Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper

Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung

Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz

Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von $\zeta (3)$ · Primzahlsatz

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Einige Beweise zum Begriff der Pythagoraszahl.

Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)

Sei $F$ ein nicht-reeller Körper (d.h. -1 lässt sich in $F$ als Summe von Quadraten darstellen). Dann lässt sich die Pythagoraszahl von $F$ abschätzen durch die Stufe $s(F)$ von $F$:

$s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1$

Beweis: Falls ${\text{char}}(F)=2$, (vgl. Körper- und Ringtheorie) dann ist $p(F)=s(F)=1$, denn es gilt

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{2}$

Sei also ${\text{char}}(F)\neq 2$, sei $s=s(F)$ und $-1=e_{1}^{2}+\ldots +e_{s}^{2}$ für gewisse $e_{i}\in F$. Sei $a\neq 0$ eine Quadratsumme beliebiger Länge, dann gilt

${\begin{aligned}a&=\left({\frac {a+1}{2}}\right)^{2}+(-1)\left({\frac {a-1}{2}}\right)^{2}\\&=\left({\frac {a+1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {e_{1}(a-1)}{2}}\right)^{2}+\ldots +\left({\frac {e_{s}(a-1)}{2}}\right)^{2}\\&\in \sum ^{s+1}F^{2}\end{aligned}}$

Falls $p(F)<s$ wäre, dann existierte insbesondere auch eine Darstellung der -1 als Quadratsumme der Länge $p(F)$, was im Widerspruch zur Definition der Stufe von F stünde.

Demnach ist $s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1$.

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Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

$p(\mathbb {F} _{q})=2$

für alle $q=p^{n}$ wo $p>2$ prim und $n>0$ ist.

Beweis: Wir zeigen, dass für $F=\mathbb {F} _{q}$ gilt: $F^{\times }/(F^{\times })^{2}=\{(F^{\times })^{2},\varepsilon (F^{\times })^{2}\}$, wobei mit $F^{\times }$ die mulitplikative Untergruppe $F\setminus \{0\}$ von $F$ gemeint ist und $\varepsilon$ selbst kein Quadrat, sondern genau die Summe zweier Quadrate ist.

Betrachte den Gruppenhomomorphismus in $F^{\times }$, der $x$ auf $x^{2}$ abbildet. Der Kern dieser Abbildung ist $\{\pm 1\}$. Es gilt also $|(F^{\times })^{2}|={\frac {q-1}{2}}$ und $|F^{\times }\setminus (F^{\times })^{2}|={\frac {q-1}{2}}$. Damit ist $F^{\times }=(F^{\times })^{2}\cup \varepsilon (F^{\times })^{2}$ für $\varepsilon \notin (F^{\times })^{2}$ und folglich $p(F)\geq 2$.

Betrachte nun die Mengen $\{x^{2}|x\in F\}$ und $\{\varepsilon -y^{2}|y\in F\}$. Beide Mengen haben Kardinalität ${\frac {q+1}{2}}$, also ist ihre Schnittmenge nicht leer, und folglich existieren $x,y\in F$, so dass $x^{2}+y^{2}=\varepsilon$. Da $\varepsilon \in F^{\times }\setminus (F^{\times })^{2}$ beliebig war, folgt $p(F)\leq 2$.

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Wikipedia-Verweise

• Pythagoraszahl