Beweisarchiv: Stochastik: Wahrscheinlichkeitstheorie: Satz von Moivre-Laplace

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Satz von Moivre-Laplace[Bearbeiten]

Sei eine Folge bernoulli-verteilter Zufallsvariablen und deren Summe binomialverteilt mit Parametern , und . Dann gilt:

(1)


(2) für alle mit

Korollar[Bearbeiten]

Sei definiert durch

für alle

und sei und zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt

  • (Trapez-Regel)

Bemerkungen:

bezeichnet die Abrundungsfunktion, mit der Eigenschaft für alle
Es ist für alle .

Beweis[Bearbeiten]

  • Die Aussage folgt durch zweimaliges partielles Integrieren, wobei und sowie .



  • Da periodisch ist, übertragen sich die obigen Eigenschaften von auf .

Stirlingformel[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Nach Gauß lässt sich die Gammafunktion für alle und alle durch eine Produktdarstellung definieren

.

Bemerkungen:

  • Es gilt .
  • Die Stirlingformel lautet
  • Nachfolgend wird das Näherungszeichen "" verwendet, wenn eine Approximation durchgeführt wird. Ein Gleichheitszeichen "" wird gesetzt, wenn eine Umformung erfolgt.

Satz (Stirling-Formel und Gammafunktion)[Bearbeiten]

In der Halbebene gilt

.

Dabei ist der Hauptzweig des Logarithmus (der reell ist für positive reelle ) und ebenso ist reell für positive reelle .

Beweis[Bearbeiten]

Nach Gauß ist

also


Die Anwendung des Korollars ergibt für ein festes und beliebiges mit und nach Umformung und somit



Wegen ergibt sich und wegen ist die Näherung zulässig. Unter Auslassung des Fehlerterms der Approximation folgt



Partielle Integration liefert . Da die Integrationskonstante o.B.d.A. gewählt werden kann, sei und damit



Es wird ein indirekter Beweis mit der Stirling-Formel , und durchgeführt, wobei ist und damit



Nun ist und für festes und grosses gilt . Unter Auslassung des Fehlerterms erhalten wir mit


An dieser Stelle sei erwähnt, dass diese Näherung für mit einem relativen Fehler von kleiner als behaftet ist.

Für die weitere Beweisführung seien folgende Umformungen angegeben:


und wegen folgt


Beweis (1)[Bearbeiten]

Der Beweis wird in zwei Schritten durchgeführt.

Schritt 1[Bearbeiten]

Zunächst wird gezeigt:

Dazu werden mit Hilfe der Stirlingformel die Fakultäten ersetzt, also folgende Näherungen vorgenommen:

Damit lässt sich die Binomialverteilung wie folgt ausdrücken:

Schritt 2[Bearbeiten]

Mit der Näherung und der Taylorapproximation wird gezeigt:


Für hinreichend großes kann die Näherung verwendet werden, woraus unmittelbar folgt .


Damit erhalten wir die gewünschte Darstellung und formen die beiden Potenzen in exponentielle Faktoren um, so dass:



Um die Asymptotik der beiden exponentiellen Faktoren zu erhalten, bilden wir die Taylorapproximation in der Annäherung durch die Schmiegparabel. Wir erhalten mit für die Funktionen und , um den Entwicklungspunkt , folgende Schmiegparabeln:

und

Bemerkungen: zu beachten ist und der Fehler dieser Näherung wird durch das Integralrestglied bzw. repräsentiert.

Die Zusammenfassung beider Taylorapproximationen liefert dann mit und unter Auslassung der Restglieder:


Insgesamt ergibt sich mit den unterschiedlichen Näherungen die Eingangs zitierte Aussage:

Beweis (2)[Bearbeiten]

Gezeigt wird, dass aus dem lokalen Grenzwertsatz im Limes und der Riemann-Summe folgt:

für alle mit

Schritt 1[Bearbeiten]

Zunächst folgt mit dem lokalen Grenzwertsatz:

wobei .

Setzen wir nun so ergibt sich:

und im Limes folgt:

Und daher gilt im Limes :

Schritt 2[Bearbeiten]

Im Folgenden wird für die Riemann-Summe die Integraldarstellung gezeigt:

Wir bilden ein äquidistantes Gitter der Maschenweite und können somit die Riemann-Summe in ein Riemannintegral überführen:

Unter Verwendung der Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 folgt die Eingangs formulierte Behauptung:

für alle mit

Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]