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Wahrscheinlichkeitstheorie/ Konvergenzsätze

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Satz (Gesetz der großen Zahlen von Etemadi):

Es sei eine Folge paarweise unabhängiger und gleichverteilter Zufallsvariablen, sodass . Dann gilt

fast sicher ,

wobei

.

Beweis: Zunächst zerlegen wir , wobei

und .

Wir werden Etemadis Gesetz der großen Zahlen für nicht-negative Zufallsvariablen beweisen. Sobald wir das getan haben, können wir allerdings das Gesetz der großen Zahlen durch die obige Zerlegung auch für teils negative Zufallsvariablen beweisen, denn es gilt ja dann, dass die und gleichverteilt, aber auch paarweise unabhängig (wegen z. B. für und entsprechenden Gleichungen für ) sind, und deren Durchschnitt deswegen gegen resp. konvergiert.

Nun können wir also annehmen, dass jedes nicht-negativ ist. Wir setzen und . Ferner setzen wir

.

Die Markov-Chebyshev‒Ungleichung impliziert nun

.

Aber ähnlich wie die Variablen und sind auch die Variablen paarweise unabhängig. Daher gilt nach der Bienaymé-Gleichung

.

Des weiteren gilt

und daher

.

Nun benutzen wir die Ungleichung

für alle

und die Vertauschung der Summation, sowie die Formel für die geometrische Reihe, um einzusehen, dass

gilt. Nun gilt aber auch

,

wobei die kumulative Distributionsfunktion von ist. Indem wir jetzt nochmal die Summation vertauschen und daraufhin die Ungleichung

anwenden, erhalten wir

.

Daher impliziert der Satz von Borel‒Cantelli, dass

fast sicher .

Der Satz von der dominierten Konvergenz impliziert jedoch

.

Daher gilt

,

denn es gilt ohnehin, dass

und dementsprechend auch für alle ,

aber wir können für jedes ein wählen, sodass für alle

gilt, dann ein mit sodass

,

und schließlich feststellen, dass für

.

Daraus schließen wir, dass

fast sicher .

Um auf das entsprechende Resultat für schließen zu können, bemerken wir, dass

,

sodass fast sicher nur endlich oft vorkommt, woraus

an fast allen Punkten folgt.

Es sei nun beliebig. Dann gilt