Mathematik: Analysis: Grundlagen: Mengen

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Analysis

Grundlagen

Mengen – Relationen – Funktionen– Natürliche Zahlen – Ganze Zahlen – Rationale Zahlen

Reelle Zahlen

Inhaltsverzeichnis

1 Logische Grundlagen
2 Mengen

[Bearbeiten] Logische Grundlagen

Dieser Abschnitt, soll lediglich eine kurze Erklärung der hier verwendeten Symbole geben. Für genaueres sei auf das Buch Mathematik: Logik verwiesen.

Wir verwenden die folgenden Symbole

Negation $\neg$ (lat. non) ("Nicht")
der Konjunktor $\wedge$ (lat. et) ("Und")
der Disjunktor $\vee$ (lat. vel) ("Oder")
der Subjunktor $\rightarrow$ (Pfeil) ("Folgt")
der Bisubjunktor $\leftrightarrow$ (Doppelpfeil)
Implikation $\Rightarrow$
Äquivalenz $\Leftrightarrow$

Für das weitere seien A und B zwei Aussagen.

Bemerkung:

Für die Äquivalenz haben sich folgende Ausdrucksweisen eingebürgert, die alle das Gleiche bedeuten (also äquivalent sind):

A ist äquivalent mit B oder

A genau dann, wenn B oder

A dann und nur dann, wenn B oder

A ist gleichbedeutend mit B,

d.h. wenn "A ⇔ B" gilt, so sagt man auch "A dann und nur dann, wenn B".

Für eine Menge M und eine Eigenschaft (Prädikat) P(x) für ein Element x aus M werden folgende Symbole verwendet:

Definition: ∀ x ∈ M: P(x) genau dann wenn "Für alle x∈M gilt P(x)"
∃ x ∈ M: P(x) genau dann wenn "Es gibt (mindestens) ein x∈M, für das P(x) gilt"

[Bearbeiten] Mengen

Der Begründer der Mengenlehre, der deutsche Mathematiker Georg Cantor hat eine Menge wie folgt definiert:

"Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohl unterschiedener Objekte zu einem Ganzen"

Diese Definition ist etwas vage und wirft eine Reihe von Fragen auf, auf die hier aber nicht eingegangen wird, da die Mengenlehre im Folgenden nur zur exakten Beschreibung von Sachverhalten genutzt wird.

Es muss aber eindeutig entscheidbar sein, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht.

[Bearbeiten] Beschreibungen von Mengen

Beschreibung durch Aufzählung der Elemente:
Die Elemente stehen in einer geschweiften Klammer und sind durch Komma getrennt.
Beispiel: M = { a, b, c }
Beschreibung durch eine Eigenschaft:
Die Elemente werden durch ein Zeichen (meist ein Buchstabe) repräsentiert, nach einem Längsstrich wird die Eigenschaft angegeben: { x | x hat die Eigenschaft E }.
Beispiel: M = { t | t ist ein Wikibook }
Ob Elemente zur Menge gehören oder nicht wird wie folgt ausgedrückt:
x ∈ M anstelle von "x ist Element von M"
x ∉ M anstelle von "x ist nicht Element von M"
Gleichheit von Mengen: Die Mengen A und B sind gleich, A = B, wenn sie die gleichen Elemente haben.
M = N ⇔ Für alle x gilt: (x ∈ M ⇔ x ∈ N)
Der Doppelpfeil besagt, dass die vor und nach ihm angegeben Aussagen äquivalent sind, d. h. sich gegenseitig implizieren ( A⇒B und B⇒A wird durch A ⇔ B dargestellt)

[Bearbeiten] Teilmengen

Definition: A ist Teilmenge (Untermenge) der Menge B ⇔ Für alle x gilt: (x ∈ A ⇒ x ∈ B).
Man nennt B dann eine Obermenge von A.

Symbolisch wird dies durch A ⊂ B bzw. B ⊃ A ausgedrückt.

Rechenregeln

Seien M, N und O Mengen. Dann gilt:

M ⊂ M
M ⊂ N und N ⊂ M ⇒ M=N
M ⊂ N und N ⊂ O ⇒ M ⊂ O

Beispiel - Beweis zu 2:
Es gilt also M ⊂ N und N ⊂ M. Aus der obigen Definition von Teilmengen folgt sofort:
Falls x ∈ M gilt wegen M ⊂ N auch x ∈ N und
falls x ∈ N gilt wegen N ⊂ M auch x ∈ M, also zusammenfassend:
Wenn "x ∈ M so ist auch x ∈ N" und "wenn x ∈ N so ist auch x ∈ M". Damit ist gezeigt:
"x ∈ M genau dann wenn x ∈ N". Somit ist die Definition der Gleichheit von Mengen erfüllt.

[Bearbeiten] Vereinigung und Durchschnitt von Mengen

Definitionen: A ∩ B := { x | x ∈ A und x ∈ B } heißt Durchschnitt der Mengen A und B.
A ∪ B := { x | x ∈ A oder x ∈ B } heißt Vereinigung der Mengen A und B.

Das "Oder" wird bei der Vereinigung im Sinne eines nicht ausschließenden Oder gebraucht, d. h. es muss mindestens eine der beiden Aussagen zutreffen, evtl. können auch beide zutreffen. Beispiel: { A, B, C, D } ∪ { B, D, F, G } = { A, B, C, D, F, G }. Vielleicht ist dir das ":=" Zeichen aufgefallen. Es bedeutet, dass hier die Gleicheit per Definition gilt und nicht etwa errechnet oder bewiesen wurde.

[Bearbeiten] Leere Mengen, disjunkte Mengen

Definition: Die Menge, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge. Symbol: $\emptyset$

Zu beachten ist, dass es sich bei der leeren Menge um eine Menge handelt, eben um die leere Menge! Beispielsweise gilt: ( $\emptyset$ ⊂ M für alle Mengen M ).

Definition: Zwei Mengen A und B, für die gilt A ∩ B = $\emptyset$ , heißen disjunkt (punktfremd)

[Bearbeiten] Verallgemeinerte Definition von Vereinigung und Durchschnitt

Um Durchschnitte und Vereinigung einer größeren Anzahl (und auch unendlich vieler) Mengen darstellen zu können lässt man in den folgenden Definitionen beliebige Mengen als Indexmengen zu:

Definitionen: I sei eine nicht-leere Menge und für jedes i ∈ I sei eine Menge $M i$ gegeben. Dann ist; a) der (verallgemeinerte) Durchschnitt der Mengen $M i$ über alle i ∈ I definiert als

$\bigcap_{i\in I} M_i := \lbrace x \mid \forall i \in I: x \in {M_i} \, \rbrace.$

b) die (verallgemeinerte) Vereinigung der Mengen

M i

über alle i ∈ I definiert als

$\bigcup_{i\in I} M_i := \lbrace x \mid \,\exists i \in I: x \in {M_i} \rbrace.$

Mit diesen verallgemeinerten Definitionen lassen sich beispielsweise folgende Sachverhalte prägnant darstellen:

Für alle $n\in\N$ sei $\N_n := \lbrace 1, 2, 3, .... ,n \rbrace$ . Dann gilt: $\bigcup_{n\in \N} \N_n = \N$ und $\bigcap_{n\in \N} \N_n = \lbrace 1 \rbrace$ .

An dieser Stelle wird erstmals in diesem Buch das Symbol $\N$ für die Menge der natürlichen Zahlen verwendet. Diese werden später im Kapitel Natürliche Zahlen ausführlich besprochen.

[Bearbeiten] Differenz von Mengen, Komplement

Eine andere Möglichkeit neue Mengen zu erzeugen ist, Elemente aus Mengen wegzunehmen:

Definition: A\B := { x | x ∈ A und x ∉ B }
heißt die Differenz der Mengen A und B.

Falls B ⊂ A spricht man auch vom Komplement:

Definition: Ist B ⊂ A so heißt A\B das Komplement von B bezüglich A.

[Bearbeiten] Potenzmenge

Die Potenzmenge ist eine Menge, deren Elemente selbst wieder Mengen sind.

Definition: Es sei R eine Menge. Dann nennt man

$\mathfrak{P}(R) := \lbrace S \mid S \subset R \rbrace$

Zwei Beispiele sollen die Definition verdeutlichen:

$\mathfrak{P}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace \not=\emptyset$ und

$\mathfrak P(\lbrace 1, 2, 3 \rbrace) = \lbrace \emptyset, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 2 \rbrace, \lbrace 3 \rbrace, \lbrace 1, 2 \rbrace, \lbrace 1, 3 \rbrace, \lbrace 2, 3 \rbrace, \lbrace 1,2, 3 \rbrace \rbrace$