Beweisarchiv: Stochastik: Wahrscheinlichkeitstheorie: Approximationssatz von Stone-Weierstrass

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Beweisarchiv: Stochastik

Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen · Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung · Satz von Moivre-Laplace · Approximationssatz von Stone-Weierstrass
Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten


Satz (Approximationssatz von Stone-Weierstrass)[Bearbeiten]

Seien beliebig und eine stetige Funktion. Dann gilt für alle : Es existiert ein Polynom , das erfüllt.

Beweis[Bearbeiten]

Teil 1[Bearbeiten]

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte .

Sei eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern der Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg (bei einer Folge unabhängiger Bernoulli-Versuche) und Erfolgswahrscheinlichkeit . Dann gilt .

Mit dem schwachen Gesetz der großen Zahlen (!) folgt

für alle (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit von gegen ).

Diese Konvergenz bzgl. ist sogar gleichmäßig in (siehe das Korollar weiter unten).

Lemma 1[Bearbeiten]

Die Varianz von ist beschränkt durch .

Beweis des Lemmas 1[Bearbeiten]

Da binomialverteilt ist, ist

Wir suchen das globale Maximum bezüglich auf .

Bei befindet sich also ein möglicher lokaler Extremwert. Wegen

an der Stelle ist dieser mögliche lokale Extremum tatsächlich ein lokales Maximum. Auf dem Rand (für oder ) ist die Varianz 0 und damit kleiner dem lokalen Maximum. Also liegt bei ein globales Maximum mit Funktionswert .

Korollar[Bearbeiten]

konvergiert für gleichmäßig gegen 0.

Beweis des Korollars[Bearbeiten]

Den Wert des Limes kennen wir aus dem Lemma 1. Es ist also zu zeigen:

, das heißt, dass unabhängig von der Wahl von ist. Wähle ein . Sei beliebig. Es gilt für alle :

Wähle . Dann gilt für alle :

.

Da die Definition von keine Abhängigkeit zu aufweist, ist das Korollar damit bewiesen.

Beweis des Satzes Teil 2[Bearbeiten]

Das Intervall ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt (Satz von Heine-Borel). ist stetig (in ), also insbesondere fast überall stetig. ist stetig, also messbar. Außerdem ist auf einem kompakten Intervall definiert.

Also ist auf diesem Intervall auch gleichmäßig stetig und beschränkt (durch , eine als Konstante von unabhängige und integrierbare Funktion mit endlichem Erwartungswert).

Daraus folgt für alle die gleichmäßige Konvergenz bzgl. (nach dem gleichmäßigen Gesetz der großen Zahl), also

.

(siehe auch hier????????) Aus der Beschränktheit von (auf dem gegebenen Intervall) folgt mit dem Satz über die majorisierte Konvergenz für Zufallsvariablen die (gleichmäßige, weil Absolutbetrag unabhängig von beschränkt und damit Erwartungswert ebenso (Monotonie des Erwartungswertes)) Konvergenz der Erwartungswerte

.

Lemma 2[Bearbeiten]

Für alle Funktionen und alle natürlichen Zahlen gilt:

Beweis des Lemmas 2[Bearbeiten]

aufgrund des Binomischen Lehrsatzes.

Beweis des Satzes Teil 3[Bearbeiten]

Gemäß dem Lemma 2 gilt . Sei . Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von existiert dann ein , sodass für alle Punkte gilt:

Zerlege die Summe in zwei Teile:

  • einen Teil mit -Werten, die erfüllen und
  • einen Teil mit -Werten, die diese Bedingung nicht erfüllen.

Wegen der Stetigkeit von gilt für alle Summenglieder von : und für all jene von : wegen der Beschränktheit von auf . Daraus ergibt sich:

für alle . Mit der Dreiecksgleichung des Erwartungswertes und seiner Linearität folgt für ein beliebiges, fixes :

. Definiere die Bernstein-Polynome durch

mit

Dann genügt es, Lemma 3 zu zeigen, denn dann ist zusammengefasst (mit ):

Lemma 3[Bearbeiten]

Beweis des Lemmas 3[Bearbeiten]

Es folgt schrittweise aus dem Gesetz des bewusstlosen Statistikers (»law of unconscious statistician«), der Berechnung der Wahrscheinlichkeitsfunktion und dem Einsetzen der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung das Ergebnis.

Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]