Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Der Satz von Liouville – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten dann die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind.

Wir beweisen nun Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen und zeigen damit den Satz von Liouville, dass auf dem ganzen $\mathbb {R} ^{n}$ definierte harmonische Funktionen automatisch konstant sind.

Diesen Satz von Liouville gibt es auch in der Funktionentheorie für holomorphe Funktionen.

Abschätzung der Ableitungen einer harmonischen Funktion

Satz

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und beschränkt. Ist $u:U\rightarrow \mathbb {R}$ harmonisch, so gilt

$|D^{a}u(x)|\leq {\frac {C_{k}}{r^{n+k}}}\parallel u\parallel _{L^{1}(B(x,r)}$

für jede Kugel $B(x,r)\subset U$ mit ${\overline {B(x,r)}}\subset U$ und jeden Multiindex $a$ der Ordnung $|a|=k$, d.h. es liegt insgesamt eine $k$-fache Ableitung vor, aber ggf. nach verschiedenen Variablen.

Die Konstanten sind gegeben durch

$\forall k\in \mathbb {N} _{0}:\ C_{k}={\frac {(2^{n+1}nk)^{k}}{Vol(B(0,1))}}$

mit $0^{0}=1$ und es bezeichnet

$\parallel u\parallel _{L^{1}(B(x,r))}:=\int _{B(x,r)}|u(y)|dy$

Beweis

Wir verwenden Induktion über $k$. Dabei wenden wir den Mittelwertsatz in jedem Schritt auf immer kleinere Kugeln an.

:

k=0: Mit dem Mittelwertsatz gilt

$|u(x)|\leq {\frac {1}{Vol(B(0,1))r^{n}}}\int _{B(x,r)}|u(y)|dy={\frac {C_{0}}{r^{n+0}}}\parallel u\parallel _{L^{1}(B(x,r)}$

k=1: Wegen $|a|=1$ gilt $D^{a}u=u_{x_{i}}$ für ein $i\in \{1,\ldots ,n\}$. Wegen

$\Delta u_{x_{i}}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\Delta u=0$

ist $u_{x_{i}}$ harmonisch. Mit dem Mittelwertsatz und der partiellen Integration mit dem konstanten Vektorfeld

$v=(0,\ldots ,0,\underbrace {1} _{\text{i-te Stelle}},0,\ldots ,o)$

gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

folgt, da die Ableitung des konstanten Vektorfeldes $v$ Null ist ${\text{div }}v=0$

${\begin{aligned}|D^{a}u(x)|=&\left|{\frac {1}{Vol(B(0,1))\left({\frac {r}{2}}\right)^{n}}}\int _{B\left(x,{\frac {r}{2}}\right)}u_{x_{i}}(y)dy\right|\\=&\left|{\frac {1}{Vol(B(0,1))\left({\frac {r}{2}}\right)^{n}}}\int _{B\left(x,{\frac {r}{2}}\right)}\nabla u(y)\cdot vdy\right|\\{\stackrel {\text{part. Int.}}{=}}&\left|{\frac {2^{n}}{Vol(B(0,1))r^{n}}}\int _{\partial B\left(x,{\frac {r}{2}}\right)}u(y)N_{i}(y)dS(y)\right|\\\leq &{\frac {2^{n}}{Vol(B(0,1))r^{n}}}\int _{\partial B\left(x,{\frac {r}{2}}\right)}|u(y)|dS(y)\\\leq &{\frac {2^{n}}{Vol(B(0,1))r^{n}}}\max _{y\in \partial B\left(x,{\frac {r}{2}}\right)}|u(y)|\int _{\partial B\left(x,{\frac {r}{2}}\right)}dS(y)\\=&{\frac {2n}{r}}\max _{y\in \partial B\left(x,{\frac {r}{2}}\right)}|u(y)|\end{aligned}}$

Für jedes $y\in \partial B\left(x,{\frac {r}{2}}\right)$ gilt

${\begin{aligned}&|z-y|<{\frac {r}{2}}\\\implies &|z-x|\leq |z-y|+|y-x|<r\end{aligned}}$

und somit

${\begin{aligned}B\left(y,{\frac {r}{2}}\right)&\subset B(x,r)\subset U\end{aligned}}$

Wie im Fall $k=0$ gilt, da der Integrationsbereich sich vergrößert

${\begin{aligned}|u(y)|\leq &{\frac {1}{Vol(B(0,1))\left({\frac {r}{2}}\right)^{n}}}\parallel u\parallel _{L^{1}\left(B\left(y,{\frac {r}{2}}\right)\right)}\\\leq &{\frac {2^{n}}{Vol(B(0,1))r^{n}}}\parallel u\parallel _{L^{1}(B(x,r))}\end{aligned}}$

Das ergibt durch Einsetzen in den Fall $k=1$ wegen $|u|\geq 0$

${\begin{aligned}|D^{a}u(x)|\leq &{\frac {2n}{r}}\max _{y\in \partial B\left(x,{\frac {r}{2}}\right)}|u(y)|\\\leq &{\frac {2n}{r}}{\frac {2^{n}}{Vol(B(0,1))r^{n}}}\parallel u\parallel _{L^{1}(B(x,r))}\end{aligned}}$

Induktionsschritt für $k\geq 2$: Die Ausage gelte für Multiindizes der Ordnung kleiner gleich $k-1$.

Sei $a\in (\mathbb {N} _{0})^{n}$ ein Multiindex mit $|a|=k$. Dann gibt es einen Multiindex $b$ der Ordnung $k-1$ und ein $i\in \{1,\ldots ,n\}$ sodass gilt

$D^{a}u=(D^{b}u)_{x_{i}}$

und $D^{a}u$ ist harmonisch wegen

$\Delta D^{a}u=D^{a}\Delta u=0$

Analog zur Rechnung für $k=1$ erhalten wir wieder mit der Mittelwertformel und partieller Integration mit dem konstanten Vektorfeld

$v=(0,\ldots ,0,\underbrace {1} _{\text{i-te Stelle}},0,\ldots ,o)$

gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

${\begin{aligned}|D^{a}u(x)|=&\left|{\frac {1}{Vol(B(0,1))\left({\frac {r}{k}}\right)^{n}}}\int _{B(x,{\frac {r}{k}})}\nabla (D^{b}u)(y)\cdot vdy\right|\\{\stackrel {\text{part. Int.}}{=}}&\left|{\frac {k^{n}}{Vol(B(0,1))r^{n}}}\int _{\partial B(x,{\frac {r}{k}})}D^{b}u(y)N_{i}(y)dS(y)\right|\\\leq &{\frac {k^{n}}{Vol(B(0,1))r^{n}}}\int _{\partial B(x,{\frac {r}{k}})}|D^{b}u(y)|dS(y)\\\leq &{\frac {k^{n}}{Vol(B(0,1))r^{n}}}\max _{y\in \partial B(x,{\frac {r}{k}})}|D^{b}u(y)|\int _{\partial B(x,{\frac {r}{k}})}dS(y)\\=&{\frac {kn}{r}}\max _{y\in \partial B(x,{\frac {r}{k}})}|D^{b}u(y)|\end{aligned}}$

Für alle $y\in \partial B\left(x,{\frac {r}{k}}\right)$ gilt

${\begin{aligned}&|z-y|<{\frac {k-1}{k}}r\\\implies &|z-x|\leq |z-y|+|y-x|<{\frac {k-1}{k}}r+{\frac {r}{k}}=r\end{aligned}}$

und somit

${\begin{aligned}B\left(y,{\frac {k-1}{k}}r\right)\subset &B(x,r)\subset U\end{aligned}}$

Da $|u|\geq 0$ folgt mit der Induktionsvorraussetzung für $k-1$

${\begin{aligned}|D^{b}u(y)|\leq &{\frac {C_{k-1}}{\left({\frac {k-1}{k}}r\right)^{n+k-1}}}\parallel u\parallel _{L^{1}(B(y,{\frac {k-1}{k}}r))}\\\leq &{\frac {C_{k-1}}{\left({\frac {k-1}{k}}r\right)^{n+k-1}}}\parallel u\parallel _{L^{1}(B(y,r))}\end{aligned}}$

Damit lässt sich der Fall $k$ fortsetzen zu

$|D^{a}u(x)|\leq {\frac {kn}{r}}{\frac {C_{k-1}}{\left({\frac {k-1}{k}}r\right)^{n+k-1}}}\parallel u\parallel _{L^{1}(B(y,r))}$

Mit ${\frac {k}{k-1}}\leq 2$ lässt sich der Vorfaktor abschätzen gemäß

${\begin{aligned}{\frac {knC_{k-1}}{\left({\frac {k-1}{k}}\right)^{n+k-1}}}=&{\frac {kn}{\left({\frac {k-1}{k}}\right)^{n+k-1}}}{\frac {(2^{n+1}n(k-1))^{k-1}}{Vol(B(0,1))}}\\=&{\frac {kn(2^{n+1}nk)^{k-1}}{Vol(B(0,1))}}\left({\frac {k}{k-1}}\right)^{n}\\\leq &{\frac {kn(2^{n+1}nk)^{k-1}}{Vol(B(0,1))}}2^{n+1}\\=&C_{k}\end{aligned}}$

Der Satz von Liouville

Satz (Liouville)

Jede beschränkte harmonische Funktion $u:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ist konstant.

Beweis (Liouville)

Sei $x\in \mathbb {R} ^{n}$. Wir wenden den vorherigen Satz an mit $|a|=1$ und erhalten

${\begin{aligned}|D^{a}u(x)|\leq &{\frac {C_{1}}{r^{n+1}}}\parallel u\parallel _{L^{1}(B(x,r))}\\=&{\frac {C_{1}}{r^{n+1}}}\int _{B(x,r)}|u(y)|dy\\\leq &{\frac {C_{1}}{r^{n+1}}}Vol(B(0,1))r^{n}\sup _{y\in \mathbb {R} ^{n}}|u(y)|\\=&{\frac {C_{1}Vol(B(0,1))}{r}}\sup _{y\in \mathbb {R} ^{n}}|u(y)|\\{\stackrel {r\rightarrow \infty }{\rightarrow }}&0\end{aligned}}$

Damit folgt $\nabla u\equiv 0$ und somit ist $u$ konstant.

Eindeutigkeit beschränkter Lösungen der Poissongleichung

Satz

Sei $f\in C_{C}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ und $n\geq 3$. Dann hat jede beschränkte Lösung der Poissongleichung

$\Delta u=f{\text{ in }}\mathbb {R} ^{n}$

die Form

$u(x)=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}P(x-y)f(y)dy+c$

mit einer Konstanten $c\in \mathbb {R}$.

Gilt $\lim _{|x|\rightarrow \infty }u(x)=0$ so ist die Lösung der Poissongleichung eindeutig gegeben durch

$u(x)=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}P(x-y)f(y)dy$

Die Existenz der Lösung haben wir schon gezeigt im Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Poissongleichung_im_Ganzraum

Beweis

Wähle $R>0$ so groß, das $supp(f)\subseteq B(0,R)$. Für ein $x$ aus $B(0,R)$ gilt $B(x,R)\subset B(0,2R)$ und da die Fundamentallösung in $L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ist, wie wir gezeigt haben in Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Eigenschaften_der_Fundamentallösung gilt für $x\in B(0,R)$

${\begin{aligned}|u(x)|=&\left|\int _{B(0,R)}P(x-y)f(y)dy\right|\\\leq &\sup _{supp(f)}|f|\cdot \int _{B(0,R)}|P(x-y)|dy\\\leq &\sup _{supp(f)}|f|\cdot \int _{B(x,R)}|P(x-y)|dy\\\leq &\sup _{supp(f)}|f|\cdot \int _{B(0,2R)}|P(x-y)|dy\\\leq &C\end{aligned}}$

Damit ist $u$ beschränkt und $w:=u-{\tilde {u}}$ ist ebenfalls beschränkt. $w$ ist harmonisch in $\mathbb {R} ^{n}$, wegen $\Delta w=\Delta u-\Delta {\tilde {u}}=f-f=0$. Nach dem Satz von Liouville ist $w$ damit konstant.

Für $|x|>R$ und $|y|<R$ gilt

$|x-y|\geq |x|-|y|>|x|-R>0$

Damit folgt

${\begin{aligned}|u(x)|\leq &\sup _{supp(f)}|f|\cdot \int _{B(0,R)}|P(x-y)|dy\\\leq &c\cdot \sup _{supp(f)}|f|\cdot \int _{B(0,R)}{\frac {1}{|x-y|^{n-2}}}dy\\\leq &c\cdot \sup _{supp(f)}|f|\cdot \int _{B(0,R)}{\frac {1}{(|x|-R)^{n-2}}}dy\\\leq &c\cdot \sup _{supp(f)}|f|\cdot {\frac {Vol(B(0,R))}{(|x|-R)^{n-2}}}dy\\{\stackrel {|x|\rightarrow \infty }{\rightarrow }}&0\end{aligned}}$

Jede weitere Lösung ${\tilde {u}}$ der Poissongleichung hat notwendig die Gestalt ${\tilde {u}}=u+c$. Wegen $|u(x)|{\stackrel {|x|\rightarrow \infty }{\rightarrow }}0$ folgt aber $c=0$.