Beweisarchiv: Stochastik
- Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen · Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung · Satz von Moivre-Laplace · Approximationssatz von Stone-Weierstrass
- Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten
Sei
eine Folge bernoulli-verteilter Zufallsvariablen und deren Summe
binomialverteilt mit Parametern
,
und
. Dann gilt:
(1)
(2)
für alle
mit
Sei
definiert durch
für alle ![{\displaystyle x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab)
und sei
und
zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt
(Trapez-Regel)
![{\displaystyle \qquad \int _{n_{0}}^{N}f(x)\mathrm {d} x=\sum _{k=n_{0}}^{N}f(k)-{\frac {1}{2}}{\bigg (}f(n_{0})+f(N){\bigg )}-\int _{n_{0}}^{N}\varphi (x)f''(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b40c2fca1987d05155d58c540e7c7df346d98b)
Hinweise:
bezeichnet die Abrundungsfunktion, mit der Eigenschaft
für alle
.
- Es ist
für alle
.
- Die Aussage folgt durch zweimaliges partielles Integrieren, wobei
und
sowie
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{1}f(x)\mathrm {d} x&=-\int \limits _{0}^{1}\varphi ''(x)f(x)\mathrm {d} x\\&=-\lim _{\epsilon \to 0}{\bigg [}\varphi '(x)f(x){\bigg ]}_{0}^{1-\epsilon }+\;\lim _{\epsilon \to 0}\int \limits _{0}^{1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&=-\lim _{\epsilon \to 0}{\bigg (}{\bigg .}\varphi '(x){\bigg |}_{x=1-\epsilon }f(1-\epsilon )-\varphi '(0)f(0){\bigg )}\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\int \limits _{0}^{1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&=-\lim _{\epsilon \to 0}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\Big (}1-2(1-\epsilon )+0{\Big )}f(1-\epsilon )-{\frac {1}{2}}f(0){\bigg )}\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\int \limits _{0}^{1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&=-\lim _{\epsilon \to 0}{\bigg (}{\frac {1}{2}}(2\epsilon -1)f(1-\epsilon )-{\frac {1}{2}}f(0){\bigg )}\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\int \limits _{0}^{1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}f(0)+f(1){\bigg )}\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\int \limits _{0}^{1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}f(0)+f(1){\bigg )}\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}{\Bigg (}{\bigg [}\varphi (x)f'(x){\bigg ]}_{0}^{1-\epsilon }\;-\;\int \limits _{0}^{1-\epsilon }\varphi (x)f''(x)\mathrm {d} x{\Bigg )}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}f(0)+f(1){\bigg )}\;-\;\lim _{\epsilon \to 0}\;\int \limits _{0}^{1-\epsilon }\varphi (x)f''(x)\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}f(0)+f(1){\bigg )}\;-\;\int \limits _{0}^{1}\varphi (x)f''(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5526fe44fb84afadd6d91789781dda89b1c94cc4)
- Da
periodisch ist, übertragen sich die obigen Eigenschaften von
auf
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{n_{0}}^{N}f(x)\mathrm {d} x&=-\int \limits _{n_{0}}^{N}\varphi ''(x)f(x)\mathrm {d} x\\&=-\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}{\bigg [}\varphi '(x)f(x){\bigg ]}_{k}^{k+1-\epsilon }+\;\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}\int \limits _{k}^{k+1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&=-\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}{\bigg (}{\bigg .}\varphi '(x){\bigg |}_{x=k+1-\epsilon }\cdot f(k+1-\epsilon )-\varphi '(k)f(k){\bigg )}\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}\int \limits _{k}^{k+1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&=-\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\Big (}1-2(k+1-\epsilon )+2k{\Big )}f(k+1-\epsilon )-{\frac {1}{2}}f(k){\bigg )}\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}\int \limits _{k}^{k+1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&=-\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}{\bigg (}{\frac {1}{2}}(2\epsilon -1)f(k+1-\epsilon )-{\frac {1}{2}}f(k){\bigg )}\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}\int \limits _{k}^{k+1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&=\sum _{k=n_{0}}^{N-1}{\bigg (}{\frac {1}{2}}f(k+1)+{\frac {1}{2}}f(k){\bigg )}\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}\int \limits _{k}^{k+1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&=\sum _{k=n_{0}-1}^{N-1}{\frac {1}{2}}f(k+1)-{\frac {1}{2}}f(n_{0})+\sum _{k=n_{0}}^{N}{\frac {1}{2}}f(k)-{\frac {1}{2}}f(N)\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}\int \limits _{k}^{k+1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&=\sum _{k=n_{0}}^{N}{\frac {1}{2}}f(k)-{\frac {1}{2}}f(n_{0})+\sum _{k=n_{0}}^{N}{\frac {1}{2}}f(k)-{\frac {1}{2}}f(N)\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}\int \limits _{k}^{k+1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&=\sum _{k=n_{0}}^{N}f(k)-{\frac {1}{2}}{\bigg (}f(n_{0})+f(N){\bigg )}\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}\int \limits _{k}^{k+1-\epsilon }\varphi '(x)f'(x)\mathrm {d} x\\&=\sum _{k=n_{0}}^{N}f(k)-{\frac {1}{2}}{\bigg (}f(n_{0})+f(N){\bigg )}\;+\;\lim _{\epsilon \to 0}\sum _{k=n_{0}}^{N-1}{\Bigg (}{\bigg [}\varphi (x)f'(x){\bigg ]}_{0}^{1-\epsilon }\;-\;\int \limits _{k}^{k+1-\epsilon }\varphi (x)f''(x)\mathrm {d} x{\Bigg )}\\&=\sum _{k=n_{0}}^{N}f(k)-{\frac {1}{2}}{\bigg (}f(n_{0})+f(N){\bigg )}\;-\;\lim _{\epsilon \to 0}\;\sum _{k=n_{0}}^{N-1}\int \limits _{k}^{k+1-\epsilon }\varphi (x)f''(x)\mathrm {d} x\\&=\sum _{k=n_{0}}^{N}f(k)-{\frac {1}{2}}{\bigg (}f(n_{0})+f(N){\bigg )}\;-\;\int \limits _{n_{0}}^{N}\varphi (x)f''(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1553de6000283dee5cc1aaf6d3ad2d86ef71d6a7)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Nach Gauß lässt sich die Gammafunktion
für alle
und alle
durch eine Produktdarstellung definieren
.
Bemerkungen:
- Es gilt
.
- Die Stirlingformel lautet
![{\displaystyle n!=\lim _{n\to \infty }\left({\sqrt {2\pi n}}\;\left({\tfrac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}+\epsilon _{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121bd7a432a5663c68679461050180a46ce088f4)
- Nachfolgend wird das Näherungszeichen "
" verwendet, wenn eine Approximation durchgeführt wird. Ein Gleichheitszeichen "
" wird gesetzt, wenn eine Umformung erfolgt.
In der Halbebene
gilt
.
Dabei ist
der Hauptzweig des Logarithmus (der reell ist für positive reelle
) und ebenso ist
reell für positive reelle
.
Nach Gauß ist
![{\displaystyle \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{x}}{x(x+1)(x+2)\dotsm (x+n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c675f1b2df6e217f6798c7150a5edd9b2fdabb94)
also
![{\displaystyle \log \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\bigg (}\log n!+x\log n-\sum _{k=0}^{n}\log(x+k){\bigg )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303bbf6461e897f1150d77990a0acab8a3655833)
Die Anwendung des Korollars ergibt für ein festes und beliebiges
mit
und nach Umformung
und somit
![{\displaystyle \log \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\bigg (}\log n!+x\log n-\int \limits _{0}^{n}\log(x+t)\mathrm {d} t-{\frac {1}{2}}{\Big (}\log x+\log(x+n){\Big )}-\int \limits _{0}^{n}\varphi (t){\frac {1}{(x+t)^{2}}}\mathrm {d} t{\bigg )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05eb06687fde9b036e3a67849843323c5a4ec229)
Wegen
ergibt sich
und wegen
ist die Näherung
zulässig. Unter Auslassung des Fehlerterms
der Approximation folgt
![{\displaystyle \log \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\bigg (}\log n!+x\log n-\int \limits _{0}^{n}\log(x+t)\mathrm {d} t-{\frac {1}{2}}{\Big (}\log x+\log(x+n){\Big )}{\bigg )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b618e5dac748b1e949e817780ffbaa0596dada3)
Partielle Integration liefert
. Da die Integrationskonstante o.B.d.A. gewählt werden kann, sei
und damit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (x)&=\lim _{n\to \infty }{\bigg (}\log n!+x\log n-{\Big (}x+n{\Big )}\log(x+n)+x\log x+n-{\frac {1}{2}}{\Big (}\log x+\log(x+n){\Big )}{\bigg )}\\&=\lim _{n\to \infty }{\bigg (}\log n!+x\log n-{\Big (}x+n+{\frac {1}{2}}{\Big )}\log(x+n)+{\Big (}x-{\frac {1}{2}}{\Big )}\log x+n{\bigg )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7e586646e2212c91c8e280c94aa6490da1e6ed)
Es wird ein indirekter Beweis mit der Stirling-Formel
,
und
durchgeführt, wobei
ist und damit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (x)&=\lim _{n\to \infty }{\bigg (}{\Big (}n+{\frac {1}{2}}{\Big )}\log n-n+x\log n-{\Big (}x+n+{\frac {1}{2}}{\Big )}\log(x+n)+{\Big (}x-{\frac {1}{2}}{\Big )}\log x+n+\epsilon _{n}'{\bigg )}+\log {\sqrt {2\pi }}\\&=\lim _{n\to \infty }{\bigg (}{\Big (}x+n+{\frac {1}{2}}{\Big )}\log n-{\Big (}x+n+{\frac {1}{2}}{\Big )}\log(x+n)+\epsilon _{n}'{\bigg )}+{\Big (}x-{\frac {1}{2}}{\Big )}\log x+\log {\sqrt {2\pi }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b71f7d60b926e78bb82d6af1904d91b63a7069)
Nun ist
und für festes
und grosses
gilt
. Unter Auslassung des Fehlerterms
erhalten wir mit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (x)&=\log {\sqrt {2\pi }}+{\Big (}x-{\frac {1}{2}}{\Big )}\log x+\lim _{n\to \infty }{\bigg (}{\Big (}x+n+{\frac {1}{2}}{\Big )}\log n-{\Big (}x+n+{\frac {1}{2}}{\Big )}{\Big (}\log n+{\frac {x}{n}}{\Big )}+\epsilon _{n}'{\bigg )}\\&=\log {\sqrt {2\pi }}+{\Big (}x-{\frac {1}{2}}{\Big )}\log x+\lim _{n\to \infty }{\bigg (}-{\frac {x}{n}}(x+n+{\frac {1}{2}})+\epsilon _{n}'{\bigg )}\\&=\log {\sqrt {2\pi }}+{\Big (}x-{\frac {1}{2}}{\Big )}\log x-x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe45b0453df16180a1863fd96cad9e733c5eafe)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
An dieser Stelle sei erwähnt, dass diese Näherung für
mit einem relativen Fehler von kleiner als
behaftet ist.
Für die weitere Beweisführung seien folgende Umformungen angegeben:
![{\displaystyle \Gamma (x)\approx {\sqrt {2\pi }}x^{{\Big (}x-{\frac {1}{2}}{\Big )}}e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d91d5851a38173d7f3a6e2457a8b4ccd05f529e)
und wegen
folgt
![{\displaystyle n!=n\Gamma (n)\approx n{\sqrt {2\pi }}n^{{\Big (}n-{\tfrac {1}{2}}{\Big )}}e^{-n}={\sqrt {2\pi n}}{\bigg (}{\frac {n}{e}}{\bigg )}^{n}=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78efef437e53b5aa158f6e2c3a6f4b7d34238d7b)
Der Beweis wird in zwei Schritten durchgeführt.
Zunächst wird gezeigt:
![{\displaystyle B(k\mid p,n)\approx {\frac {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}(n-k)^{n-k}e^{-(n-k)}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}p^{k}(1-p)^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5b0941209623a594270c54d99168e1c6f9d294)
Dazu werden mit Hilfe der Stirlingformel die Fakultäten ersetzt, also folgende Näherungen vorgenommen:
![{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02935b973510e046d1679e80e5e6b95fddc9c0c)
![{\displaystyle k!\approx {\sqrt {2\pi k}}\left({\frac {k}{e}}\right)^{k}=k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a74f48200410bacdade87805371d5f0761d907)
![{\displaystyle (n-k)!\approx {\sqrt {2\pi (n-k)}}\left({\frac {n-k}{e}}\right)^{n-k}=(n-k)^{n-k}e^{-(n-k)}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64011c04ca06c4fb3a9a3a2b4c27d48c355097b0)
Damit lässt sich die Binomialverteilung wie folgt ausdrücken:
![{\displaystyle {\begin{aligned}B(k\mid p,n)&={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&\approx {\frac {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}(n-k)^{n-k}e^{-(n-k)}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&={\sqrt {\frac {n}{2\pi k\left(n-k\right)}}}{\frac {n^{n}}{k^{k}\left(n-k\right)^{n-k}}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&={\sqrt {\frac {n}{2\pi k\left(n-k\right)}}}\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi n{\frac {k}{n}}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)}}}\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4681c9827adb0bdb115a9bc4c0b3444c4d370d)
Mit der Näherung
und der Taylorapproximation wird gezeigt:
![{\displaystyle B(k\mid p,n)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi n{\frac {k}{n}}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)}}}\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6fdb77a8f90ed5dd9f8e50d76d6382f05adda2e)
Für hinreichend großes
kann die Näherung
verwendet werden, woraus unmittelbar folgt
.
Damit erhalten wir die gewünschte Darstellung und formen die beiden Potenzen in exponentielle Faktoren um, so dass:
![{\displaystyle {\begin{aligned}B(k\mid p,n)&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\left({\frac {p}{k/n}}\right)^{k}\left({\frac {(1-p)}{1-k/n}}\right)^{n-k}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\exp \left({\frac {n}{n}}\log \left(\left({\frac {p}{k/n}}\right)^{k}\left({\frac {1-p}{1-k/n}}\right)^{n-k}\right)\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\exp \left({\frac {n}{n}}\log \left(\left({\frac {k/n}{p}}\right)^{-k}\left({\frac {1-k/n}{1-p}}\right)^{-(n-k)}\right)\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\exp {\Bigg (}n{\bigg (}-\underbrace {{\frac {k}{n}}\log \left({\frac {k/n}{p}}\right)} _{f(x)}-\underbrace {\left(1-{\frac {k}{n}}\right)\log \left({\frac {1-k/n}{1-p}}\right)} _{g(x)}{\bigg )}{\Bigg )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ca282513cf05d7ccacedb6f9530f02253d6a1f)
Um die Asymptotik der beiden exponentiellen Faktoren zu erhalten, bilden wir die Taylorapproximation in der Annäherung durch die Schmiegparabel. Wir erhalten mit
für die Funktionen
und
, um den Entwicklungspunkt
, folgende Schmiegparabeln:
und
Bemerkungen: zu beachten ist
und der Fehler dieser Näherung wird durch das Integralrestglied
bzw.
repräsentiert.
Die Zusammenfassung beider Taylorapproximationen liefert dann mit
und unter Auslassung der Restglieder:
Insgesamt ergibt sich mit den unterschiedlichen Näherungen die Eingangs zitierte Aussage:
![{\displaystyle B(k\mid p,n)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi n{\frac {k}{n}}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)}}}\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}\;\approx \;{\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02cc04508cd76a7d1cd49499c911cc2696440b5)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Gezeigt wird, dass aus dem lokalen Grenzwertsatz im Limes
und der Riemann-Summe folgt:
für alle
mit ![{\displaystyle x_{1}<x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5be810f318d1d4a506c86442106aab197a8d02)
Zunächst folgt mit dem lokalen Grenzwertsatz:
![{\displaystyle \operatorname {P} \left(x_{1}\leq {\frac {S_{n}-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}\right)\;=\sum _{k\in \{0,1\ldots ,n\} \atop x_{1}\leq {\frac {k-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}}\operatorname {P} \left(S_{n}=k\right)\;=\sum _{k\in \{0,1\ldots ,n\} \atop x_{1}\leq {\frac {k-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)\cdot (1+\epsilon _{n,p}(k))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b16c8e91ca3d7f3b3011658ed45d8821c60feac7)
wobei
.
Setzen wir nun
so ergibt sich:
![{\displaystyle \sum _{k\in \{0,1\ldots ,n\} \atop x_{1}\leq {\frac {k-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)\cdot \epsilon _{n,p}(k))\;\leq \;{\bar {\epsilon }}_{n,p}\cdot \sum _{k\in \{0,1\ldots ,n\} \atop x_{1}\leq {\frac {k-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925a1633a710089800c76afabb6bc252157941cd)
und im Limes
folgt:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;\underbrace {\quad \epsilon _{n,p}\quad } _{\to 0}\cdot \underbrace {\sum _{k\in \{0,1\ldots ,n\} \atop x_{1}\leq {\frac {k-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)} _{\to \int _{a}^{b}\ldots <\infty }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e6cd6b3c99ff49a0e865cc010404a6a94a9430)
Und daher gilt im Limes
:
![{\displaystyle \operatorname {P} \left(x_{1}\leq {\frac {S_{n}-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}\right)\;=\;\sum _{k\in \{0,1\ldots ,n\} \atop x_{1}\leq {\frac {k-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7979f56fa150a855bcc971badfe7a729771a23)
Im Folgenden wird für die Riemann-Summe die Integraldarstellung gezeigt:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k\in \{0,1\ldots ,n\} \atop x_{1}\leq {\frac {k-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)\;=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\exp \left(-{x^{2} \over 2\sigma ^{2}}\right)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2459dff7bc68200d35871db45ef8f5b7de6f906e)
Wir bilden ein äquidistantes Gitter
der Maschenweite
und können somit die Riemann-Summe in ein Riemannintegral überführen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\sum _{k\in \{0,1\ldots ,n\} \atop x_{1}\leq {\frac {k-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)\;&=\;\lim _{n\to \infty }\sum _{x\in \Gamma _{n} \atop x_{1}\leq x\leq x_{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k-np}{n}}\right)^{2}\right)\cdot {\frac {1}{\sqrt {n}}}\;\\&=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\exp \left(-{x^{2} \over 2\sigma ^{2}}\right)\mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cba08f409992eddc55ad42e22d586b7eac2dd28)
Unter Verwendung der Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 folgt die eingangs formulierte Behauptung:
für alle
mit ![{\displaystyle x_{1}<x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5be810f318d1d4a506c86442106aab197a8d02)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)