Zum Inhalt springen

Beweisarchiv: Stochastik: Statistik: Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate

Aus Wikibooks

Beweisarchiv: Stochastik

Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen · Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung · Satz von Moivre-Laplace · Approximationssatz von Stone-Weierstrass
Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten


Das Minimierungsproblem der Methode der kleinsten Fehlerquadrate besagt, dass es immer exakt eine Lösung gibt.

Beweis

[Bearbeiten]

Die Summe der Fehlerquadrate mit der Modellfunktion ist . Dabei sind die gemessenen Wertepaare. Seien nun die Parameter von . Dann haben wir zur Minimierung die Matrizengleichung zu lösen, indem wir sie als Gleichungssystem interpretieren. Da jeder Term quadratisch in den Parametern von ist, muss ebenso quadratisch in diesen sein. Folglich ist jede Teilgleichung linear und besitzt somit genau eine Lösung. Demnach kann die Matritzengleichung nur genau eine Lösung haben, wie behauptet.

Wikipedia-Verweis

[Bearbeiten]