Beweisarchiv: Zahlentheorie
Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung
Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz
Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
· Primzahlsatz
Einige Beweise zum Begriff der Pythagoraszahl .
Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper) [ Bearbeiten ]
Sei
F
{\displaystyle F}
ein nicht-reeller Körper (d.h. -1 lässt sich in
F
{\displaystyle F}
als Summe von Quadraten darstellen). Dann lässt sich die Pythagoraszahl von
F
{\displaystyle F}
abschätzen durch die Stufe
s
(
F
)
{\displaystyle s(F)}
von
F
{\displaystyle F}
:
s
(
F
)
≤
p
(
F
)
≤
s
(
F
)
+
1
{\displaystyle s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1}
Beweis : Falls
char
(
F
)
=
2
{\displaystyle {\text{char}}(F)=2}
, (vgl. Körper- und Ringtheorie ) dann ist
p
(
F
)
=
s
(
F
)
=
1
{\displaystyle p(F)=s(F)=1}
, denn es gilt
∑
i
=
1
n
a
i
2
=
(
∑
i
=
1
n
a
i
)
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{2}}
Sei also
char
(
F
)
≠
2
{\displaystyle {\text{char}}(F)\neq 2}
, sei
s
=
s
(
F
)
{\displaystyle s=s(F)}
und
−
1
=
e
1
2
+
…
+
e
s
2
{\displaystyle -1=e_{1}^{2}+\ldots +e_{s}^{2}}
für gewisse
e
i
∈
F
{\displaystyle e_{i}\in F}
.
Sei
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
eine Quadratsumme beliebiger Länge, dann gilt
a
=
(
a
+
1
2
)
2
+
(
−
1
)
(
a
−
1
2
)
2
=
(
a
+
1
2
)
2
+
(
e
1
(
a
−
1
)
2
)
2
+
…
+
(
e
s
(
a
−
1
)
2
)
2
∈
∑
s
+
1
F
2
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=\left({\frac {a+1}{2}}\right)^{2}+(-1)\left({\frac {a-1}{2}}\right)^{2}\\&=\left({\frac {a+1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {e_{1}(a-1)}{2}}\right)^{2}+\ldots +\left({\frac {e_{s}(a-1)}{2}}\right)^{2}\\&\in \sum ^{s+1}F^{2}\end{aligned}}}
Falls
p
(
F
)
<
s
{\displaystyle p(F)<s}
wäre, dann existierte insbesondere auch eine Darstellung der -1 als Quadratsumme der Länge
p
(
F
)
{\displaystyle p(F)}
, was im Widerspruch zur Definition der Stufe von F stünde.
Demnach ist
s
(
F
)
≤
p
(
F
)
≤
s
(
F
)
+
1
{\displaystyle s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1}
.
◻
{\displaystyle \Box }
Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz) [ Bearbeiten ]
p
(
F
q
)
=
2
{\displaystyle p(\mathbb {F} _{q})=2}
für alle
q
=
p
n
{\displaystyle q=p^{n}}
wo
p
>
2
{\displaystyle p>2}
prim und
n
>
0
{\displaystyle n>0}
ist.
Beweis: Wir zeigen, dass für
F
=
F
q
{\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}
gilt:
F
×
/
(
F
×
)
2
=
{
(
F
×
)
2
,
ε
(
F
×
)
2
}
{\displaystyle F^{\times }/(F^{\times })^{2}=\{(F^{\times })^{2},\varepsilon (F^{\times })^{2}\}}
, wobei mit
F
×
{\displaystyle F^{\times }}
die mulitplikative Untergruppe
F
∖
{
0
}
{\displaystyle F\setminus \{0\}}
von
F
{\displaystyle F}
gemeint ist und
ε
{\displaystyle \varepsilon }
selbst kein Quadrat, sondern genau die Summe zweier Quadrate ist.
Betrachte den Gruppenhomomorphismus in
F
×
{\displaystyle F^{\times }}
, der
x
{\displaystyle x}
auf
x
2
{\displaystyle x^{2}}
abbildet. Der Kern dieser Abbildung ist
{
±
1
}
{\displaystyle \{\pm 1\}}
. Es gilt also
|
(
F
×
)
2
|
=
q
−
1
2
{\displaystyle |(F^{\times })^{2}|={\frac {q-1}{2}}}
und
|
F
×
∖
(
F
×
)
2
|
=
q
−
1
2
{\displaystyle |F^{\times }\setminus (F^{\times })^{2}|={\frac {q-1}{2}}}
.
Damit ist
F
×
=
(
F
×
)
2
∪
ε
(
F
×
)
2
{\displaystyle F^{\times }=(F^{\times })^{2}\cup \varepsilon (F^{\times })^{2}}
für
ε
∉
(
F
×
)
2
{\displaystyle \varepsilon \notin (F^{\times })^{2}}
und folglich
p
(
F
)
≥
2
{\displaystyle p(F)\geq 2}
.
Betrachte nun die Mengen
{
x
2
|
x
∈
F
}
{\displaystyle \{x^{2}|x\in F\}}
und
{
ε
−
y
2
|
y
∈
F
}
{\displaystyle \{\varepsilon -y^{2}|y\in F\}}
. Beide Mengen haben Kardinalität
q
+
1
2
{\displaystyle {\frac {q+1}{2}}}
, also ist ihre Schnittmenge nicht leer, und folglich existieren
x
,
y
∈
F
{\displaystyle x,y\in F}
, so dass
x
2
+
y
2
=
ε
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=\varepsilon }
. Da
ε
∈
F
×
∖
(
F
×
)
2
{\displaystyle \varepsilon \in F^{\times }\setminus (F^{\times })^{2}}
beliebig war, folgt
p
(
F
)
≤
2
{\displaystyle p(F)\leq 2}
.
◻
{\displaystyle \Box }