Formelsammlung Mathematik: Algebra

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Rechenregeln

Binomische Formeln

Sei $R$ ein Ring, z. B. $R=\mathbb {R}$ oder $R=\mathbb {C}$. Sei $a,b\in R$ und $ab=ba$. Dann gilt:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$	(erste binomische Formel)
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,$	(zweite binomische Formel)
$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,$	(dritte binomische Formel)

und:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$	$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,$
$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,$	$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,$

Binomischer Lehrsatz

Sei $R$ ein unitärer Ring, z. B. $R=\mathbb {R}$ oder $R=\mathbb {C}$. Sei $a,b\in R$ und $ab=ba$. Dann gilt:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$	$(a-b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$	$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$	$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$
$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$	$(a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}$
usw.	usw.

Pascalsches Dreieck

Das pascalsche Dreieck ist eine Wertetabelle für die Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}.$

	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	k=7	k=8
n=0	1
n=1	1	1
n=2	1	2	1
n=3	1	3	3	1
n=4	1	4	6	4	1
n=5	1	5	10	10	5	1
n=6	1	6	15	20	15	6	1
n=7	1	7	21	35	35	21	7	1
n=8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

Das Dreieck lässt sich rekursiv durch die Vorschrift

${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}}$

erzeugen.

Multinomialtheorem

Sei $R$ ein unitärer Ring. Sei $a_{1},\ldots ,a_{m}\in R$, wobei die $a_{i}$ paarweise kommutieren. Es gilt

$(a_{1}+\ldots +a_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}a_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot a_{m}^{k_{m}}.$

In Multiindex-Notation:

$(a_{1}+\ldots +a_{m})^{n}=\sum _{|k|=n}{\binom {n}{k}}a^{k}$

mit

$k=(k_{1},\ldots ,k_{m}),$

$|k|=k_{1}+\ldots +k_{m},$

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}:={\frac {n!}{k_{1}!+\ldots +k_{m}!}},$

$a^{k}=a_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot a_{m}^{k_{m}}.$

Die ersten Formeln sind:

n=2	(a+b)2	= a2 + b2 + 2ab
	(a+b+c)2	= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
	(a+b+c+d)2	= a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
n=3	(a+b)3	= a3 + b3 + 3a2b + 3b2a
	(a+b+c)3	= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc

Potenzen

$a^{0}=1$

$a^{1}=a$

$a^{2}=a\cdot a$

$a^{3}=a\cdot a\cdot a$

usw.

$a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n\,\mathbf {Faktoren} }$

Definition für $a\in \mathbb {R}$ und $n\in \mathbb {Z} ,n\geq 0$:

$a^{0}:=1,\quad 0^{0}:=1,$

$a^{n}:=a^{n-1}\cdot a.\quad (n\geq 1)$

Für $a\neq 0$:

$a^{-n}:={\frac {1}{a^{n}}}.$

Definition für $a\in \mathbb {R} ,a>0$ und $r\in \mathbb {R}$:

$a^{r}:=\exp(r\cdot \ln(a)).$

Für $r\neq 0$:

${\sqrt[{r}]{a}}:=\exp \left({\frac {\ln(a)}{r}}\right)=a^{1/r}.$

Potenzgesetze

Für $a,b\in \mathbb {R} ,a,b>0$ und $r,s\in \mathbb {R}$ gilt:

$a^{r}a^{s}=a^{r+s}$	${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s}$	$(a^{r})^{s}=a^{rs}$
$(a\,b)^{r}=a^{r}b^{r}$	${\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}$	${\Big (}{\frac {1}{a}}{\Big )}^{r}={\frac {1}{a^{r}}}$

Ist zusätzlich $r\neq 0$, so gilt:

$({\sqrt[{r}]{a}})^{s}={\sqrt[{r}]{a^{s}}}$	$({\sqrt[{r}]{a\,b}})^{s}={\sqrt[{r}]{a^{s}}}{\sqrt[{r}]{b^{s}}}$	$\left({\sqrt[{r}]{\frac {a}{b}}}\right)^{s}={\frac {\sqrt[{r}]{a^{s}}}{\sqrt[{r}]{b^{s}}}}$
${\sqrt[{r}]{a^{s}}}=a^{s/r}$	${\sqrt[{r}]{a^{r}}}=a$	${\sqrt[{-r}]{a}}={\frac {1}{\sqrt[{r}]{a}}}={\sqrt[{r}]{\frac {1}{a}}}$

Für $a,b\in \mathbb {R}$ und $m,n\in \mathbb {Z} ,m,n\geq 0$ gilt:

$(a\,b)^{n}=a^{n}b^{n}$	$(a^{m})^{n}=a^{mn}$
$b\neq 0\implies \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

→ Potenzgesetze für komplexen Zahlen

Logarithmen

Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2

Für $a,x,y\in \mathbb {R}$ mit $a,x>0$ und $a\neq 1$ gilt:

$x=a^{y}\iff y=\log _{a}(x).$

Logarithmengesetze

Für $x,y,a,r\in \mathbb {R}$ mit $x,y,a>0$ und $a\neq 1$ gilt:

$\log(x\,y)=\log(x)+\log(y)$	$\log(1)=0\,$	$\log _{a}(x)={\frac {\log(x)}{\log(a)}}$
$\log \left({\frac {x}{y}}\right)=\log(x)-\log(y)$	$\log \left({\frac {1}{x}}\right)=-\log(x)$
$\log(x^{r})=r\,\log(x)$	$r\neq 0\implies \log({\sqrt[{r}]{x}})={\frac {1}{r}}\,\log(x)$

Welcher Logarithmus verwendet wird, ist unerheblich. D. h. man setzt $\log :=\log _{a}$ für ein festes $a$ mit $a>0$ und $a\neq 1$. Meistens ist $\log :=\ln$ oder $\log :=\lg$.

Spezielle Logarithmen

	Bezeichnung	Definierende Eigenschaft	Basis
Natürliche Logarithmen	ln	$\mathrm {e} ^{\ln(x)}=x\,$	e=2,718 281 828 459 045... (eulersche Zahl)
Dekadische Logarithmen	lg	$10^{\lg(x)}=x\,$	10
Binäre Logarithmen	lb, ld	$2^{\mathrm {lb} (x)}=x\,$	2

→ Logarithmengesetze für komplexe Zahlen

Gleichungen

Definition

Sind $f,g$ zwei auf der Grundmenge $G$ definierte Funktionen, so nennt man

$f(x)=g(x)$

eine Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungsmenge

$L=\{x\in G\mid f(x)=g(x)\}$

gesucht ist.

Bei $G$ kann es sich auch um eine Menge von Tupeln handeln:

$L=\{(x,y)\in G\mid f(x,y)=g(x,y)\},$

$L=\{(x,y,z)\in G\mid f(x,y,z)=g(x,y,z)\},$

usw.

Man schreibt auch $x=(x_{1},x_{2})$ oder $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ usw.

Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert.

Seien $A(x),B(x)$ zwei Aussageformen.

Äquivalenz	Implikation
Gilt für alle $x\in G$: $A(x)\iff B(x),$ so gilt: $\{x\in G\mid A(x)\}=\{x\in G\mid B(x)\}.$	Gilt für alle $x\in G$: $A(x)\implies B(x),$ so gilt: $\{x\in G\mid A(x)\}\subseteq \{x\in G\mid B(x)\}.$

Seien $f,g,h$ Funktionen mit Definitionsbereich $G$ und Zielmenge $Z=\mathbb {R}$ oder $Z=\mathbb {C}$.

Für alle x gilt:

$f(x)=g(x)\iff f(x)+h(x)=g(x)+h(x),$

$f(x)=g(x)\iff f(x)-h(x)=g(x)-h(x).$

Besitzt $h(x)$ keine Nullstellen, so gilt für alle x:

$f(x)=g(x)\iff f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x),$

$f(x)=g(x)\iff {\frac {f(x)}{h(x)}}={\frac {g(x)}{h(x)}}.$

Besitzt $h(x)$ Nullstellen, so gilt immerhin noch für alle x:

$f(x)=g(x)\implies f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x).$

Ist $i$ eine auf dem Definitionsbereich $f(G)\cup \operatorname {g} (G)$ injektive Funktion, dann gilt für alle x:

$f(x)=g(x)\iff i(f(x))=i(g(x)).$

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Arten von Gleichungen

Polynomgleichungen

• Quadratische Gleichungen