Beweisarchiv: Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie

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Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie[Bearbeiten]

Satz: Sei ( kein Quadrat ) eine Fundamentaldiskriminante. Dann gibt es eine bijektive Korrespondenz zwischen den echten Äquivalenzklassen bijektiv quadratischer Formen mit Diskriminante und den Äquivalenzklassen im engeren Sinne von Idealen von . Insbesondere ist die Anzahl der Äquivalenzklassen von Idealen im engeren Sinne gleich der Klassenzahl .

Beweis: Sei ein von verschiedenes Ideal von , so ist und wegen folgt, dass , also auch . Damit nimmt die Abbildung

                                              

Werte in an. besitzt eine Basis . Damit ist und es lässt sich als Funktion auf auffassen:

            

Wir erhalten also eine binäre quadratische Form:

                                                             

Für die Diskriminante findet man leicht

                                     

wobei die Diskriminante definiert ist als das Quadrat der Determinante von . Nun sind sowohl , also auch und damit auch . Somit besitzt die Form ganzzahlige Koeffizienten und Diskriminante . Ist nun eine weitere Basis von , dann hängen und durch die Matrix mit Determinante zusammen. Aus der obigen Abbildung erhalten wir die zur Basis gehörende Form , indem wir durch transformieren. Eine Basis von heißt positiv orientiert, wenn für die rationale Zahl gilt. Diese Betrachtung ist zweckmäßig, da sowohl positiv als auch reell ist. Damit hat die Matrix eines Basiswechsels zwischen positiv orientierten Basen immer die Determinante . Lässt man also nur positiv orientierte Basen zu, dann hängt die von oben definierte Form bis auf echter Äquivalenz nur vom Ideal und nicht von der Basiswahl ab. Ersetzen wir nun das Ideal durch mit und , dann ist eine positiv orientierte Basis für und . Damit stimmt die zum Ideal gehörende Form

                                     

mit der Form überein. Es kann also in eindeutiger Weise jeder Idealklasse im engeren Sinne eine echte Äquivalenzklasse von binär quadratischen Formen mit Diskriminante zugeordnet werden. Können wir zeigen, dass die Zuordnung bijektiv ist, dann sind wir fertig. Sei also

                                     

eine quadratische Form mit Diskriminante . Nun ist eine Fundamentaldiskriminante, also ist ggT und damit eine primitive Form. Sei zunächst . Dann erhalten wir als Lösung der quadratischen Gleichung die Nullstellen .\newline

Nun ist . Wir zeigen, dass ein ganzes Ideal ist. Ist nun mit mod 2 und dann ist

                                     

und damit . Zudem gilt: . Aus erhalten wir, dass die Basis positiv orientiert ist. Das Ideal hat die Diskriminante

                                      

und da wie in gesehen gilt, folgt . Wir erhalten also für die zum Ideal zugehörige Form

                                     

Ist hingegen ein Ideal mit positiv orientierter Basis mit , dann erhalten wir mit den Substitutionen für wie in

                                        

Damit ist also zum Ideal Äquivalent im engeren Sinne.\

Sei nun , also . Ist nun ein Ideal mit und . Dann ist eine positiv orientierte Basis. Die zum Ideal gehörende Form ist also wiederum . Insbesondere liefert jedes Ideal mit positiv orientierter Basis und eine primitive Form mit , für die das Ideal im engeren Sinne Äquivalent zum Ideal ist. Insbesondere folgt . Also ist die Korrespondenz zwischen den echten Äquivalenzklassen von Formen und den Idealklassen im engeren Sinne bijektiv und der Satz damit bewiesen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Don B. Zagier: Zetafunktionen und Quadratische Körper:Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie , Springer, Berlin, 1981, 13: 9783540106036.

--77.7.131.151 18:10, 19. Mär. 2010 (CET)Candyman