Diffgeo: Flächentheorie: zweite Fundamentalform

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Zweite Fundamentalform[Bearbeiten]

Fortführung der ersten Form[Bearbeiten]

Wir haben gesehen, wie aus einer Überlegung zur Parameterisierung nach der Bogenlänge über die erste Ableitung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge s die erste Fundamentalform entstanden ist. Wir haben auch gesehen, dass Teile der der ersten Fundamentalform durch Abkürzungen dargestellt werden. Wir wollen in Zukunft die neue Darstellung der gaußschen Fundamentalgrößen verwenden.

Wir haben auch gesehen, dass mit der ersten Fundamentalform jede Menge nützlicher Werte bestimmt werden können. Was bei Flächen auch sehr interessant ist, sind Krümmungen. Im entsprechenden Abschnitt der Kurventheorie haben wir gesehen, dass die Krümmung aus der zweiten Ableitung nach der Bogenlänge hervorgeht. Dieses werden wir nun aufgreifen und zur zweiten Fundamentalform entwickeln. Mit ihr werden wir die Krümmungen bestimmen.

Herleitung[Bearbeiten]

Der Krümmungsvektor lautet

dabei wurde die Kettenregel zweimal angewendet:

Aufgrund der Normierung des Tangentialvektors ergibt das Skalarprodukt:

Daraus folgt für die Ableitung des Skalarprodukts:

Das bedeutet, dass der Krümmungsvektor senkrecht auf dem Tangentialvektor steht!

Wir teilen den Krümmungsvektor in zwei Anteile auf. Einen Anteil in Richtung der Flächennormalen, Normalkrümmung genannt sowie einen Anteil parallel zur Tangentialebene der Fläche im Punkt P. Das Krümmungsmaß, wie sehr sich die Fläche relativ zur Tangentialfläche verändern wird, nennen wir geodätische Krümmung, logischerweise mit einem g indiziert: . Später wollen wir diese Krümmungen noch eingehend geometrisch untersuchen, jetzt aber weiter in der Herleitung.

Aufteilung

Uns interessiert für die zweite Fundamentalform nur die Normalkrümmung, nach der wir nun umgestellt haben:

Wer das Umstellen nicht nachvollziehen kann: Zwei miteinander skalarmultiplizierte normierte identische Vektoren ergeben 1.

Die Abkürzungen sind:


Definition der zweiten Fundamentalgrößen



Berechnung[Bearbeiten]

  • n berechnet sich wie hier beschrieben.
  • xuu ist die zweifache Ableitung der Flächengleichung nach u.
  • xuv ist die Ableitung der Flächengleichung entweder erst nach u und dann nach v oder anders herum.
  • xvv ist die zweifache Ableitung der Flächengleichung nach v.


Neue Schreibweise[Bearbeiten]


Definition der zweiten Fundamentalform

Umbenennung der gaußschen Flächenparameter wie in der ersten Fundamentalform.




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