Beweisarchiv: Stochastik: Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung

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Beweisarchiv: Stochastik

Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen · Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung · Satz von Moivre-Laplace
Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten


Satz (Bernstein-Ungleichung)[Bearbeiten]

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien und positive reelle Zahlen und eine natürliche Zahl. seien unabhängig verteilte Zufallsvariablen mit und für alle .

Dann gilt:

Für den Beweis benötigt man folgendes

Lemma[Bearbeiten]

Für alle gilt:


Beweis (Lemma)[Bearbeiten]

Man definiere die Linke Seite der Ungleichung als , die rechte Seite als und leite jeweils zweimal ab.

Es gilt:

Für gilt:

Für gilt:

Das gilt auch analog für mit vertauschten Integralgrenzen.

Damit ist das Lemma gezeigt.

Beweis (Satz)[Bearbeiten]

Der Beweis wird in fünf Schritte unterteilt:

Schritt 1[Bearbeiten]

Es wird zunächst gezeigt:


Allgemein gilt für , :

Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel, dann folgt:


Mit und folgt die Ungleichung. Zur Vereinfachung wird die rechte Seite durch definiert.


Schritt 2[Bearbeiten]

Zu zeigen:

Da die Zufallsvariablen nach Voraussetzung unabhängig sind, können Produkt und Erwartungswert vertauscht werden. Aus der Exponentialfunktion bilde man eine Exponentialreihe. Da eine Integierbare Majorante der undendlichen Reihe ist, können Erwartungswert und Summe vertauscht werden. Mit und der Voraussetzung folgt:

Schritt 3[Bearbeiten]

Zu zeigen:


Sei die Verteilungsfunktion von .

Nach Vorraussetzung gilt:

für bzw. für
für alle und



Diese Faktoren sind unabhängig von . Mit erhält man:


Aus folgt, falls positiv ist und man erhält mit



Damit ist Schritt 3 gezeigt.

Schritt 4[Bearbeiten]

Zu zeigen:

Man setze . Um das Lemma (oben) anzuwenden, setze man dann .


Man setze wie in Schritt 1 definiert ein:


Schritt 5[Bearbeiten]

Zum Schluss wird die Behauptung des Satzes gezeigt. Man wende zunächst Schritt 1 an.:

Nun wende man die Markow-Ungleichung an:

Aus den Schritten 2 bis 4 folgt:

Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]