Beweisarchiv: Zahlentheorie
- Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung
- Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz
- Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von
· Primzahlsatz
Einige Beweise zum Begriff der Pythagoraszahl.
Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)
[Bearbeiten]
Sei
ein nicht-reeller Körper (d.h. -1 lässt sich in
als Summe von Quadraten darstellen). Dann lässt sich die Pythagoraszahl von
abschätzen durch die Stufe
von
:
![{\displaystyle s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0762100d3c3f18b34346dedbbd49c69850620da1)
Beweis: Falls
, (vgl. Körper- und Ringtheorie) dann ist
, denn es gilt
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3beaa2fa32d4b2710a06cacecdd5de78ae308f)
Sei also
, sei
und
für gewisse
.
Sei
eine Quadratsumme beliebiger Länge, dann gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=\left({\frac {a+1}{2}}\right)^{2}+(-1)\left({\frac {a-1}{2}}\right)^{2}\\&=\left({\frac {a+1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {e_{1}(a-1)}{2}}\right)^{2}+\ldots +\left({\frac {e_{s}(a-1)}{2}}\right)^{2}\\&\in \sum ^{s+1}F^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe2c030cb0894bb9f129e558e5c9c256969027c)
Falls
wäre, dann existierte insbesondere auch eine Darstellung der -1 als Quadratsumme der Länge
, was im Widerspruch zur Definition der Stufe von F stünde.
Demnach ist
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)
[Bearbeiten]
![{\displaystyle p(\mathbb {F} _{q})=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb65b1fe7cb1ce0e119e4e8d6a0018fcfe59ce7)
für alle
wo
prim und
ist.
Beweis: Wir zeigen, dass für
gilt:
, wobei mit
die mulitplikative Untergruppe
von
gemeint ist und
selbst kein Quadrat, sondern genau die Summe zweier Quadrate ist.
Betrachte den Gruppenhomomorphismus in
, der
auf
abbildet. Der Kern dieser Abbildung ist
. Es gilt also
und
.
Damit ist
für
und folglich
.
Betrachte nun die Mengen
und
. Beide Mengen haben Kardinalität
, also ist ihre Schnittmenge nicht leer, und folglich existieren
, so dass
. Da
beliebig war, folgt
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)