Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen
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Einleitung
| A: Grundlagen | B: Reelle Zahlen | C: Folgen und Reihen | D: Stetigkeit | E: Differentialrechnung | F: Integralrechnung | G: Differentialgleichungen |
| Analysis | Reelle Zahlen | Eigenschaften reeller Zahlen – Ungleichungen (Eigenschaften) – Wichtige Ungleichungen – Metrik – Topologie – Sätze v. Bolzano-Weierstraß u. Heine-Borel |
Folgen und Reihen |
[Bearbeiten] Reelle Zahlen
[Bearbeiten] Einleitung
Im letzten Kapitel wurden die rationalen Zahlen definiert. Auf diese lassen sich bereits die vier Grundrechenarten anwenden.
Leider bleiben viele mathematische Wünsche offen. So lässt sich beispielsweise das sehr einfache Gleichungssystem
- x2 = 2
in 
nicht lösen.
Dies kann man durch einen Gegenbeweis leicht zeigen:
- Beweis
- Annahme: Sei
eine Lösung dieser Gleichung mit p,q ∈ 
(Falls diese Lösung negativ sein sollte, können wir diese Lösung mit (-1) multiplizieren und erhalten so eine weitere Lösung, mit der wir dann den Beweis weiterführen). Weiter sind p und q nicht beide gerade Zahlen (Andernfalls kürzt man die gemeinsamen Faktoren "2" heraus).
- Wegen x2 = 2 folgt: p2 = 2 q2
- Also ist p2 eine gerade Zahl. Dann ist aber auch p eine gerade Zahl (Die Behauptung: p2 ist gerade Zahl → p ist gerade Zahl lässt sich durch vollständige Induktion leicht beweisen). Es gibt also ein p1 ∈ mit p = 2 p1. Weiter folgt:
- (2 p1)2 = 2 q2
- 2(p1)2= q2.
- Dies bedeutet aber gerade, dass auch q eine gerade Zahl ist und widerspricht der obigen gezeigten Annahme, dass p und q nicht beide gerade Zahlen sind. Also muss die Annahme, dass es eine Lösung für x2 = 2 gibt, falsch sein.
Der obige Beweis zeigt, dass x2 = 2 keine Lösung in hat und damit die Zahl 
irrational (nicht-rational) ist.
Ein weiteres, in nicht lösbares Problem, sind Berechnung von Umfang und Flächeninhalt eines Kreises. Hierzu ist die irrationale Zahl π (Pi) erforderlich. Es wird sich bei der Untersuchung der reellen Zahlen zeigen, dass diese Zahl π von ganz anderer "Qualität" als 
ist. Dabei stellt sich heraus, dass die Menge der reellen Zahlen "fast nur" aus Elementen dieser Qualität besteht und durch diese Elemente überabzählbar wird.
Formal lassen sich die reellen Zahlen beispielsweise über Cauchy Folgen oder dedekindsche Schnitte definieren. Die Definition über Cauchy Folgen soll später in diesem Buch gezeigt werden. Sie gehört eigentlich in dieses Kapitel über reelle Zahlen, wird aber auf später verschoben, da die notwendigen "Werkzeuge" über Folgen noch fehlen. Dabei ist aufzupassen, dass keine "Zirkelschlüsse" entstehen. An kritischen Stellen wird darauf hingewiesen.
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