Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Russells Antinomie und Klassen

Mengen und Klassen

Sicherlich ist eine axiomatische Mengenlehre ein Weg, die Russelsche Antinomie zu vermeiden. Aber es geht einfacher. Der Widerspruch entsteht nämlich dadurch, dass angenommen wird, ${\mathcal {R}}=\{x:x\notin x\}$ sei ein Objekt, das als möglicher Wert der Variablen $x$ auftreten kann. Genau das kann aber nicht sein: ${\mathcal {R}}$ ist keine Menge, sondern eine Klasse! Der Dorfbarbier, der bekanntlich alle die Männer des Dorfes rasiert, die sich nicht selbst rasieren, ist eine Frau. Das löst alle Probleme. Die gesamte naive Mengenlehre bleibt gültig, wenn zwischen Klassen und Mengen unterschieden wird. ${\mathcal {V}}=\{x:x=x\}$ ist die Klasse aller Objekte, die als Wert für die Variable $x$ in Frage kommen. Eine Klasse ist dann eine Menge, wenn sie ein Element von ${\mathcal {V}}$ ist. Die Russelsche Antinomie zeigt gerade, dass die Klassenbildung $\{x:A(x)\}$ immer aus einem gegebenen Bereich hinausführt. Der Veriablenbereich ${\mathcal {M}}$ mit dem einzigen Element $a$ ist ein Modell, das die Widerspruchsfreiheit dieser Klassenlogik zeigt. In dem Modell gibt es ein weiteres Objekt $b$, das ausserhalb des Bereiches ${\mathcal {M}}$ liegt. Sind $a$ und $b$ Klassen, so gibt es zwei Möglichkeiten:

• Gilt   $a\notin a$   so ist   a = $\varnothing$ := $\{x:x\neq x\}$   und   $a\in b$ = $\{a\}$ = ${\mathcal {V}}$ = ${\mathcal {R}}$.
• Gilt dagegen   $a\in a$   so ist   a = $\{a\}$ = ${\mathcal {V}}$   und   $a\notin b$ = $\varnothing$ = ${\mathcal {R}}$.

Siehe beispielsweise Klassenlogik. Jürgen-Michael Glubrecht 23:02, 20. Aug. 2018 (CEST)

@Jürgen-Michael Glubrecht: Um auf deinen Kommentar antworten zu können, habe ich noch eine Frage: Schlägst du Änderungen am Artikel vor (wenn ja, welche) oder ist dein Kommentar mehr ein ergänzender Beitrag? Liebe Grüße, Stephan Kulla 23:53, 20. Aug. 2018 (CEST)

@Stephan Kulla: Ich würde den Artikel ändern, weil ich solche Aussagen wie folgende

"Obwohl wir bisher noch nicht sehr viel Mathematik betrieben haben (wir haben nur definiert, was eine Menge ist und wie man diese notieren kann), haben wir bereits jetzt einen Fehler gemacht, der zu einer widersprüchlichen Theorie der Mengenlehre führt."

in einem Kapitel über die Grundlagen der Mathematik für höchst unglücklich halte. Alles was bis dahin in dem Kapitel über Mengen gesagt wurde ist in Ordnung. Alles was danach über Mengen gesagt wird ist auch einwandfrei und in keiner Weise widersprüchlich. Aber aus dem Abschnitt über die Russelsche Antinomie "lernt" man: die naive Mengenlehre ist zwar widerspruchsvoll, aber wir (die Mathematiker) benutzen sie trotzdem. Das ist m.E. so nicht richtig. Aus der Russelschen Antinomie (und nicht nur aus der) folgt dagegen nur, dass man zwischen Mengen und Klassen unterscheiden muss.

Als Änderung schlage ich vor, die Abschnitte Probleme mit dem naiven Mengenbegriff und Russels Antinomie ganz an den Schluss zu verlegen und im Sinne der Klassenlogik umzuformulieren. Grüsse nach München Jürgen-Michael Glubrecht 12:54, 21. Aug. 2018 (CEST)

@Jürgen-Michael Glubrecht: Reihenfolge der Artikel ist bereits geändert. Gerne kannst du den Artikel auch überarbeiten. Hier schlage ich vor, dass du deine Änderungswünsche erst auf Benutzer Diskussion:Jürgen-Michael Glubrecht erstellst und wenn du fertig bist, kannst du dich dann bei mir melden und ich schaue mir deine veränderten Texte an. Wenn es wenig Änderungen sind, kannst du auch direkt den Artikel bearbeiten. Gerne kann ich dir auch unter Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfänge einen persönlichen Bereich einrichten. Liebe Grüße, Stephan Kulla 15:53, 21. Aug. 2018 (CEST)

@Stephan Kulla: Dank für die Verlagerung! An der Änderung auf der Diskussionsseite arbeite ich gerade ;-) Jürgen-Michael Glubrecht 16:20, 21. Aug. 2018 (CEST)

Hallo @Stephan Kulla: Der überarbeitete Abschnitt ist jetzt weitgehend fertig und steht hier bereit.. Ich werde nochmals Korrektur lesen, brauche aber ein paar Tage Abstand. Für Hinweise auf Fehler bin ich dankbar. Wenn alles ok, würde ich folgende Änderungen vornehmen:

• Der Abschnitt 7 Probleme mit dem naiven Mengenbegriff enfällt ersatzlos.
• Das Kapitel Russells_Antinomie wird ersetzt durch Mengen und Klassen.

Viele Grüsse Jürgen-Michael Glubrecht 10:03, 30. Aug. 2018 (CEST)

@Jürgen-Michael Glubrecht: Ist super. Russells_Antinomie kannst du gerne durch Mengen und Klassen ersetzen. Kopiere einfach deine Inhalte rein. Weitere Details besprechen wir dann (siehe meine Mail). -- Stephan Kulla 11:51, 30. Aug. 2018 (CEST)

Habe "Russells Antinomie" ersetzt. In der Sitemap konnte ich nur den Text, nicht aber den Link anpassen. Jürgen-Michael Glubrecht 18:47, 30. Aug. 2018 (CEST)

Wir benutzen hier den Klassenbegriff, ohne ihn definiert zu haben (vielleicht ist das andernorts bereits geschehen, dann ignoriert/löscht bitte meinen Einwand).

Ich schlage vor, dass wir im Artikel den lediglich als Hinweis markierten Satz

Hinweis

Ist $A(x)$ eine Aussageform, so ist $\{x\,|\,A(x)\}$ eine Klasse.

als Definition benutzen, ihn als (wichtige) Definition auch als solche kennzeichnen und ihn vor der ersten Verwendung des Klassenbegriffs (also noch vor der Allklasse und der Russellschen Klasse) platzieren. Ich grüße alle Mitstreiter freundlich Thomas Zeh 16:20, 31. Aug. 2018 (CEST)

Diese Definition revidiert die Redeweisen aus den vorangegangenen Kapiteln, z.B. aus Mathe für Nicht-Freaks: Aufzählende und beschreibende Mengenschreibweise. Dort heisst es beispielsweise:

Durch die beschreibende Mengenschreibweise wird eine Menge aller Objekte definiert, die eine bestimmte Eigenschaft $A(x)$ besitzen. Dabei ist $A(x)$ eine Aussageform mit einer freien Variablen (in diesem Fall $x$). Man schreibt $M=\{x\,|A(x)\}$ und meint damit die Menge $M$ aller Objekte $x$, die die Eigenschaft $A(x)$ erfüllen. Es gilt also:

$\forall y\left(y\in \{x\,\vert A\left(x\right)\}\Leftrightarrow A\left(y\right)\right)$

Wie will man es verständlich machen, dass man zwischen Mengen und Klassen unterscheiden muss? Mir fallen dazu zwei Wege ein:

• Man könnte von Anfang an den Begriff Klasse statt Menge verwenden. Das wäre zwar korrekt, ist aber in der Mathematik nicht üblich und an der Schule schon gar nicht.
• Oder man aber nutzt die Antinomie um klar zu machen, dass man den ursprünglichen Bereich verlässt. Das habe ich versucht deutlich zu machen.

Viele Grüsse Jürgen-Michael Glubrecht 20:45, 2. Sep. 2018 (CEST)

P.S. Wie würde denn die (wichtige) Definition layoutmässig gestaltet? JMG

Variablenbereich

Die Thematisierung des Variablenbereiches – das ist ja nichts anderes als der betrachtete Grundbereich! – muss m.E. im Kapitel Aussageform und Substitution erfolgen. Die ausführliche Thematisierung im Zusammenhang mit der Russellschen Antinomie würde den Eindruck erwecken, da gäbe es einen ursächlichen Zusammenhang. Die Lösung der Antinomie liegt nicht in der Erfindung des Variablenbereichs! Auch im Kapitel über Quantoren muss man sich Gedanken darüber machen. Beispiel: $\exists x:x={\sqrt {-1}}$. Und last but not least: warum wird die leere Menge $\emptyset =\{x:x\neq x\}$ in den vorangegangenen Kapiteln behandelt, nicht aber die Menge (?) ${\mathcal {V}}=\{x:x=x\}$.

Der entscheidende Punkt zur Auflösung der Antinomie ist, dass die Klassenbildung aus dem ursprünglichen Bereich herausführt. Dieses könnte man noch weiter ausführen, wenn man zu einer beliebigen Klasse ${\mathcal {A}}$ die Klasse ${\mathcal {R_{A}}}=\{x\in A:x\notin x\}$ (Russelsche Klasse relativ zu ${\mathcal {A}}$) betrachtet. Es ergibt sich dann nämlich: ${\mathcal {R_{A}}}\notin {\mathcal {A}}$. Ich habe dieses Beispiel nicht aufgeführt, weil man mit derselben Argumentation wie bei der Russellschen Antinomie zunächst nur ${\mathcal {R_{A}}}\in {\mathcal {V}}\Rightarrow {\mathcal {R_{A}}}\notin {\mathcal {A}}$ erhält und das (logische) Axiom ${\mathcal {A}}\in {\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {A}}\in {\mathcal {V}}$ (Elemente sind Mengen) an dieser Stelle (noch) nicht zur Verfügung steht.