Beweisarchiv: Stochastik: Statistik: Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate

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Beweisarchiv: Stochastik

Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen · Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung · Satz von Moivre-Laplace
Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten


Behauptung: Das Minimierungsproblem der Methode der kleinsten Fehlerquadrate besitzt immer exakt eine Lösung.

Beweis: Die Summe S(M) der Fehlerquadrate mit der Modellfunktion M ist . Dabei sind die gemessenen Wertepaare. Seien nun die Parameter von M. Dann haben wir zur Minimierung die Matrizengleichung zu lösen, indem wir sie als Gleichungssystem interpretieren. Da jeder Term quadratisch in den Parametern von M ist, muss S ebenso quadratisch in diesen sein. Folglich ist jede Teilgleichung linear und besitzt somit genau eine Lösung. Demnach kann die Matritzengleichung nur genau eine Lösung haben,wie behauptet. q.e.d.