Beweisarchiv: Stochastik
- Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen · Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung · Satz von Moivre-Laplace · Approximationssatz von Stone-Weierstrass
- Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten
Satz (Approximationssatz von Stone-Weierstrass)[Bearbeiten]
Seien
beliebig und
eine stetige Funktion. Dann gilt für alle
: Es existiert ein Polynom
, das
erfüllt.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte
.
Sei
eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern
der Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg (bei einer Folge unabhängiger Bernoulli-Versuche) und Erfolgswahrscheinlichkeit
. Dann gilt
.
Mit dem schwachen Gesetz der großen Zahlen (
!) folgt
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-p\right|>\delta \right)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb489deee710b0d4c8c457315558ee6c2918e541)
für alle
(Konvergenz in Wahrscheinlichkeit von
gegen
).
Diese Konvergenz bzgl.
ist sogar gleichmäßig in
(siehe das Korollar weiter unten).
Die Varianz von
ist beschränkt durch
.
Beweis des Lemmas 1[Bearbeiten]
Da
binomialverteilt ist, ist
Wir suchen das globale Maximum bezüglich
auf
.
Bei
befindet sich also ein möglicher lokaler Extremwert. Wegen
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Var(K/n)}{\partial ^{2}p}}=-2/n<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abaa4be46b0447b6abd8f4659d047c54d288279)
an der Stelle
ist dieser mögliche lokale Extremum tatsächlich ein lokales Maximum. Auf dem Rand (für
oder
) ist die Varianz 0 und damit kleiner dem lokalen Maximum. Also liegt bei
ein globales Maximum mit Funktionswert
.
konvergiert für
gleichmäßig gegen 0.
Beweis des Korollars[Bearbeiten]
Den Wert des Limes kennen wir aus dem Lemma 1. Es ist also zu zeigen:
, das heißt, dass
unabhängig von der Wahl von
ist. Wähle ein
. Sei
beliebig. Es gilt für alle
:
Wähle
. Dann gilt für alle
:
.
Da die Definition von
keine Abhängigkeit zu
aufweist, ist das Korollar damit bewiesen.
Beweis des Satzes Teil 2[Bearbeiten]
Das Intervall
ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt (Satz von Heine-Borel).
ist stetig (in
), also insbesondere fast überall stetig.
ist stetig, also messbar. Außerdem ist
auf einem kompakten Intervall definiert.
Also ist
auf diesem Intervall auch gleichmäßig stetig und beschränkt (durch
, eine als Konstante von
unabhängige und integrierbare Funktion mit endlichem Erwartungswert).
Daraus folgt für alle
die gleichmäßige Konvergenz bzgl.
(nach dem gleichmäßigen Gesetz der großen Zahl), also
.
(siehe auch hier????????) Aus der Beschränktheit von
(auf dem gegebenen Intervall) folgt mit dem Satz über die majorisierte Konvergenz für Zufallsvariablen die (gleichmäßige, weil Absolutbetrag unabhängig von
beschränkt und damit Erwartungswert ebenso (Monotonie des Erwartungswertes)) Konvergenz der Erwartungswerte
.
Für alle Funktionen
und alle natürlichen Zahlen
gilt:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}f(x){n \choose k}p^{k}(1-p^{n-k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec21dff2b3fdbf4760e2a3b0072893eb3605fba)
Beweis des Lemmas 2[Bearbeiten]
aufgrund des Binomischen Lehrsatzes.
Beweis des Satzes Teil 3[Bearbeiten]
Gemäß dem Lemma 2 gilt
. Sei
. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von
existiert dann ein
, sodass für alle Punkte
gilt:
Zerlege die Summe in zwei Teile:
- einen Teil
mit
-Werten, die
erfüllen und
- einen Teil
mit
-Werten, die diese Bedingung nicht erfüllen.
Wegen der Stetigkeit von
gilt für alle Summenglieder von
:
und für all jene von
:
wegen der Beschränktheit von
auf
. Daraus ergibt sich:
für alle
. Mit der Dreiecksgleichung des Erwartungswertes und seiner Linearität folgt für ein beliebiges, fixes
:
. Definiere die Bernstein-Polynome durch
mit
Dann genügt es, Lemma 3 zu zeigen, denn dann ist zusammengefasst (mit
):
Beweis des Lemmas 3[Bearbeiten]
Es folgt schrittweise aus dem Gesetz des bewusstlosen Statistikers (»law of unconscious statistician«), der Berechnung der Wahrscheinlichkeitsfunktion
und dem Einsetzen der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung das Ergebnis.