Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Aus Wikibooks

Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf

Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

Anfangswertprobleme zu nichtlineare Differentialgleichungen $y'(x) = F (x, y (x))$ für stetiges $F$ müssen nicht immer eindeutig lösbar sein. Unter zusätzlicher Annahme der lokalen Lipschitz-Stetigkeit von $F$ in der zweiten Variablen kann man jedoch Eindeutigkeit garantieren, und diese Voraussetzung ist in der Praxis meistens gegeben. Dies begründet die Bedeutung des folgenden Eindeutigkeitskriteriums:

[Bearbeiten] Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit

Es sei $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ , $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{K}^n$ , $(a, y_0) \in G$ und $F = F(x,y): G \rightarrow \mathbb{K}^n$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem $\ y' = F(x,y), y(a) = y_0$ höchstens eine Lösung $y \in C^1([a, b); \mathbb{K}^n)$ .

[Bearbeiten] Beweis

Es seien $y_1, y_2: [a, b) \rightarrow \mathbb{R}^n$ zwei Lösungen des Anfangswertproblems $\ y'=F(x,y), y(a) = y_0$ und $\beta \in (a,b)$ beliebig. Da

$K := \{(x,y)\in [a, \beta] \times \mathbb{K}^n\ |\ x \in [a,\beta],\ y \in \{y_1(x), y_2(x)\}\}$

kompakt ist, gibt es ein $L\geq 0$ mit

$\|F(x,y)-F(x,z)\| \leq L\|y-z\|$

für alle $(x,y), (x,z) \in K$ . Für die Differenz $d(x) := \|y_1(x) - y_2(x)\|$ gilt die Integralungleichung

$\begin{array}{lll}d(x)&=&\|[y_1(x)-y_1(a)]-[y_2(x)-y_2(a)]\| = \|\int_a^x[F(s,y_1(s))-F(s,y_2(s))]{\rm d}s\|\\ &\leq&\int_a^x\|F(s,y_1(s)) - F(s,y_2(s))\|{\rm d}s\\ &\leq&L\int_a^x\|y_1(s)-y_2(s)\|{\rm d}s = L\int_a^xd(s){\rm d}s\ .\\\end{array}$