Beweisarchiv: Zahlentheorie
- Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung
- Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz
- Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von
· Primzahlsatz
Im Folgenden wird (mit Hilfe des Primzahlsatzes) gezeigt, dass der Wert
![{\displaystyle \zeta (3):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56079a3b499791abc32d04fa724b23294afb3252)
der Riemann'schen Zeta-Funktion eine irrationale Zahl ist. Dieses wurde 1979 durch Roger Apéry bewiesen, weswegen man diese Zahl gelegentlich auch als Apéry-Konstante bezeichnet.
Das Polynom
![{\displaystyle P_{n}(x):={\frac {1}{n!}}\cdot {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}[x^{n}(1-x)^{n}]=:\sum _{\nu =0}^{n}a_{\nu }x^{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c6c70c67aeee767cbe6d0f81df38709fc1fb5b)
hat ausschließlich ganzzahlige Koeffizienten
.
Nach der Leibniz'schen Formel gilt
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}P_{n}(x)&=&{\frac {1}{n!}}\sum \limits _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }n(n-1)\cdots (n-\nu +1)x^{n-\nu }n\cdots (n-(n-\nu )+1)(1-x)^{n-(n-\nu )}(-1)^{n-\nu }\\&=&{\frac {1}{n!}}\sum \limits _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }{\frac {n!}{(n-\nu )!}}x^{n-\nu }{\frac {n!}{\nu !}}(1-x)^{\nu }(-1)^{n-\nu }=\sum \limits _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }^{2}(-1)^{n-\nu }x^{n-\nu }(1-x)^{\nu }\ ,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d6a8661704a6ebff21b65fe89e682635d78c97)
d.h.,
hat nur ganzzahlige Koeffizienten.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Ist
stetig, so existiert das Integral
.
Da
auf dem Kompaktum
stetig, also beschränkt ist, muss
gezeigt werden. Dies ist offenbar äquivalent zu
mit
,
. Weil der Integrand nur in
singulär wird, brauchen wir die Endlichkeit nur auf dem Viertelkreis
zu zeigen. Hier können wir Polarkoordinaten einführen und erhalten
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\int _{V}{\frac {1}{1-(1-u)(1-v)}}{\rm {d}}u{\rm {d}}v&=&\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{1}{\frac {r}{1-(1-r\cos \varphi )(1-r\sin \varphi )}}{\rm {d}}r{\rm {d}}\varphi =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sin \varphi +\cos \varphi -r\sin \varphi \cos \varphi }}{\rm {d}}r{\rm {d}}\varphi \\&=&\int _{0}^{\pi /4}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sin \varphi (1-r\cos \varphi )+\cos \varphi }}{\rm {d}}r{\rm {d}}\varphi +\int _{\pi /4}^{\pi /2}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\cos \varphi (1-r\sin \varphi )+\sin \varphi }}{\rm {d}}r{\rm {d}}\varphi \\&\leq &\int _{0}^{\pi /4}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\cos \varphi }}{\rm {d}}r{\rm {d}}\varphi +\int _{\pi /4}^{\pi /2}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sin \varphi }}{\rm {d}}r{\rm {d}}\varphi \leq {\sqrt {2}}{\frac {\pi }{4}}+{\sqrt {2}}{\frac {\pi }{4}}<\infty \ ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189886e0d6185401306cc60370f4ee875f383596)
was zu zeigen war.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Wir untersuchen im Folgenden das Integral
![{\displaystyle I_{n}:=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-\ln xy}{1-xy}}P_{n}(x)P_{n}(y){\rm {d}}x{\rm {d}}y=\sum _{r,s=0}^{n}a_{r}a_{s}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{r}y^{s}}{1-xy}}(-\ln xy){\rm {d}}x{\rm {d}}y\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75aae0249b692de9b8ea0e4b1b6587a23123acc)
Die Wohldefiniertheit wird im folgenden Lemma formuliert:
Für alle
gilt
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{r}y^{s}}{1-xy}}(-\ln xy){\rm {d}}x{\rm {d}}y=\left\{{\begin{array}{lll}{\frac {1}{r-s}}\sum _{\nu =s+1}^{r}{\frac {1}{\nu ^{2}}}\ ,&{\text{falls}}&r>s\ ,\\2[\zeta (3)-\sum _{\nu =1}^{r}{\frac {1}{\nu ^{3}}}]\ ,&{\text{falls}}&r=s\ ,\\{\frac {1}{s-r}}\sum _{\nu =r+1}^{s}{\frac {1}{\nu ^{2}}}\ ,&{\text{falls}}&r<s\ .\\\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb3d932007485c1173a6f1cd15f081b8716e440)
Insbesondere ist
wohldefiniert.
Die Wohldefiniertheit ist lediglich für
zu zeigen. Sei
und
. Wegen
für
ist
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\int _{V}|\ln xy|^{m}{\rm {d}}x{\rm {d}}y&\leq &c\int _{V}{\frac {1}{\sqrt {xy}}}{\rm {d}}x{\rm {d}}y=c\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\sqrt {2}}{\frac {R}{{\sqrt {R\cos \varphi }}{\sqrt {R\sin \varphi }}}}{\rm {d}}R{\rm {d}}\varphi ={\sqrt {2}}c\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {\cos \varphi \sin \varphi }}}{\rm {d}}\varphi \\&=&{\sqrt {2}}c\int _{0}^{\pi /4}{\sqrt {\frac {\varphi }{\sin \varphi }}}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {\varphi }}{\sqrt {\cos \varphi }}}}{\rm {d}}\varphi +{\sqrt {2}}c\int _{\pi /4}^{\pi /2}{\sqrt {\frac {{\frac {\pi }{2}}-\varphi }{\cos \varphi }}}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {{\frac {\pi }{2}}-\varphi }}{\sqrt {\sin \varphi }}}}{\rm {d}}\varphi \\&\leq &C[\int _{0}^{\pi /4}{\frac {1}{\sqrt {\varphi }}}{\rm {d}}\varphi +\int _{\pi /4}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {{\frac {\pi }{2}}-\varphi }}}{\rm {d}}\varphi ]<\infty \ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e992f0b999b708c7eded77265a8d22c523fcfde)
Nach Lemma Nummer 2 ist jedes Integral
und somit
wohldefiniert. Um den Wert dieses Integrals auszurechnen, müssen wir die Funktion
![{\displaystyle I(t):=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{r+t}y^{s+t}}{1-xy}}{\rm {d}}x{\rm {d}}y\ ,\ t\geq 0\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4441cf6158c307e6b209f06688bc228ed3ecc6bf)
welche nach Lemma Nummer 2 wohldefiniert ist, genauer untersuchen. Und zwar ist
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}I(t)&=&\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\sum _{k=0}^{\infty }x^{r+t+k}y^{s+t+k}{\rm {d}}x{\rm {d}}y{\text{ nach geometrischer Reihe}}\\&=&\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}x^{r+t+k}y^{s+t+k}{\rm {d}}x{\rm {d}}y{\text{ nach Satz von Beppo Levi}}\\&=&\sum _{k=0}^{\infty }(\int _{0}^{1}x^{r+t+k}{\rm {d}}x)(\int _{0}^{1}y^{s+t+k}{\rm {d}}y)\\&=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{r+t+k+1}}\cdot {\frac {1}{s+t+k+1}}\ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c4af457840c85b2656927703a1acca72c3a009)
Der Trick besteht nun darin, dass man
im Nullpunkt (rechtsseitig) differenzieren darf und daraus die entsprechenden Formeln erhält. Es ist nämlich für
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\left|{\frac {I(h)-I(0)}{h}}-\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{r}y^{s}\ln xy}{1-xy}}{\rm {d}}x{\rm {d}}y\right|&\leq &\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{r+h}y^{s+h}-x^{r}y^{s}}{(1-xy)h}}-{\frac {x^{r}y^{s}\ln xy}{1-xy}}\right|{\rm {d}}x{\rm {d}}y\\&=&\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{r}y^{s}}{1-xy}}\left|{\frac {(xy)^{h}-1}{h}}-\ln xy\right|{\rm {d}}x{\rm {d}}y\\&=&\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{r}y^{s}}{1-xy}}\left|{\frac {h(\ln xy)^{2}}{2}}(xy)^{\xi }\right|{\rm {d}}x{\rm {d}}y\ {\text{mit}}\ \xi =\xi (h,x,y)\in (0,h)\\&\leq &{\frac {h}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {(\ln xy)^{2}}{1-xy}}x^{r}y^{s}{\rm {d}}x{\rm {d}}y\rightarrow 0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ h\searrow 0\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adedb087eae5ad8cd3a3830520239aa268cde036)
wegen
, wie wir oben gesehen haben.
Insgesamt haben wir somit
. Im Falle
gilt
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}I'(0)&=&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(r+t+k+1)^{2}}}\right]_{t=0}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {1}{(r+t+k+1)^{2}}}\right]_{t=0}\\&=&-2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(r+k+1)^{3}}}=-2[\zeta (3)-\sum _{\nu =1}^{r}{\frac {1}{\nu ^{3}}}]\ ,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d75134fca180d71e59ef861184b3c4591118c4)
weil wir wegen der normalen Konvergenz der Zeta-Funktion auf
gliedweise differenzieren dürfen. Im Falle
(und analog
) ist
und somit
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}I'(0)&=&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left[{\frac {1}{r-s}}\sum _{\nu =s+1}^{r}{\frac {1}{\nu +t}}\right]_{t=0}=-{\frac {1}{r-s}}\sum _{\nu =s+1}^{r}{\frac {1}{\nu ^{2}}}\ ,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ddc80340df1861647320d570e5d63867a891bfc)
wie behauptet wurde.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Es gilt
.
Jedes
hat nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik eine Primfaktorzerlegung
mit
. Dann muss
, also
und somit wegen der Ganzzahligkeit
gelten.
Daraus folgt
. Die umgekehrte Ungleichung folgt, weil
gilt. Also ist
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Es sind
und
für
jeweils ganze Zahlen.
Ist
, so ist
mit
. Dann ist
![{\displaystyle \nu ^{3}=\prod _{p\leq r}p^{3\alpha (p,\nu )}\ \left|\ \prod _{p\leq r}\right.p^{3\lfloor {\frac {\ln r}{\ln p}}\rfloor }=\left(\prod _{p\leq r}p^{\lfloor {\frac {\ln r}{\ln p}}\rfloor }\right)^{3}=(d_{r})^{3}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8d571dec07b2725095a68412e9b6655ede6913)
also
. Sei nun
. Dann ist
mit
. Dann folgt
![{\displaystyle (r-s)\nu ^{2}=\prod _{p\leq r}p^{2\alpha (p,\nu )+\alpha (p,r-s)}\ \left|\ \prod _{p\leq r}\right.p^{3\lfloor {\frac {\ln r}{\ln p}}\rfloor }=\left(\prod _{p\leq r}p^{\lfloor {\frac {\ln r}{\ln p}}\rfloor }\right)^{3}=(d_{r})^{3}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a83e9d9b9d6f4768e8b4cc369960168b12b3e2d)
also
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Es gibt
mit
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Unser Ziel ist es, den Ausdruck
in beide Richtungen
abzuschätzen:
Es gilt
![{\displaystyle 0<I_{n}\leq 2\zeta (3)({\sqrt {2}}-1)^{4n}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7375728e51c4e37afd300f37ae75802a6b8982f)
Es ist
. Mit der Transformation
folgt
, also
. Es folgt
![{\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{1}P_{n}(y)\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {1}{n!}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}[x^{n}(1-x)^{n}]{\frac {1}{1-(1-xy)v}}{\rm {d}}x\right){\rm {d}}v{\rm {d}}y\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559e03005051b0057ce725c009891fa3cf3ee335)
Im inneren Integral wende man partielle Integration an. Da alle Ableitungen
für
in
und
verschwinden, treten bei
-maliger partieller Integration keine Randterme auf. Wir bekommen somit
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\int _{0}^{1}{\frac {1}{n!}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}[x^{n}(1-x)^{n}]{\frac {1}{1-v+xyv}}{\rm {d}}x&=&(-1)^{n}\int _{0}^{1}{\frac {1}{n!}}x^{n}(1-x)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}[{\frac {1}{1-v+xyv}}]{\rm {d}}x\\&=&\int _{0}^{1}x^{n}(1-x)^{n}{\frac {1}{(1-v+xyv)^{n+1}}}(yv)^{n}{\rm {d}}x\ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c4509b06cbe66135c8172f13f0609462a0b3a0)
Daraus folgt
![{\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{1}P_{n}(y)y^{n}\int _{0}^{1}x^{n}(1-x)^{n}\int _{0}^{1}{\frac {v^{n}}{(1-(1-xy)v)^{n+1}}}{\rm {d}}v{\rm {d}}x{\rm {d}}y\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b7c5da2b991a0eca935a246c3c5d61e89543c9)
Nun substituieren wir
. Dann ist
, also haben wir eine gültige Variablentransformation. Wegen
ist
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}I_{n}&=&\int _{0}^{1}P_{n}(y)y^{n}\int _{0}^{1}x^{n}(1-x)^{n}\int _{0}^{1}{\frac {(1-z)^{n}}{(1-z(1-xy))^{n}}}{\frac {(1-z(1-xy))^{n+1}}{(xy)^{n+1}}}{\frac {xy}{(1-z(1-xy))^{2}}}{\rm {d}}z{\rm {d}}x{\rm {d}}y\\&=&\int _{0}^{1}P_{n}(y)\int _{0}^{1}(1-x)^{n}\int _{0}^{1}(1-z)^{n}{\frac {1}{1-z(1-xy)}}{\rm {d}}z{\rm {d}}x{\rm {d}}y\\&=&\int _{0}^{1}(1-z)^{n}\int _{0}^{1}(1-x)^{n}\int _{0}^{1}{\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dy^{n}}}[y^{n}(1-y)^{n}]{\frac {1}{1-z+xyz}}{\rm {d}}y{\rm {d}}x{\rm {d}}z\ .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018dba5e371dbf261c9e119b8f2f9b1cdccdf448)
Wir führen wiederum
-malige partielle Integration (ebenfalls ohne Randterme) durch und erhalten
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}I_{n}&=&\int _{0}^{1}(1-z)^{n}\int _{0}^{1}(1-x)^{n}(-1)^{n}\int _{0}^{1}{\frac {1}{n!}}y^{n}(1-y)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial y^{n}}}[{\frac {1}{1-z+xyz}}]{\rm {d}}y{\rm {d}}x{\rm {d}}z\\&=&\int _{0}^{1}(1-z)^{n}\int _{0}^{1}(1-x)^{n}\int _{0}^{1}y^{n}(1-y)^{n}(xz)^{n}{\frac {1}{(1-z+xyz)^{n+1}}}{\rm {d}}y{\rm {d}}x{\rm {d}}z\\&=&\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {[F(x,y,z)^{n}]}{1-(1-xy)z}}{\rm {d}}x{\rm {d}}y{\rm {d}}z\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68bfe581f327f25d0827846ebb53936129f8c052)
mit
. Es ist
, da der Integrand echt positiv auf
ist. Das folgende Lemma Nummer 8 besagt
auf
. Nutzen wir diese Abschätzung vorab aus, so folgt
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}0<I_{n}&\leq &({\sqrt {2}}-1)^{4n}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-(1-xy)z}}{\rm {d}}z{\rm {d}}x{\rm {d}}y\\&=&({\sqrt {2}}-1)^{4n}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}-{\frac {\ln xy}{1-xy}}{\rm {d}}x{\rm {d}}y{\text{ nach Rechnung zu Beginn des Beweises}}\\&=&2({\sqrt {2}}-1)^{4n}\zeta (3){\text{ nach Lemma Nummer 3 mit }}r=s=0\ ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c979065770b8f34a3f9db2f2d1e79624b926016)
was zu beweisen war.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Es gilt
für alle
.
Zunächst zeigen wir, dass
auf den Rand von
durch null stetig fortgesetzt werden kann. Offenbar müssen wir nur den Bereich mit
untersuchen. Ist nun
, so folgt
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}|F(x_{n},y_{n},z_{n})|&=&|1-x_{n}||1-y_{n}||z_{n}|\left|{\frac {x_{n}y_{n}(1-z_{n})}{1-(1-x_{n}y_{n})z_{n}}}\right|\leq \left|{\frac {x_{n}y_{n}(1-z_{n})}{x_{n}y_{n}+(1-z_{n})-x_{n}y_{n}(1-z_{n})}}\right|\\&=&{\frac {1}{\left|{\frac {1}{1-z_{n}}}+{\frac {1}{x_{n}y_{n}}}-1\right|}}\leq {\frac {1}{\left|{\frac {1}{1-z_{n}}}-1\right|}}={\frac {1-z_{n}}{1-(1-z_{n})}}\rightarrow 0\ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5b04703fa61dea46a9a07fb0d5c84547bc84d5)
Also besitzt
ein globales Maximum
auf
, welches im Inneren liegt und somit ein kritischer Punkt von
ist.
Wir haben
, also
![{\displaystyle 0=[1-(1-x_{0}y_{0})z_{0}](1-2x_{0})-y_{0}z_{0}(x_{0}-x_{0}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6cfa1ce1e88778b20ee0acb91b5be2664aa5768)
und analog mit
![{\displaystyle 0=[1-(1-x_{0}y_{0})z_{0}](1-2y_{0})-x_{0}z_{0}(y_{0}-y_{0}^{2})\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fe545af4861ab0c73303e1cd012777f3f828e9)
Subtrahieren der Gleichungen impliziert
, also
, weil der zweite
Faktor echt positiv ist. Weiter ist
, und man erhält
![{\displaystyle 0=1-2z_{0}+z_{0}^{2}-x_{0}^{2}z_{0}^{2}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140fda4e369fe7375e55d7931b6f2e626844ffd4)
Zieht man das
-fache der ersten Gleichung vom
-fachen der dritten Gleichung ab, liefert dies
, also
. Einsetzen in das
-fache der dritten Gleichung impliziert
, also
und
. Aus
folgt die Behauptung.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
ist irrational.
Angenommen, es wäre
mit
und
. Nach dem Euklidischen Algorithmus gibt es wegen
Zahlen
mit
. Dann ist
, also
![{\displaystyle \inf\{|m-n\zeta (3)|\ |\ m,n\in \mathbb {Z} ,\ m-n\zeta (3)\neq 0\}={\frac {1}{q}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9371442d7d6de9f5c7b8940a0a3810fc1ac5d524)
Nach Lemma Nummer 4, Korollar Nummer 6 und Lemma Nummer 7 ist somit
![{\displaystyle {\frac {1}{q}}\leq 2\zeta (3)({\sqrt {2}}-1)^{4n}(d_{n})^{3}\leq 2\zeta (3)({\sqrt {2}}-1)^{4n}n^{3\pi (n)}=2\zeta (3)e^{4n\ln({\sqrt {2}}-1)+3\pi (n)\ln n}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b19c4f9b908f680f882ec058b361664f71e909)
Dies ist äquivalent zu
. Übergang zum Grenzwert impliziert gemäß dem Primzahlsatz
, aber es ist
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
- Roger Apéry: Irrationalité de
et
. Astérisque, 61, 11-13, 1979.
- Frits Beukers: A note on the irrationality of
and
. Bulletin of the London Mathematical Society, 11, 268-272, 1979.