Beweisarchiv: Zahlentheorie: Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von Zeta(3)

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Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung
Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz
Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von · Primzahlsatz


Im Folgenden wird (mit Hilfe des Primzahlsatzes) gezeigt, dass der Wert

der Riemann'schen Zeta-Funktion eine irrationale Zahl ist. Dieses wurde 1979 durch Roger Apéry bewiesen, weswegen man diese Zahl gelegentlich auch als Apéry-Konstante bezeichnet.

Bemerkung[Bearbeiten]

Das Polynom

hat ausschließlich ganzzahlige Koeffizienten .

Beweis[Bearbeiten]

Nach der Leibniz'schen Formel gilt

d.h., hat nur ganzzahlige Koeffizienten.

Lemma[Bearbeiten]

Ist stetig, so existiert das Integral .

Beweis[Bearbeiten]

Da auf dem Kompaktum stetig, also beschränkt ist, muss gezeigt werden. Dies ist offenbar äquivalent zu mit , . Weil der Integrand nur in singulär wird, brauchen wir die Endlichkeit nur auf dem Viertelkreis zu zeigen. Hier können wir Polarkoordinaten einführen und erhalten

was zu zeigen war.

Wir untersuchen im Folgenden das Integral

Die Wohldefiniertheit wird im folgenden Lemma formuliert:

Lemma[Bearbeiten]

Für alle gilt

Insbesondere ist wohldefiniert.

Beweis[Bearbeiten]

Die Wohldefiniertheit ist lediglich für zu zeigen. Sei und . Wegen für ist

Nach Lemma Nummer 2 ist jedes Integral und somit wohldefiniert. Um den Wert dieses Integrals auszurechnen, müssen wir die Funktion

welche nach Lemma Nummer 2 wohldefiniert ist, genauer untersuchen. Und zwar ist

Der Trick besteht nun darin, dass man im Nullpunkt (rechtsseitig) differenzieren darf und daraus die entsprechenden Formeln erhält. Es ist nämlich für

wegen , wie wir oben gesehen haben.

Insgesamt haben wir somit . Im Falle gilt

weil wir wegen der normalen Konvergenz der Zeta-Funktion auf gliedweise differenzieren dürfen. Im Falle (und analog ) ist und somit

wie behauptet wurde.

Lemma[Bearbeiten]

Es gilt .

Beweis[Bearbeiten]

Jedes hat nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik eine Primfaktorzerlegung mit . Dann muss , also und somit wegen der Ganzzahligkeit gelten.

Daraus folgt . Die umgekehrte Ungleichung folgt, weil gilt. Also ist .

Korollar[Bearbeiten]

Es sind und für jeweils ganze Zahlen.

Beweis[Bearbeiten]

Ist , so ist mit . Dann ist

also . Sei nun . Dann ist mit . Dann folgt

also .

Korollar[Bearbeiten]

Es gibt mit .

Unser Ziel ist es, den Ausdruck in beide Richtungen abzuschätzen:

Lemma[Bearbeiten]

Es gilt

Beweis[Bearbeiten]

Es ist . Mit der Transformation folgt , also . Es folgt

Im inneren Integral wende man partielle Integration an. Da alle Ableitungen für in und verschwinden, treten bei -maliger partieller Integration keine Randterme auf. Wir bekommen somit

Daraus folgt

Nun substituieren wir . Dann ist , also haben wir eine gültige Variablentransformation. Wegen ist

Wir führen wiederum -malige partielle Integration (ebenfalls ohne Randterme) durch und erhalten

mit . Es ist , da der Integrand echt positiv auf ist. Das folgende Lemma Nummer 8 besagt auf . Nutzen wir diese Abschätzung vorab aus, so folgt

was zu beweisen war.

Lemma[Bearbeiten]

Es gilt für alle .

Beweis[Bearbeiten]

Zunächst zeigen wir, dass auf den Rand von durch null stetig fortgesetzt werden kann. Offenbar müssen wir nur den Bereich mit untersuchen. Ist nun , so folgt

Also besitzt ein globales Maximum auf , welches im Inneren liegt und somit ein kritischer Punkt von ist.

Wir haben , also

und analog mit

Subtrahieren der Gleichungen impliziert , also , weil der zweite Faktor echt positiv ist. Weiter ist , und man erhält

Zieht man das -fache der ersten Gleichung vom -fachen der dritten Gleichung ab, liefert dies , also . Einsetzen in das -fache der dritten Gleichung impliziert , also und . Aus folgt die Behauptung.

Satz von Apéry[Bearbeiten]

ist irrational.

Beweis[Bearbeiten]

Angenommen, es wäre mit und . Nach dem Euklid'ischen Algorithmus gibt es wegen Zahlen mit . Dann ist , also

Nach Lemma Nummer 4, Korollar Nummer 6 und Lemma Nummer 7 ist somit

Dies ist äquivalent zu . Übergang zum Grenzwert impliziert gemäß dem Primzahlsatz , aber es ist .

Literatur[Bearbeiten]

  • Roger Apéry: Irrationalité de et . Astérisque, 61, 11-13, 1979.
  • Frits Beukers: A note on the irrationality of and . Bulletin of the London Mathematical Society, 11, 268-272, 1979.

Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]