Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper

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Wikibooks-Einzelbuch.png Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie


Einige Beweise zum Begriff der Pythagoraszahl.

Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)[Bearbeiten]

Sei ein nicht-reeller Körper (d.h. -1 lässt sich in als Summe von Quadraten darstellen). Dann lässt sich die Pythagoraszahl von abschätzen durch die Stufe von :


Beweis: Falls , (vgl. Körper- und Ringtheorie) dann ist , denn es gilt

Sei also , sei und für gewisse . Sei eine Quadratsumme beliebiger Länge, dann gilt

Falls wäre, dann existierte insbesondere auch eine Darstellung der -1 als Quadratsumme der Länge , was im Widerspruch zur Definition der Stufe von F stünde.

Demnach ist .

Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)[Bearbeiten]

für alle wo prim und ist.

Beweis: Wir zeigen, dass für gilt: , wobei mit die mulitplikative Untergruppe von gemeint ist und selbst kein Quadrat, sondern genau die Summe zweier Quadrate ist.

Betrachte den Gruppenhomomorphismus in , der auf abbildet. Der Kern dieser Abbildung ist . Es gilt also und . Damit ist für und folglich .

Betrachte nun die Mengen und . Beide Mengen haben Kardinalität , also ist ihre Schnittmenge nicht leer, und folglich existieren , so dass . Da beliebig war, folgt .