Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Poissongleichung im Ganzraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir

Wir haben die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet.

Der Mittelwert über Kugeloberflächen einer stetigen Funktion

Wir konstruieren aus der Fundamentallösung der Laplacegleichung über eine sogenannte "Faltung" eine Ganzraumlösung der Poissongleichung $\Delta u=f$. Dafür beweisen wir erst einen Hilfssatz, dass bei stetigen Funktionen f ihr mittlerer Wert über eine Sphäre sich dem Wert am Kugelmittelpunkt annähert. Das hatten wir erwartet, da die stetige Funktion bei immer kleineren werdenden Kugeln immer weniger abweicht von ihrem Wert am Kugelmittelpunkt.

Satz

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und $B(x_{0},R)\subset U$ und $f\in C(U)$ und

$F:(0,R)\rightarrow \mathbb {R} ,r\mapsto {\frac {1}{Vol(\partial B(0,r))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}fdS$

Dann gilt

$\lim _{r\rightarrow 0}F(r)=f(x_{0})$

Beweis

${\begin{aligned}|F(r)-f(x_{0})|=&\left|{\frac {1}{Vol(\partial B(0,r))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}fdS-f(x_{0})\right|\\=&\left|{\frac {1}{r^{n-1}Vol(\partial B(0,1))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}(f-f(x_{0}))dS\right|\\\leq &{\frac {1}{r^{n-1}Vol(\partial B(0,1))}}\int _{\partial B(x_{0},r)}|f-f(x_{0})|dS\\\leq &\max _{\partial B(x_{0},r)}|f(x)-f(x_{0})|{\frac {1}{Vol(\partial B(x_{0},r))}}\underbrace {\int _{\partial B(x_{0},r)}dS} _{=Vol(\partial B(x_{0},r))}\\=&\max _{\partial B(x_{0},r)}|f(x)-f(x_{0})|{\stackrel {r\rightarrow 0}{\rightarrow }}0\end{aligned}}$

wobei die Stetigkeit von $f$ im letzten Schritt verwendet wurde.

Die Lösung der Poissongleichung im Ganzraumfall

Satz

Durch Faltung der Fundamentallösung $P$ aus dem letzten Kapitel mit $f$ erhält man eine Lösung der Poissongleichung: Sei $f\in C_{c}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, d.h. $f$ ist zweimal stetig differenzierbar und hat einen kompakten, insbesonderen beschränkten Träger. Sei

$u:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto -\int _{\mathbb {R} ^{n}}P(x-y)f(y)dy$

Dann gilt

a) $u\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n})$

b) $\Delta u=f$ in $\mathbb {R} ^{n}$.

Beweis

1.) Das Integral existiert für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$: Da der Träger kompakt ist, ist er in einer Kugel um $0$ enthalten, d.h. es gibt ein $R>0$ mit $supp(f)\subseteq B(x,R)$. Da f stetig ist, nimmt es auf dem kompakten Träger sein Maximum an und ist insbesondere beschränkr durch ein $C>0$. Wir haben im letzten Kapitel gezeigt $P\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung

${\begin{aligned}\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}P(x-y)f(y)dy\right|\leq &\int _{\mathbb {R} ^{n}}|P(x-y)|\cdot |f(y)|dy\\=&\int _{B(x,R)}|P(x-y)|\cdot |f(y)|dy\\\leq &\max _{y\in {\overline {B(x,R)}}}|f(y)|\cdot \int _{B_{R}(x)}|P(x-y)|dy\\=&\underbrace {\max _{y\in {\overline {B(x,R)}}}|f(y)|} _{\leq C}\underbrace {\int _{B(0,R)}|P(z)|dz} _{<\infty }<\infty \end{aligned}}$

Mit der Transformation

${\begin{aligned}&T:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},y\mapsto z=x-y\\&|\det DT|=1\end{aligned}}$

und der Transformationsformel gilt

$u(x)=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}P(x-y)f(y)dy=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}P(z)f(x-z)dz$

Man sagt auch, die Faltung ist kommutativ.

2.) Integration und Ableitung sind vertauschbar:

Sei $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ beliebig. Wähle einen Radius $R>0$, sodass der Träger von $f$ ganz in der Kugel um $R$ enthalten ist $supp(f)\subseteq B_{R}(x_{0})$. Damit lassen sich alle Ableitungen in $B_{R}(x_{0})$ fÜr $a\leq 2$ abschätzen gemäß

$|D_{x}^{a}(P(y)f(x-y))|\leq P(y)\cdot 1_{B(x_{0},R)}(y)\cdot \sup _{x\in B(x_{0},R)}|D^{a}f(x)|$

und die rechte Seite ist in $L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ da $P\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ und $D^{a}f\in C(\mathbb {R} ^{n})$ auf seinem kompakten Träger beschränkt ist. Damit steht auf der rechten Seite eine Majorante und Integral und Ableitung lassen sich vertauschen, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung

$D^{a}u(x_{0})=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}P(y)D_{x}^{a}f(x_{0}-y)dy$

3.) Abschätzung der einzelnen Terme:

Wir summieren und erhalten für beliebige $x\in \mathbb {R} ^{n},\varepsilon >0$ ein Integral, das wir aufspalten in ein Integral über eine kleine Kugel um den Ursprung und ein Integral über den Rest des Raumes

${\begin{aligned}\Delta u(x)=&-\int P(y)\Delta _{x}f(x-y)dy\\=&-\int _{B(0,\varepsilon )}P(y)\Delta _{x}f(x-y)dy-\int _{\mathbb {R} ^{n}\backslash B(0,\varepsilon )}P(y)\Delta _{x}f(x-y)dy\\=:&I_{\varepsilon }+J_{\varepsilon }\end{aligned}}$

Wir schätzen beide Terme ab: Da $r|\ln r|$ stetig in $0$ fortsetzbar ist, wie wir im letzten Kapitel mit der Regel von L'Hospital gezeigt haben, ist es in $B_{\varepsilon }$ beschränkt, $r$ ist durch $\varepsilon$ beschränkt, damit gilt

${\begin{aligned}|I_{\varepsilon }|\leq &\sup _{y\in B(0,\varepsilon )}|\Delta _{x}f(x-y)|\int _{B(0,\varepsilon )}|P(y)|dy\\\leq &{\begin{cases}C_{1}\int _{0}^{\varepsilon }r|lnr|dr&{\text{ für }}n=2\\C_{2}\int _{0}^{\varepsilon }rdr&{\text{ für }}n\geq 3\\\end{cases}}\\\leq &C\varepsilon \quad {\stackrel {\varepsilon \rightarrow 0}{\rightarrow }}0\end{aligned}}$

Es gilt $\Delta _{x}f(x-y)=\Delta _{y}f(x-y)$, denn durch die zweifache Ableitung erhält man zweimal den Faktor $-1$. Wegen $supp(f)\subseteq B(0,R)$ wird nur über eine Kugel integriert und das Integral über den äußeren Rand verschwindet, da $f$ dort identisch Null ist. Mit der Greenschen Formel gilt, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

${\begin{aligned}J_{\varepsilon }=&-\int _{\mathbb {R} ^{n}\backslash B(0,\varepsilon )}P(y)\Delta _{x}f(x-y)dy=-\int _{B(0,R)\backslash B(0,\varepsilon )}P(y)\Delta _{y}f(x-y)dy\\{\stackrel {\text{Green}}{=}}&\int _{B(0,R)\backslash B(0,\varepsilon )}\langle \nabla _{y}P(y),\nabla _{y}f(x-y)\rangle dy-\int _{\partial B(0,\varepsilon )}P(y)\langle \nabla _{y}f(x-y),N\rangle dS(y)\\&-\int _{\partial B(0,R)}P(y)\langle \underbrace {\nabla _{y}f(x-y)} _{=0},N\rangle dS(y)\\=:&K_{\varepsilon }-L_{\varepsilon }\end{aligned}}$

Bei genügend großer Wahl von $R$ ist $\nabla _{y}f(x-y)=0$ auf dem Rand von $B(0,R)$ und der dritte Term entfällt. Beim zweiten Term zeigt die Normale nach außen aus dem Gebiet d.h. in die Kugel $B(0,\varepsilon )$ auf den Nullpunkt zu und es gilt

${\begin{aligned}\left|\langle \nabla _{y}f(x-y),N(y)\rangle \right|\leq |\nabla f(x-y)|\leq C\end{aligned}}$

da $f\in C_{c}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, d.h. stetig auf seinem kompakten Träger. Das ergibt

${\begin{aligned}|L_{\varepsilon }|\leq &C\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}|P(y)|dS(y)\\=&{\begin{cases}{\dfrac {C}{2\pi }}|\ln \varepsilon |2\pi \varepsilon =C\varepsilon |\ln \varepsilon |&{\text{ für }}n=2\\{\dfrac {C}{n(n-2)Vol(B(0,1))}}\varepsilon ^{2-n}Vol(\partial B(0,\varepsilon ))&{\text{ für }}n\geq 3\\\end{cases}}\\=&{\begin{cases}=C\varepsilon |\ln \varepsilon |&{\text{ für }}n=2\\{\dfrac {C}{(n-2)Vol(\partial B(0,1))}}\varepsilon ^{2-n}\varepsilon ^{n-1}Vol(\partial B(0,1))={\dfrac {C\varepsilon }{n-2}}&{\text{ für }}n\geq 3\\\end{cases}}\\{\stackrel {\varepsilon \downarrow 0}{\rightarrow }}&0\end{aligned}}$

Nun wollen wir den Term $K_{\varepsilon }$ abschätzen. Mit $N={\frac {-y}{|y|}}$ folgt

$\langle \nabla _{y}P,N\rangle =\left\langle {\frac {-1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {y}{|y|^{n}}},{\frac {-y}{|y|}}\right\rangle ={\frac {1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {|y|^{2}}{|y|^{n+1}}}$

Die Formel von Green lässt sich auf $K_{\varepsilon }$ anwenden, da der Träger von $f$ in einer Kugel um Null enthalten ist $supp(f)\subseteq B_{R}(0)$ für ein $R>0$. Mit dem oben gezeigten Hilfssatz über die Mittelung einer stetigen Funktion über Kugeloberflächen gilt

${\begin{aligned}K_{\varepsilon }=&\int _{\mathbb {R} ^{n}\backslash B(0,\varepsilon )}\langle \nabla _{y}P(y),\nabla _{y}f(x-y)\rangle dy\\=&-\int _{\mathbb {R} ^{n}\backslash B(0,\varepsilon )}\underbrace {\Delta P(y)} _{=0}f(x-y)dy+\int _{\partial B(0,\varepsilon )}\langle \nabla _{y}P,N\rangle f(x-y)dS(y)\\=&\int _{\partial B(0,\varepsilon )}{\frac {1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {|y|^{2}}{|y|^{n+1}}}f(x-y)dS(y)\\=&{\frac {1}{Vol(\partial B(0,\varepsilon ))}}\int _{\partial B(x,\varepsilon )}f(z)dS(z)\\{\stackrel {\text{Hilfssatz}}{\rightarrow }}&f(x)\end{aligned}}$

Da $\Delta u(x)=I_{\varepsilon }+K_{\varepsilon }-L_{\varepsilon }$ und die linke Seite nicht von $\varepsilon$ abhängt, gilt

$\Delta u(x)=f(x)$