Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie

Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung

Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz

Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von $\zeta (3)$ · Primzahlsatz

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Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie

Satz: Sei $D\equiv 0,1\,(\mathrm {mod} \,4),$ ( $D$ kein Quadrat ) eine Fundamentaldiskriminante. Dann gibt es eine bijektive Korrespondenz zwischen den echten Äquivalenzklassen bijektiv quadratischer Formen mit Diskriminante $D$ und den Äquivalenzklassen im engeren Sinne von Idealen von ${\rm {\mathcal {O}}}_{{\mathbb {Q} }({\sqrt {d}})}$. Insbesondere ist die Anzahl $h_{{\mathbb {Q} }({\sqrt {d}})}^{+}$ der Äquivalenzklassen von Idealen im engeren Sinne gleich der Klassenzahl $h(D)$.

Beweis: Sei ${\rm {\mathfrak {a}}}$ ein von $(0)$ verschiedenes Ideal von ${\rm {\mathcal {O}}}_{{\mathbb {Q} }({\sqrt {d}})}^{}$, so ist $\lambda \in {\rm {\mathfrak {a}}}$ und wegen $(\lambda )\subseteq {\rm {\mathfrak {a}}}$ folgt, dass ${\rm {\mathfrak {a}}}|(\lambda )$, also auch $N({\rm {\mathfrak {a}}})|N(\lambda )$. Damit nimmt die Abbildung

${\phi :{\rm {\mathfrak {a}}}\to {\mathbb {Q} }{\rm {\;}},{\rm {\;\;\;\;\;\;\;}}\phi ({\rm {\mathfrak {a}}})={\frac {N(\lambda )}{N({\rm {\mathfrak {a}}})}}}$

Werte in ${\mathbb {Z} }$ an. ${\rm {\mathfrak {a}}}$ besitzt eine Basis $\left\{\alpha ,\beta \right\}$. Damit ist ${\rm {\mathfrak {a}}}={\mathbb {Z} }\alpha \oplus {\mathbb {Z} }\beta \simeq {\mathbb {Z} }^{2}$ und es lässt sich $\phi$ als Funktion $f$ auf ${\mathbb {Z} }^{2}$ auffassen:

$f(x,y)=\phi (x\alpha +y\beta )={\frac {(x\alpha +y\beta )(x\alpha '+y\beta ')}{N({\rm {\mathfrak {a}}})}}={\frac {N(\alpha )}{N({\rm {\mathfrak {a}}})}}x^{2}+{\frac {\alpha \beta '+\alpha '\beta }{N({\rm {\mathfrak {a}}})}}xy+{\frac {N(\beta )}{N({\rm {\mathfrak {a}}})}}y^{2}$

Wir erhalten also eine binäre quadratische Form:

$f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}{\rm {\;\;wobei\;\;}}a:={\frac {N(\alpha )}{N({\rm {\mathfrak {a}}})}},{\rm {\;}}b:={\frac {\alpha \beta '+\alpha '\beta }{N({\rm {\mathfrak {a}}})}},{\rm {\;}}c:={\frac {N(\beta )}{N({\rm {\mathfrak {a}}})}}\qquad \qquad (2)$

Für die Diskriminante findet man leicht

$b^{2}-4ac={\frac {(\alpha \beta '+\alpha '\beta )^{2}-4N(\alpha )N(\beta )}{N({\rm {\mathfrak {a}}})^{2}}}={\frac {(\alpha \beta '-\alpha '\beta )^{2}}{N({\rm {\mathfrak {a}}})^{2}}}={\frac {D({\rm {\mathfrak {a}}})}{N({\rm {\mathfrak {a}}})^{2}}}=D,\qquad \qquad \quad (3)$

wobei die Diskriminante $D({\rm {\mathfrak {a}}})$ definiert ist als das Quadrat der Determinante von $\left({\begin{array}{cc}{\alpha }&{\beta }\\{\alpha '}&{\beta '}\end{array}}\right)$. Nun sind sowohl $a={\frac {N(\alpha )}{N({\rm {\mathfrak {a}}})}},$$c={\frac {N(\beta )}{N({\rm {\mathfrak {a}}})}}\in {\mathbb {Z} }$, also auch $D=b^{2}-4ac\in {\mathbb {Z} }$ und damit auch $b\in {\mathbb {Z} }$. Somit besitzt die Form $f$ ganzzahlige Koeffizienten und Diskriminante $D$. Ist nun $\left\{\alpha _{1},\beta _{1}\right\}$ eine weitere Basis von ${\rm {\mathfrak {a}}}$, dann hängen $\left\{\alpha ,\beta \right\}$ und $\left\{\alpha _{1},\beta _{1}\right\}$ durch die Matrix $T=\left({\begin{array}{cc}{p}&{q}\\{r}&{s}\end{array}}\right)\in {\mathbb {Z} }^{2\times 2}$ mit Determinante $ps-qr=\pm 1$ zusammen. Aus der obigen Abbildung $\phi$ erhalten wir die zur Basis $\left\{\alpha _{1},\beta _{1}\right\}$ gehörende Form $f_{1}$, indem wir $(x,y)$ durch $(px+qy,rx+sy)$ transformieren. Eine Basis $\left\{\alpha ,\beta \right\}$ von ${\rm {\mathfrak {a}}}$ heißt positiv orientiert, wenn für die rationale Zahl ${\frac {\alpha '\beta -\alpha \beta '}{\sqrt {D}}}>0$ gilt. Diese Betrachtung ist zweckmäßig, da $\left({\frac {\alpha '\beta -\alpha \beta '}{\sqrt {D}}}\right)^{2}={\frac {D({\rm {\mathfrak {a}}})}{D}}=N({\rm {\mathfrak {a}}})^{2}$ sowohl positiv als auch reell ist. Damit hat die Matrix eines Basiswechsels zwischen positiv orientierten Basen immer die Determinante $+1$. Lässt man also nur positiv orientierte Basen zu, dann hängt die von oben definierte Form $f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ bis auf echter Äquivalenz nur vom Ideal ${\rm {\mathfrak {a}}}$ und nicht von der Basiswahl ab. Ersetzen wir nun das Ideal ${\rm {\mathfrak {a}}}$ durch $(\tau ){\rm {\mathfrak {a}}}$ mit $\tau \in {\mathbb {Q} }({\sqrt {d}})$ und $N(\tau )>0$, dann ist $(\tau \alpha ,\tau \beta )$ eine positiv orientierte Basis für $(\tau ){\rm {\mathfrak {a}}}$ und $N\left((\tau ){\rm {\mathfrak {a}}}\right)=\left|N(\tau )\right|N({\rm {\mathfrak {a}}})=N(\tau )N({\rm {\mathfrak {a}}})$. Damit stimmt die zum Ideal $(\tau ){\rm {\mathfrak {a}}}$ gehörende Form

$(x,y)\mapsto {\frac {N(x\tau \alpha +y\tau \beta )}{N\left((\tau ){\rm {\mathfrak {a}}}\right)}}={\frac {N(\tau )N(x\alpha +y\beta )}{N(\tau )N({\rm {\mathfrak {a}}})}}={\frac {N(x\alpha +y\beta )}{N({\rm {\mathfrak {a}}})}}$

mit der Form $f$ überein. Es kann also in eindeutiger Weise jeder Idealklasse im engeren Sinne eine echte Äquivalenzklasse von binär quadratischen Formen mit Diskriminante $D$ zugeordnet werden. Können wir zeigen, dass die Zuordnung bijektiv ist, dann sind wir fertig. Sei also

$f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},{\rm {\;\;\;}}a,b,c,\in {\mathbb {Z} }{\rm {\;}},{\rm {\;\;}}b^{2}-4ac=D$

eine quadratische Form mit Diskriminante $D$. Nun ist $D$ eine Fundamentaldiskriminante, also ist ggT$(a,b,c)=1$ und damit $f$ eine primitive Form. Sei zunächst $a>0$. Dann erhalten wir als Lösung der quadratischen Gleichung $az^{2}-bz+c=0$ die Nullstellen $z_{1}={\frac {b+{\sqrt {D}}}{2a}},{\rm {\;}}z_{2}={\frac {b-{\sqrt {D}}}{2a}}$.

Nun ist ${\rm {\mathfrak {a}}}={\mathbb {Z} }\oplus {\mathbb {Z} }z_{1}$. Wir zeigen, dass ${\rm {\mathfrak {a}}}$ ein ganzes Ideal ist. Ist nun $\tau ={\frac {u+v{\sqrt {d}}}{2}}\in {\rm {\mathcal {O}}}_{{\mathbb {Q} }({\sqrt {d}})}$ mit $u,v\in {\mathbb {Z} },{\rm {\;\;}}u\equiv vD{\rm {\;}}$mod 2 und $\alpha =x+yz\in {\rm {\mathfrak {a}}}$ dann ist

${\begin{array}{l}{\tau \alpha =\left({\frac {u+v{\sqrt {d}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {yb+y{\sqrt {d}}}{2a}}\right)}\\{{\rm {\;\;\;\;}}={\frac {xu}{2}}+{\frac {ybu}{4a}}+{\frac {yvD}{4a}}+\left({\frac {xv}{2}}+{\frac {ybv}{4a}}+{\frac {uy}{4a}}\right){\sqrt {D}}}\\{{\rm {\;\;\;\;}}={\frac {xu}{2}}+{\frac {ybu}{4a}}+{\frac {yv(b^{2}-4ac)}{4a}}+\left({\frac {xv}{2}}+{\frac {ybv}{4a}}+{\frac {uy}{4a}}\right)\left(2az-b\right)}\\{{\rm {\;\;\;\;}}=\left(x{\frac {u-vb}{2}}-yvc\right)+\left(xva+y{\frac {u+vb}{2}}\right)z,}\end{array}}$

und damit ${\mathbb {Z} }\oplus {\mathbb {Z} }z_{1}$. Zudem gilt: $b^{2}\equiv D\,(\mathrm {mod} \,4a),$ $\Rightarrow$ $b\equiv D\,(\mathrm {mod} \,2),$ $\Rightarrow$ $u\equiv vD\equiv vb\,(\mathrm {mod} \,2),$. Aus ${\frac {z_{1}-z_{2}}{2a}}>0$ erhalten wir, dass die Basis $\left\{1,z_{1}\right\}$ positiv orientiert ist. Das Ideal ${\rm {\mathfrak {a}}}$ hat die Diskriminante

$D({\rm {\mathfrak {a}}})=\det \left({\begin{array}{cc}{1}&{z_{1}}\\{1}&{z_{2}}\end{array}}\right)^{2}=(z_{1}-z_{2})^{2}={\frac {D}{a^{2}}},$

und da wie in $(3)$ gesehen ${\frac {D({\rm {\mathfrak {a}}})}{N({\rm {\mathfrak {a}}})^{2}}}=D$ gilt, folgt $N({\rm {\mathfrak {a}}})={\frac {1}{a}}$. Wir erhalten also für die zum Ideal ${\rm {\mathfrak {a}}}$ zugehörige Form

$(x,y)\mapsto {\frac {N(x+yz)}{N({\rm {\mathfrak {a}}})}}={\frac {x^{2}+{\frac {b}{a}}xy+{\frac {c}{a}}y^{2}}{\frac {1}{a}}}=f(x,y).$

Ist hingegen ${\rm {\mathfrak {a}}}$ ein Ideal mit positiv orientierter Basis $\left\{\alpha ,\beta \right\}$ mit $N(\alpha )>0$, dann erhalten wir mit den Substitutionen für $a,b,c$ wie in $(2)$

${\begin{array}{l}{{\frac {b+{\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {\alpha \beta '+\alpha '\beta +N({\rm {\mathfrak {a}}}){\sqrt {D}}}{2N(\alpha )}}}\\{{\rm {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}}={\frac {\alpha \beta '+\alpha '\beta +(\alpha '\beta -\alpha \beta ')}{2N(\alpha )}}={\frac {\beta }{\alpha }}}.\end{array}}$

Damit ist also ${\mathbb {Z} }\oplus {\mathbb {Z} }{\frac {b+{\sqrt {D}}}{2a}}={\mathbb {Z} }\oplus {\mathbb {Z} }{\frac {\beta }{\alpha }}=(\alpha ^{-1}){\rm {\mathfrak {a}}}$ zum Ideal ${\rm {\mathfrak {a}}}$ Äquivalent im engeren Sinne.

Sei nun $a<0$, also $D>0$. Ist nun ${\mathbb {Z} }\tau \oplus {\mathbb {Z} }\tau z_{1}$ ein Ideal mit $\tau \in {\mathbb {Q} }({\sqrt {D}})$ und $N(\lambda )<0$. Dann ist $\left\{\lambda ,\lambda z\right\}$ eine positiv orientierte Basis. Die zum Ideal ${\rm {\mathfrak {a}}}$ gehörende Form ist also wiederum $f$. Insbesondere liefert jedes Ideal ${\rm {\mathfrak {a}}}$ mit positiv orientierter Basis $\left\{\alpha ,\beta \right\}$ und $N(\alpha )<0$ eine primitive Form $f$ mit $a<0$, für die das Ideal ${\mathbb {Z} }\tau \oplus {\mathbb {Z} }\tau z_{1}$ im engeren Sinne Äquivalent zum Ideal ${\rm {\mathfrak {a}}}$ ist. Insbesondere folgt $h_{{\mathbb {Q} }({\sqrt {d}})}^{+}=h(D)$. Also ist die Korrespondenz zwischen den echten Äquivalenzklassen von Formen und den Idealklassen im engeren Sinne bijektiv und der Satz damit bewiesen.

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Wikipedia-Verweise

• Geschlechtertheorie

Literatur

• Don B. Zagier: Zetafunktionen und Quadratische Körper:Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie , Springer, Berlin, 1981, 13: 9783540106036.
• Candy Walter: Quadratische Zahlkörper und die Geschlechtertheorie. Leibniz Universität Hannover, 2009, DOI: 10.13140/RG.2.2.24046.84800.