Digitale Schaltungstechnik/ Wahrheitstabelle

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Einleitung Schaltalgebra (1) Wahrheitstabelle Übungen Lösungen KNF & DNF

Wahrheitstabellen

Wahrheitstabellen, auch Zustandstabellen genannt, dienen zur Veranschaulichung der Zustände, die eintreten können. Eine Zustandsfolge wird Bit-Muster genannt. Die Größe einer vollständigen Wahrheitstabelle hängt von der Anzahl der Eingangsvariablen ab und lässt sich wie folgt berechnen:

Anzahl Zeilen = 2 ^{Anzahl der Eingangsvariablen}

Eingang 1	Eingang 2	Ausgang

In den Tabellenkopf werden die Ein- und Ausgangsvariablen eingetragen, hier mit Rot unterlegt.

Eingang 1	Eingang 2	Ausgang

In die Zeilen unter den Eingängen werden alle Zustände eingetragen, die von der Schaltung angenommen werden können. Man bezeichnet diese Nullen und Einsen als Eingangs-Bit-Muster.

Hier in rot markiert.

Eingang 1	Eingang 2	Ausgang

Je nach Schaltung ergeben sich neue Ausgangszustände. Analog zum Eingang bezeichnet man die entstehenden Bitfolgen als Ausgangs-Bit-Muster. Hier rot hervorgehoben.

Eingang 1	Eingang 2	Ausgang
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Prinzipiell ist es möglich die Zustandstabelle irgendwie aufzubauen, wenn man darauf achtet, keinen Zustand doppelt zu schreiben oder zu vergessen. Damit dies nicht passiert, fängt man am besten mit dem Eingangs-Bit-Muster alle Variablen gleich Null an. Und endet mit dem Eingangs-Bit-Muster, wenn alle Variablen gleich Eins sind. Man zählt zwischen diesen beiden Zuständen binär aufwärts.

Dezimalzahl	Eingang 1	Eingang 2	Ausgang
0	0	0	0
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	0

Wenn man diesen Grundsatz beherzigt, erhält man eine übersichtliche Tabelle, in der man auch noch eine Spalte für dezimale Zählung anfügen kann, wenn Binärzahlen noch schwer fallen.

Dezimalzahl	Eingang 1	Eingang 2	Eingang 3	Eingang 4	Ausgang 1	Ausgang 2
	23	22	21	20
0	0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	1	0
2	0	0	1	0	1	0
3	0	0	1	1	1	0
4	0	1	0	0	1	0
5	0	1	0	1	0	1
6	0	1	1	0	0	1
7	0	1	1	1	1	0
8	1	0	0	0	0	1
9	1	0	0	1	0	0
10	1	0	1	0	1	0
11	1	0	1	1	0	1
12	1	1	0	0	0	0
13	1	1	0	1	1	1
14	1	1	1	0	1	0
15	1	1	1	1	0	0

Natürlich gilt dies alles auch bei größeren Tabellen mit mehr Ausgängen. Wichtig ist, dass jeder Eingang eine Wertigkeit hat, welche von hinten nach vorne gezählt wird. Dies wird in der Beispieltabelle farbig gezeigt. Der letzte Eingang entspricht meistens der Wertigkeit 2⁰. Die maximale Wertigkeit lässt sich mit Hilfe der folgenden Formel berechnen.

max. Wertigkeit = 2^{Anzahl der Eingänge - 1}

Dezimalzahl	Eingang 1	Eingang 2	Eingang 3	Eingang 4	Ausgang 1	Ausgang 2
	23	22	21	20
0	0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	1	0
2	0	0	1	0	1	0
3	0	0	1	1	1	0
4	0	1	0	0	1	0
5	0	1	0	1	0	1
6	0	1	1	0	0	1
7	0	1	1	1	1	0
8	1	0	0	0	0	1
9	1	0	0	1	0	0
10	1	0	1	0	1	0
11	1	0	1	1	0	1
12	1	1	0	0	0	0
13	1	1	0	1	1	1
14	1	1	1	0	1	0
15	1	1	1	1	0	0

Für das Aufstellen der Eingangs-Bit-Muster von größeren Tabellen gibt es ein einfaches System, welches hier nun kurz erklärt wird. Die letzte Spalte (im Beispiel Eingang 4) wechselt bei jeder Zeile ihren Wert. Die vorletzte (Eingang 3) aller zwei Zeilen. Eingang 2 alle vier Zeilen und so weiter. Daraus ergibt für jede Spalte:

Der Zustand wechselt von Null auf Eins und umgekehrt, wenn die Wertigkeit der Spalte erreicht wurde.

Auslesen der Gleichung (DNF)

Ein- und Ausgänge stehen sich nun systematisch gegenüber. Aus der Wahrheitstabelle kann nun eine Funktionsgleichung ausgelesen werden.

Die nun erklärte Methode ist einfach und zuverlässig, liefert aber nicht optimale Resultate. Dazu aber erst später mehr.

gegebene Tabelle

Dez.	C	B	A	X(Ausgang)
0	0	0	0	1
1	0	0	1	0
2	0	1	0	1
3	0	1	1	0
4	1	0	0	0
5	1	0	1	1
6	1	1	0	1
7	1	1	1	0

Gleichung

Zu jeder Zeile gibt es eine Formel, die diese Zeile ausdrückt. Beginnen wir bei der ersten Zeile.:	Dez. C B A 0 0 0 0
Betrachten wir zuerst Spalte A. A ist in dieser Zeile Null. In der Schaltalgebra wird es durch ${\overline {A}}$ (sprich A nicht) ausgedrückt. B und C sind ebenfalls Null, also ${\overline {B}}$ und ${\overline {C}}$. Da alle drei Bedingung gleichzeitig erfüllt sein müssen, lautet der komplette Ausdruck für die Zeile ${\overline {C}}\land {\overline {B}}\land {\overline {A}}$. Da das Und Zeichen entfallen kann: ${\overline {C}}\ {\overline {B}}\ {\overline {A}}$ A nicht meint in diesem Sinne "A ist nicht 1" und da nicht 1 0 ist, heisst A nicht A ist 0.
Betrachten wir uns die nächste Zeile:	Dez. C B A 1 0 0 1
A ist in dieser Zeile 1. In der Schaltalgebra wird es durch $A$ (sprich A) ausgedrückt. B und C sind weiterhin Null, also ${\overline {B}}$ und ${\overline {C}}$. Hier gilt also: ${\overline {C}}\ {\overline {B}}\ A$
und so weiter.	Dez. C B A X formell 0 0 0 0 1 ${\overline {C}}\ {\overline {B}}\ {\overline {A}}$ 1 0 0 1 0 ${\overline {C}}\ {\overline {B}}\ A$ 2 0 1 0 1 ${\overline {C}}\ B\ {\overline {A}}$ 3 0 1 1 0 ${\overline {C}}\ B\ A$ 4 1 0 0 0 $C\ {\overline {B}}\ {\overline {A}}$ 5 1 0 1 1 $C\ {\overline {B}}\ A$ 6 1 1 0 1 $C\ B\ {\overline {A}}$ 7 1 1 1 0 $C\ B\ A$
jetzt haben wir für jede Spalte die Formel, doch eigentlich interessieren uns nur die Spalten, wo unser Ausgang, also X, 1 ist:	Dez. C B A X formell 0 0 0 0 1 ${\overline {C}}\ {\overline {B}}\ {\overline {A}}$ 1 0 0 1 0 ${\overline {C}}\ {\overline {B}}\ A$ 2 0 1 0 1 ${\overline {C}}\ B\ {\overline {A}}$ 3 0 1 1 0 ${\overline {C}}\ B\ A$ 4 1 0 0 0 $C\ {\overline {B}}\ {\overline {A}}$ 5 1 0 1 1 $C\ {\overline {B}}\ A$ 6 1 1 0 1 $C\ B\ {\overline {A}}$ 7 1 1 1 0 $C\ B\ A$
Da in jedem dieser Fälle der Ausgang 1 sein soll, können wir die einzelnen Ausdrücke Oder-Verknüpfen: $X={\overline {C}}\ {\overline {B}}\ {\overline {A}}\lor {\overline {C}}\ B\ {\overline {A}}\lor C\ {\overline {B}}\ A\lor C\ B\ {\overline {A}}$

Wir haben folglich all jene Ausdrücke deren Und-Verknüpfung den Wert 1 liefert mit einem $\lor$ (Oder) verknüpft. Da der Fachausdruck für eine Oder-Verknüpfung Disjunktion lautet nennt man dieses Verfahren auch Disjunktive Normalform oder abgekürzt einfach DNF. Analog dazu existiert auch die Konjunktive Normalform, kurz KNF auf die wir an dieser Stelle jedoch nicht näher eingehen werden.

Beispiel Aufgabe

Dec	D	C	B	A	X
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0
2	0	0	1	0	0
3	0	0	1	1	0
4	0	1	0	0	0
5	0	1	0	1	1
6	0	1	1	0	0
7	0	1	1	1	0
8	1	0	0	0	1
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	0
11	1	0	1	1	0
12	1	1	0	0	0
13	1	1	0	1	0
14	1	1	1	0	1
15	1	1	1	1	0

Die Wahrheitstabelle wird zur Erstellung von digitalen Schaltungen benötigt. Sie zeigt an, bei welchem Zustand der Eingangssignale ein bestimmtes Ausgangssignal auf 1 steht. A, B, C und D sind die Eingänge und X der Ausgang.

Mit Hilfe der Wahrheitstabelle kann man die Normalform bestimmen. Dabei werden alle Zeilen, bei denen am Ausgang 1 steht, beachtet. In Zeile 5 steht eine 1 bei A und C. Bei B und D steht eine 0. Also lautet der erste Teilverknüpfung$X=A\land {\overline {B}}\land C\land {\overline {D}}$

Der Rest der Normalform wird auf die gleiche Weise bestimmt.

$X=A\land {\overline {B}}\land C\land {\overline {D}}\lor {\overline {A}}\land {\overline {B}}\land {\overline {C}}\land D\lor A\land {\overline {B}}\land {\overline {C}}\land D\lor {\overline {A}}\land B\land C\land D$

Alternativ können die Teilverknüpfungen, zwecks einer besseren Übersicht, auch in Klammern gesetzt werden. Das muss aber in diesem Fall nicht sein, da in der Schaltalgebra Und immer Vorrang vor Oder hat.

$X=(A\land {\overline {B}}\land C\land {\overline {D}})\lor ({\overline {A}}\land {\overline {B}}\land {\overline {C}}\land D)\lor (A\land {\overline {B}}\land {\overline {C}}\land D)\lor ({\overline {A}}\land B\land C\land D)$

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