Sei
ein Ring, z. B.
oder
.
Sei
und
. Dann gilt:
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(erste binomische Formel)
|
|
(zweite binomische Formel)
|
|
(dritte binomische Formel)
|
und:
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Sei
ein unitärer Ring, z. B.
oder
.
Sei
und
. Dann gilt:
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|
|
usw.
|
usw.
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Das pascalsche Dreieck ist eine Wertetabelle für die Binomialkoeffizienten
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3455beb484dbaba26b2cfa17bad34b195c6e28)
|
k=0 |
k=1 |
k=2 |
k=3 |
k=4 |
k=5 |
k=6 |
k=7 |
k=8
|
n=0
|
1
|
n=1
|
1 |
1
|
n=2
|
1 |
2 |
1
|
n=3
|
1 |
3 |
3 |
1
|
n=4
|
1 |
4 |
6 |
4 |
1
|
n=5
|
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1
|
n=6
|
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1
|
n=7
|
1 |
7 |
21 |
35 |
35 |
21 |
7 |
1
|
n=8
|
1 |
8 |
28 |
56 |
70 |
56 |
28 |
8 |
1
|
Das Dreieck lässt sich rekursiv durch die Vorschrift
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3027846f5d02235fd0759030edbeae293b76d2e7)
erzeugen.
Sei
ein unitärer Ring. Sei
, wobei die
paarweise kommutieren. Es gilt
![{\displaystyle (a_{1}+\ldots +a_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}a_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot a_{m}^{k_{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c457d09649d00dea96655f0c68908aa9cbeaf8e4)
In Multiindex-Notation:
![{\displaystyle (a_{1}+\ldots +a_{m})^{n}=\sum _{|k|=n}{\binom {n}{k}}a^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ecedfcaa97fa631e6c0036107e64d472ef5d628)
mit
![{\displaystyle k=(k_{1},\ldots ,k_{m}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c125bb9b93cb6077a09f23ffcc2d9350f77df2)
![{\displaystyle |k|=k_{1}+\ldots +k_{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e27f67aff26c82cdeeea23d81b59298a5fc1492)
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}:={\frac {n!}{k_{1}!+\ldots +k_{m}!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098bfe2bf058d571155565b9de09d61df04b762c)
![{\displaystyle a^{k}=a_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot a_{m}^{k_{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adaecf4fc486af6d47f20faeb443b705b1392d8f)
Die ersten Formeln sind:
n=2
|
(a+b)2
|
= a2 + b2 + 2ab
|
(a+b+c)2
|
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
|
(a+b+c+d)2
|
= a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
|
n=3
|
(a+b)3
|
= a3 + b3 + 3a2b + 3b2a
|
(a+b+c)3
|
= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc
|
|
|
|
|
usw.
|
|
Definition für
und
:
![{\displaystyle a^{0}:=1,\quad 0^{0}:=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2142ad1371207fb123d80af358905c38c536d2e5)
![{\displaystyle a^{n}:=a^{n-1}\cdot a.\quad (n\geq 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a87a71c7c23e199b2ba1cc5ddc286e86f1fd1e)
Für
:
![{\displaystyle a^{-n}:={\frac {1}{a^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09550535e07e9ce2912619d966123f13182a97df)
Definition für
und
:
![{\displaystyle a^{r}:=\exp(r\cdot \ln(a)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4782ec40ddfc13629596c016c0ae764196fefa5)
Für
:
![{\displaystyle {\sqrt[{r}]{a}}:=\exp \left({\frac {\ln(a)}{r}}\right)=a^{1/r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f76a3addcdbfa058d6316ffa632a93e36b4c076)
Für
und
gilt:
|
|
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|
|
|
Ist zusätzlich
, so gilt:
|
|
|
|
|
|
Für
und
gilt:
|
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|
Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2
Für
mit
und
gilt:
![{\displaystyle x=a^{y}\iff y=\log _{a}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3d01f19fdec248ac2b8d0e7523bdab91baf465)
Für
mit
und
gilt:
|
|
|
|
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Welcher Logarithmus verwendet wird, ist unerheblich. D. h. man setzt
für ein festes
mit
und
. Meistens ist
oder
.
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Bezeichnung
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Definierende Eigenschaft
|
Basis
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Natürliche Logarithmen
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ln |
|
e=2,718 281 828 459 045... (eulersche Zahl)
|
Dekadische Logarithmen
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lg |
|
10
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Binäre Logarithmen
|
lb , ld |
|
2
|
Sind
zwei auf der Grundmenge
definierte Funktionen, so nennt man
![{\displaystyle f(x)=g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d0bb8fc04dfc0d04d53ee9ada38c794e51ca78)
eine Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungsmenge
![{\displaystyle L=\{x\in G\mid f(x)=g(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9520bff31ac8f07254e9bfdef193d372d2c3303e)
gesucht ist.
Bei
kann es sich auch um eine Menge von Tupeln handeln:
![{\displaystyle L=\{(x,y)\in G\mid f(x,y)=g(x,y)\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56dd5d8947139ff8dd9f98457a2393e3b14cff4)
![{\displaystyle L=\{(x,y,z)\in G\mid f(x,y,z)=g(x,y,z)\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea64ecea4e3bab9bc7f29c184876206dfad8a0b)
- usw.
Man schreibt auch
oder
usw.
Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert.
Seien
zwei Aussageformen.
Äquivalenz
|
Implikation
|
Gilt für alle :
![{\displaystyle A(x)\iff B(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059fc3ef27b7e9e4e6a41a155b59b89a670be244)
so gilt:
![{\displaystyle \{x\in G\mid A(x)\}=\{x\in G\mid B(x)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638e41b9678f2284997312e2943da00877a8ec6d)
|
Gilt für alle :
![{\displaystyle A(x)\implies B(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5c0096226b73e80c543507099ccf069f924bc6)
so gilt:
![{\displaystyle \{x\in G\mid A(x)\}\subseteq \{x\in G\mid B(x)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d259a29e90961e5e1e01458ab2e78d9889d30cca)
|
Seien
Funktionen mit Definitionsbereich
und Zielmenge
oder
.
Für alle x gilt:
![{\displaystyle f(x)=g(x)\iff f(x)+h(x)=g(x)+h(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b13073cff677f5d5fd653c9c314d93cad9072f)
![{\displaystyle f(x)=g(x)\iff f(x)-h(x)=g(x)-h(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae768ac63ee4ce703eef2459025d82d42244c66f)
Besitzt
keine Nullstellen, so gilt für alle x:
![{\displaystyle f(x)=g(x)\iff f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca75e7a752fb14b8e342568379ab3c6c7d3c3dc)
![{\displaystyle f(x)=g(x)\iff {\frac {f(x)}{h(x)}}={\frac {g(x)}{h(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9def509803c1c9cba200400fbce589dd32cf60)
Besitzt
Nullstellen, so gilt immerhin noch für alle x:
![{\displaystyle f(x)=g(x)\implies f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d14a431c5122b5421fa10186b262a45c7e24c37)
Ist
eine auf dem Definitionsbereich
injektive Funktion, dann gilt für alle x:
![{\displaystyle f(x)=g(x)\iff i(f(x))=i(g(x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fc605db5559d2b3da097cc5257da12a8382152)
Jede streng monotone Funktion ist injektiv.
Polynomgleichungen