Elfeck

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(Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Polygonkonstruktionen: Elfeck)

Mathematik → Schulmathematik → Planimetrie → Polygonkonstruktionen

Elfeck (Hendekagon)[Bearbeiten]

Das regelmäßige Elfeck ist als klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht darstellbar. Erlaubt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in elf gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, führt dies zu einer exakten Seitenlänge des Elfecks.

Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, es sind aber nur wenige in der einschlägigen Literatur zu finden. Die bekanntesten ist wohl die Näherungskonstruktion nach Dürer aus dem Jahr 1525.

Exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel[Bearbeiten]

Elfeck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel
  1. Zeichne einen Kreis mit dem Radius r = 1 (Einheitskreis).
  2. Konstruiere über dem Radius OA1 das Quadrat OA1BC.
  3. Bestimme die Quadratrix von Hippias mit der Parameterkurve :

mit

  1. Zeichne eine Halbgerade ab dem Mittelpunkt O.
  2. Trage auf der Halbgeraden ab O elf gleiche Abstände ab. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Teilungspunkte bis 4 und und der Abschlußpunkt 11 dargestellt.

Anmerkung
Der Zentriwinkels des Elfecks ergibt sich aus aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab bis in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Elftel der Strecke OC kann nur ein Elftel des Winkels erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels aus dem Umkreis mit seinen das Vierfache eines Elftels, d. h. der Teilungspunkt der Strecke OC, zur Konstruktion des Zentriwinkels genutzt.

  1. Verbinde den Abschlußpunkt 11 mit C.
  2. Ziehe eine Parallele zu C11 ab dem Teilungspunkt 4 bis OC, damit ergibt sich der Punkt 4'.
  3. Ziehe eine Parallele zu OA1 ab dem Punkt 4' bis zur Quadratrix, damit ergibt sich der Punkt D.
  4. Ziehe eine gerade Linie vom Mittelpunkt O durch D bis zur Kreislinie, damit ergibt sich der zweite Eckpunkt A2 des entstehenden Elfecks sowie der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) μ.
  5. Verbinde den Punkt A1 mit A2, die Länge der Strecke ist die exakte Seitenlänge des regelmäßigen Elfecks.
  6. Trage auf dem Umkreis ab dem Eckpunkt A2 die Strecke A1A2 neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten]

01-Elfeck-3-1.svg
  1. Bestimme die Lage des Mittelpunktes M
  2. Zeichne einen Kreis, den Umkreis des späteren Elfecks, um den Mittelpunkt M mit einem beliebigen Radius.
  3. Zeichne die horizontale und die vertikale Mittelachse, damit ergeben sich auf dem Umkreis die Punkte A, E1 bzw. B und C.
  4. Konstruiere auf der horizontalen Mittelachse außerhalb des Kreises die Strecke AD, sie ist ein Zehntel der Strecke AM.
  5. Trage die Strecke AD ab dem Punkt A viermal auf die horizontale Mittelachse ab, damit ergeben sich die Punkte F, G, H und I.
  6. Zeichne den Hilfskreis mit dem Radius MD um den Punkt M, er wird im Folgenden Hilfskreis durch D genannt; die Schnittpunkte mit der horizontalen und vertikalen Mittelachse sind K bzw. L.
  7. Halbiere die Strecke AD, damit ergibt sich der Punkt J.
  8. Zeichne den Hilfskreis mit dem Radius MJ um den Punkt M; dieser Hilfskreis wird im Folgenden Hilfskreis durch J genannt.
  9. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt N mit einem Abstand |LN|, der gleich lang ist wie die Strecke MJ.
  10. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt O mit einem Abstand |DO|, der gleich lang ist wie die Strecke DF.
  11. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt P mit einem Abstand |E1P|, der gleich lang ist wie die Strecke AI.
  12. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt Q mit einem Abstand |DQ|, der gleich lang ist wie die Strecke DG.
  13. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt R mit einem Abstand |BR|, der gleich lang ist wie die Strecke GJ.
  14. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt S mit einem Abstand |HS|, der gleich lang ist wie die Strecke MA.
  15. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt T mit einem Abstand |DT|, der gleich lang ist wie die Strecke MG.
  16. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt U mit einem Abstand |E1U|, der gleich lang ist wie die Strecke MF.
  17. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt V mit einem Abstand |DV|, der gleich lang ist wie die Strecke AD.
  18. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt W mit einem Abstand |KW|, der gleich lang ist wie die Strecke MD.
  19. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt Z mit einem Abstand |DZ|, der gleich lang ist wie die Strecke MD.
  20. Zeichne ab dem Punkt Z eine gerade Linie durch den Punkt W, damit ergibt sich der Schnittpunkt A1 auf dem Hilfskreis durch D.
  21. Zeichne ab dem Punkt A1 eine gerade Linie durch den Punkt V, damit ergibt sich der Schnittpunkt B1 auf dem Hilfskreis durch D.
  22. Zeichne ab dem Punkt B1 eine gerade Linie durch den Punkt U, damit ergibt sich der Schnittpunkt C1 auf dem Hilfskreis durch D.
    01-Elfeck-3-1.svg
  23. Zeichne ab dem Punkt C1 eine gerade Linie durch den Punkt T, damit ergibt sich der Schnittpunkt D1 auf dem Hilfskreis durch D.
  24. Zeichne ab dem Punkt D1 eine gerade Linie durch den Punkt S, damit ergibt sich der Schnittpunkt F1 auf dem Hilfskreis durch D.
  25. Zeichne ab dem Punkt F1 eine gerade Linie durch den Punkt R, damit ergibt sich der Schnittpunkt G1 auf dem Hilfskreis durch D.
  26. Zeichne ab dem Punkt G1 eine gerade Linie durch den Punkt Q, damit ergibt sich der Schnittpunkt H1 auf dem Hilfskreis durch D.
  27. Zeichne ab dem Punkt H1 eine gerade Linie durch den Punkt P, damit ergibt sich der Schnittpunkt I1 auf dem Hilfskreis durch D.
  28. Zeichne ab dem Punkt I1 eine gerade Linie durch den Punkt O, damit ergibt sich der Schnittpunkt J1 auf dem Hilfskreis durch D.
  29. Zeichne ab dem Punkt J1 eine gerade Linie bis zum Punkt N, dabei ergibt sich als Schnittpunkt auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt E2 des entstehenden Elfecks.
  30. Verbinde den Eckpunkt E1 mit E2, somit ergibt sich die angenäherte Seitenlänge a des regelmäßigen Elfecks.
  31. Trage auf den Umkreis ab dem Eckpunkt E2 die Seitenlänge a neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.
  • Somit ergibt sich:
Eine Näherung des regelmäßigen Elfecks E1 bis E11.

Ergebnis[Bearbeiten]

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

  • Konstruierte Seitenlänge des Elfecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen)
  • Seitenlänge des Elfecks
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:
Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler
  • Konstruierter Zentriwinkel des Elfecks in GeoGebra (Anzeige signifikante 13 Nachkommastellen)
  • Zentriwinkel des Elfecks
  • Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:
Bis zu den angezeigten signifikanten 13 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[Bearbeiten]

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Weblinks[Bearbeiten]

  Näherungskonstruktion nach Dürer (1525)

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

 Archimedische Spirale

 Quadratrix des Hippias

 Mittelpunktswinkel

 Konstruierbares Polygon

 Commons: Elfeck, Animation von dieser Näherungskonstruktion – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien