Beweisarchiv: Zerlegungsgesetz

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Satz (Zerlegungsgesetz): Für eine ungerade Primzahl in gilt:

Ist , dann ist und ist verzweigt,

Ist , dann ist zerlegt,

Ist , dann ist träge.


Beweis: Sei zunächst . Ist , dann folgt, da ungrade ist, dass auch ist. Also ist

denn aus der Teilerfremdheit von und folgt, für das Ideal .

Ist nun . Dann folgt, dass und wegen oder , dass auch quadratischer Rest modulo ist. Es existiert daher ein mit . Sei , dann ist

Nun ist wegen und damit auch im letzten Ideal enthalten. Aus der Teilerfremdheit von und erhält man schließlich, dass das letzte Ideal der Gleichung das Einsideal ist. Damit folgt mit . Wäre nämlich , dann folgte wie eben und im Widerspruch. Also sind verschiedene Primideale. Bleibt noch zu zeigen. Angenommen es gäbe ein Ideal der Norm , dann hätte , die Gestalt und es wäre . Setzt man , dann folgt , also erhält man die quadratische Kongruenz . Aus dem Legende-Symbol folgt nun, im Widerspruch zur Voraussetzung. Für verfährt man analog und erhalten diesmal die quadratische Kongruenz und wie eben einen Widerspruch zur Voraussetzung.