeigt die Amplituden innerhalb der Leitern der beteiligten Phononen 0 (10,61meV), 1 (15,41 meV) und 2 (32,8 meV) in Abhängigkeit von der beteiligten Leiterstufe. Ohne die in diesem Kapitel gefundenen Quanteneffekte, den Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Photonenzahlen, würde man erwarten, dass die Amplitude innerhalb der Phononenleitern bei Mehrphononenprozessen mit der Anzahl der beteiligten Phononen gleichmäßig abnimmt. Das Ergebnis der Phononen 1 und 2 kann so noch im Rahmen der Fehlergrenzen interpretiert werden, auch wenn bei Phonon 1 für sechs und sieben Schwingungsquanten die Amplituden davon merkbar abweichen. Das Phonon 0 zeigt dagegen bei beiden voneinander unabhängigen Phononenbanden gleichartig für drei und vier Phononen deutlich kleinere Amplitude als bei Schwingungen mit sechs bis sieben Phononen. Ein solches Verhalten ist, wie bei der Überlegung zum Schwingkreis gezeigt, zu erwarten, wenn sich die mechanischen Quanten (Ort und Impuls) entsprechend der oben in Bild 33 - 4 diskutierten Verteilung für elektrische und magnetische Feldanteile verhalten. Bei dem Ergebnis des Experiments mit Phononen machen sich die zu Ladung und Flussquant beim elektromagnetischen Schwingkreis parallelen Eigenschaften des mechanischen Systems Auslenkung und Impuls bemerkbar. Die zu den gequantelten Auslenkungen und Impulsen gehörenden Energien passen mehr oder weniger gut mit der Energie des Phonons zusammen, und daraus folgen die Wahrscheinlichkeiten ihrer Existenz.

Bild 34-3: Amplitude der Emissionslinien in Abhängigkeit von der Anzahl der beteiligten Phononen. Für jede der Leitern der Phononen 0, 1 und 2 gibt es zwei Werte, jeweils ausgehend von den beiden größten Linien (Nr. 10 und 11 im Originalspektrum). Phonon 0 zeigt die erwartete Anomalie deutlich, bei Phonon 1 wird sie schon angedeutet und bei Phonon 2 sind zu wenige Messpunkte erreicht. Oben rechts ist die Kalkulation aus Kapitel 3.3. eingeblendet, deren Breite von der Impedanz abhängt.

Da uns jeweils zwei beobachtete Linien zur Verfügung stehen, die zu gleichartigen Phononenkombinationen aber unterschiedlichen elektronischen Übergängen gehören, ist es sicher zulässig, das Abweichen der beiden äquivalenten Kurven zueinander als Fehlermaß einzuschätzen. Der beobachtete Effekt ist deutlich größer. Daraus lässt sich dann schließen, dass auch die mechanischen Quanten Auslenkung $\Theta$ und Impuls $\Pi$ den Phasenraum digital skalieren. Das bedeutet, dass nur bestimmte Auslenkungen und Impulse sowie ihre ganzzahligen Vielfachen existieren und analoge Zwischenwerte nicht vorkommen oder mit besserer Genauigkeit nicht definiert sind. Zum Vergleich der mechanischen Ergebnisse mit den Überlegungen beim Schwingkreis ist oben rechts die obige Kalkulation der Wahrscheinlichkeitsverteilung für Energie und Amplitude eingeblendet. Je nach Impedanz des schwingenden Systems ist diese Kurve seitlich zu dehnen oder zu stauchen, wäre also für alle beobachteten Phononen entsprechend Tabelle 5-1 passend.

Das 1/f-Rauschen

Auch das 1/f-Rauschen lässt sich mit obigen Wahrscheinlichkeitsüberlegungen verstehen. Wenn die Energiedifferenz zwischen der mittleren Energie und der einer Feldkombination verschwindet, (das heißt dE = 0), und auch von anderer Seite keine treibende Kraft existiert !, ergibt sich für solche Feldkombinationen eine dazugehörige unendliche Zeitspanne $dt=\infty$. Dies bedeutet, dass das damit zusammenhängende Ereignis irgendwann zwischen $t=0$ und $t=\infty$ auftritt. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis nimmt also proportional zur Zeitspanne $T$ der Beobachtung zu. Wegen $T={\frac {1}{f}}$ ist dies genau das, was wir beim 1/f-Rauschen beobachten.