MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Lage Geraden

Gegenseitige Lage zweier Geraden

Beispiel: Flugbahnen

Ein Flugzeug befindet sich in den Koordinaten $F_{1}\left(20|-30|1200\right)$ mit Kurs in Richtung ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix}}$, ein zweites Flugzeug befindet sich in den Koordinaten $F_{2}\left(-2480|105|1167\right)$ mit Kurs in Richtung ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}150\\120\\1\\\end{pmatrix}}$. Kreuzen sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge?

 

Die Flugbahnen der beiden Flugzeuge können als Geraden dargestellt werden. Flugzeug 1 bewegt sich auf der Geraden

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}20\\-30\\1200\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s\in \mathbb {R} \right)$

Flugzeug 2 auf der Geraden

$g_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-2480\\105\\1167\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}150\\120\\1\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

Die Frage, ob sich die Flugbahnen kreuzen ist dann gleichbedeutend damit, ob sich diese Geraden schneiden.

Beispiel Lage von Geraden - Flugbahnen

Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind nicht kollinear, also können die beiden Geraden weder parallel verlaufen noch identisch sein. Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen ergibt:

${\begin{pmatrix}20\\-30\\1200\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2480\\105\\1167\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}150\\120\\1\\\end{pmatrix}}$

Das ist äquivalent zu

$s\cdot {\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-150\\-120\\-1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2500\\135\\-33\\\end{pmatrix}}$

Diese Vektorgleichung kann man in drei Gleichungen zerlegen:

${\begin{array}{|ccccl|l}-100\cdot s&-&150\cdot t&=&-2500&\cdot 3/50\\225\cdot s&-&120\cdot t&=&135&:5\\-3\cdot s&-&1\cdot t&=&-33&\cdot (-2)\\\end{array}}\Leftrightarrow {\begin{array}{|ccccl}-6\cdot s&-&9\cdot t&=&-150\\45\cdot s&-&24\cdot t&=&27\\6\cdot s&+&2\cdot t&=&66\\\end{array}}$

Addieren der ersten und letzten Gleichung liefert $-7\cdot t=-84$ bzw. $\left.t=12\right.$. Aus der ersten Gleichung ergibt sich damit $-6\cdot s=-42$ also $\left.s=7\right.$. Diese Lösung erfüllt auch die zweite Gleichung, denn $45\cdot 7-24\cdot 12=27$. Das Gleichungssystem ist also eindeutig lösbar, die Geraden schneiden sich bzw. die Flugbahnen kreuzen sich.

Den Ortsvektor des Schnittpunktes der Flugbahnen erhält man, indem man einen der beiden berechneten Parameter in die entsprechende Gerade einsetzt.

${\begin{pmatrix}20\\-30\\1200\\\end{pmatrix}}+7\cdot {\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-680\\1545\\1179\\\end{pmatrix}}\Rightarrow S\left(-680|1545|1179\right)$

Allgemeine Betrachtung des Problems

Im Wesentlichen gibt es vier Möglichkeiten, wie zwei Geraden im dreidimensionalen Raum zu einander liegen können. Sie können

• identisch sein, das heißt jeder Punkt der einen Gerade ist auch ein Punkt der anderen Gerade,
• parallel sein. das heißt sie haben zwar keine gemeinsamen Punkte, aber die gleiche Richtung (Alternativen zu dieser Formulierung findet man hier),
• sich schneiden, das heißt genau einen gemeinsamen Punkt haben, den Schnittpunkt,
• windschief sein, das heißt sie haben keine gemeinsamen Punkte und auch nicht dieselbe Richtung (sind also nicht parallel).

• Lagebeziehungen von Geraden
• 
  identisch
• 
  parallel
• 
  sich schneidend
• 
  windschief

Hat man zwei Geraden in Parameterform gegeben, etwa

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+s\cdot {\vec {u}}\qquad (s\in \mathbb {R} )$ und

$g_{2}:\;{\vec {x}}={\vec {q}}+t\cdot {\vec {v}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$,

dann kann man nach folgendem Schema vorgehen, um die Lage der beiden Geraden zu einander festzustellen:

Untersuche zunächst die Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$. Sind diese kollinear?

• Wenn die Richtungsvektoren kollinear sind, dann können die Geraden nur identisch oder parallel sein.
  Untersuche in diesem Fall, ob der Punkt mit Ortsvektor ${\vec {p}}$ (dem Stützvektor von $g_{1}$) auch auf $g_{2}$ liegt, mit Hilfe der Punktprobe.
  • Liegt der Punkt auf der Geraden, dann kann diese nicht parallel zu der anderen sein, also sind die Geraden identisch.
  • Liegt der Punkt nicht auf der Geraden, dann kann diese nicht identisch zu der anderen sein, also sind die Geraden parallel.
• Wenn die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, dann können die Geraden sich nur schneiden oder windschief sein. Setze in diesem Fall die Parameterformen der beiden Geraden gleich. Die Vektorgleichung ${\vec {p}}+s\cdot {\vec {u}}={\vec {q}}+t\cdot {\vec {v}}$ führt zu
  $\left|{\begin{matrix}u_{1}\cdot s&-&v_{1}\cdot t&=&q_{1}-p_{1}\\u_{2}\cdot s&-&v_{2}\cdot t&=&q_{2}-p_{2}\\u_{3}\cdot s&-&v_{3}\cdot t&=&q_{3}-p_{3}\\\end{matrix}}\right|$
  Dieses lineare Gleichungssystem enthält entweder eine überflüssige Information oder einen Widerspruch.
  • Enthält das Gleichungssystem einen Widerspruch, so besitzen die beiden Geraden keine gemeinsamen Punkte. Die Geraden sind demnach windschief.
  • Enthält das Gleichungssystem keinen Widerspruch, so liefert es eine eindeutige Lösung für s und t. In diesem Fall schneiden sich die beiden Geraden. Den Schnittpunkt erhält man durch einsetzen der Parameter s oder t in die jeweilige Parameterform.

Beispiele

• Beispiel 1 (identisch)

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\;\left(s\in \mathbb {R} \right)$

und

$g_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-2\\2\\5\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}3\\-3\\-3\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

${\begin{pmatrix}3\\-3\\-3\\\end{pmatrix}}=-{\frac {3}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}$, also sind die Richtungsvektoren kollinear.

${\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\2\\5\\\end{pmatrix}}+{\frac {5}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-3\\-3\\\end{pmatrix}}$, also liegt der Punkt $\left(3|-3|0\right)$ auf $g_{2}$. Die Geraden sind also identisch.

• Beispiel 2 (parallel)

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\;\left(s\in \mathbb {R} \right)$

und

$g_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}4\\3\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

${\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}$, also sind die Richtungsvektoren kollinear.

${\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\3\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\\end{pmatrix}}$, führt zu einem Widerspruch $\left(t=-1,\,t=6,\,t=0\right)$ also liegt der Punkt $\left(3|-3|0\right)$ nicht auf $g_{2}$. Die Geraden sind also parallel.

• Beispiel 3 (schneidend)

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\;\left(s\in \mathbb {R} \right)$

und

$g_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\7\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\-3\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

${\begin{pmatrix}2\\2\\-3\\\end{pmatrix}}=t\cdot {\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}$, führt zu einem Widerspruch $\left(t=-1,\,t=1,\,t=-3/2\right)$ also sind die Richtungsvektoren nicht kollinear.

${\begin{vmatrix}-2\cdot s&-&2t&=&-2\\2\cdot s&-&2t&=&10\\2\cdot s&+&3t&=&0\\\end{vmatrix}}$

hat die eindeutige Lösung $t=-2,\;s=3$. Die Geraden schneiden sich also im Punkt $\left(-3|3|6\right)$.

• Beispiel 4 (windschief)

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}5\\0\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\\end{pmatrix}}\;\left(s\in \mathbb {R} \right)$

und

$g_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\7\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\4\\-4\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

${\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\\end{pmatrix}}=t\cdot {\begin{pmatrix}1\\4\\-4\\\end{pmatrix}}$, führt zu einem Widerspruch $\left(t=-1,\,t=1/4,\,t=0\right)$ also sind die Richtungsvektoren nicht kollinear.

${\begin{vmatrix}-1\cdot s&-&1t&=&-5\\1\cdot s&-&4t&=&0\\0\cdot s&+&4t&=&7\\\end{vmatrix}}$

führt zu einem Widerspruch $\left(t=7/4,\,s=7,\,s=13/4\right)$ also sind die Geraden windschief.

 

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