Hallo Bautsch! So weit ich weiß, sind solche "Zufälle" nicht ganz ungewöhnlich, die sind nämlich statistisch vorgesehen (noch einmal, so weit ich weiß). Wäre es vielleicht doch sinnvoll, dass der Leser auch darüber informiert wird? Yomomo15:31, 16. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Also, wenn ich das gut verstehe, die Andeutung ist, dass Strauss von der Serie wusste und seine Melodie entsprechend komponiert hat. LG Yomomo10:05, 18. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Der Quantenmechanik gelang es im zwanzigsten Jahrhundert, den Bau der Atome und die Wechselwirkung zwischen geladenen Materieteilchen (beispielsweise Elektronen) und den Lichtteilchen (Photonen) sehr genau zu beschreiben.
Das elektromagnetische Lichtfeld reagiert mit anderen Teilchen so, dass ein Quantum mit der Energie entweder aufgefangen oder abgegeben wird. Die Konstante ist das Planck'sche Wirkungsquantum und ist die Frequenz einer elektromagnetischen Welle.
Die Bindung zwischen dem Elektron und dem Proton des Wasserstoffatoms nimmt genau dann eine relativ zeitstabile, also stationäre, Form an, wenn es eine räumlich konzentrierte stehende Welle gibt, die die berühmte Schrödinger-Gleichung erfüllt, die 1926 vom österreichischen Physiker Erwin Schrödinger (* 1887; † 1961) aufgestellt wurde. Wie bei großen mechanischen Objekten auch, etwa Saiten und Orgelpfeifen, sind die möglichen Frequenzen sehr gut mit kleinen ganzen Zahlen verbunden. Seit Pythagoras wissen wir, dass die harmonischen Intervalle von Tönen nichts anderes sind als solche Frequenzen, deren Verhältnisse zwei ganze Zahlen sind. Sie treten gern in Erscheinung als die Eigenfrequenzen von schwingenden Objekten.
Die Eigenfrequenzen des Wasserstoffatoms folgen mit der Formel , wo die höchste vorkommende Frequenz ist. Die Bindungsenergien des Atoms werden negativ gemessen in Bezug auf ein
ungebundenes Paar aus Elektron und Proton. Die Folge lautet . Wieder zieht die Planck'sche Konstante ein. Die tiefste Energie (Die Energieeinheit eV steht für Elektronenvolt) gehört zur kugelförmigen stehenden Welle, in der keine "Knoten" vorkommen. Die angeregten Energien haben eine symmetrische räumliche Struktur mit Knotenflächen, welche die Wellenform in eine Anzahl von 'Keulen' oder 'Bäuchen' aufteilen. Beispiele hier zu den Hauptquantenzahlen n von 1 bis 4.
Zustandsbasis Wasserstoffatom
Die Quantenmechanik erklärt, wie das Wasserstoffatom leuchtet. Es geht vom Zustand in den tieferen Zustand mit über. Die Energie wird dabei an ein Photon übergeben, dessen Frequenz in der Spektralserie liegt und die mit der folgenden Rydberg-Formel bestimmt werden kann:
Zu den Methoden der Physik gehört eine Störungsrechnung, wonach bereits eine klassisch gedachte elektrische Schwingung die stimulierten Quantenübergänge des Wasserstoffs hervorruft, und zwar genau mit dem experimentell bestätigten Spektrum von Frequenzen. Aber um die spontane Emission von Lichtquanten zu erklären, musste eine gründliche teilchenartige Behandlung des Lichtfeldes her: die Quantenfeldtheorie. Mit deren Rechenmethoden kommt dann korrekt heraus, dass die angeregten Zustände des Atoms nicht ganz stabil sind. Aus dem Vakuum können die Photonen auftauchen, die an die passenden Zustände von Elektronen ankoppeln.
Eine tiefschürfende Deutung des Wasserstoff-Spektrums verdanken wir dem österreichischen Physiker Wolfgang Pauli (* 1900; † 1958), der mit den Physikern Niels Bohr (* 1885; † 1962) aus Dänemark, Werner Heisenberg (* 1901; † 1976) aus Deutschland, dem oben bereits erwähnten Erwin Schrödinger und anderen maßgeblich zur wissenschaftlichen Revolution der Quantenmechanik beitrug. Ihm gelang eine algebraische Formulierung des Wasserstoff-Modells dank einer in sich geschlossenen Gruppe von Symmetrie-Operatoren. Er konnte das Spektrum ganz ohne die lästigen Schrödingerschen Differenzialgleichungen herleiten. Die spezielle Form der Coulomb-Anziehung zwischen Elektron und Proton erlaubt einen hohen Grad von Symmetrie.
Seither spielten die Symmetriegruppen eine steigende Rolle in der Physik. Häufig werden solche Gruppen in der Natur dargestellt in Verbindung mit Serien von ganzen Quantenzahlen. Symmetrie und Harmonie sind offenbar eng miteinander verbunden.
Welch eine schöne Überraschung ! Wo kommt der Text her ? Könnte der eventuell einfach so wie er ist als Abschnitt vor dem Nachwort eingefügt werden ? -Bautsch11:58, 18. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Danke für die schnellen Verbesserungen am frisch gebackenen Text. Kann so vor dem Nachwort einfließen. Schön, die Genies von Kunst und Wissenschaft mit vollen Namen und Daten zu würdigen! --Gluedrop15:23, 18. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Herzlichen Dank für die umgehende Erledigung. Habe mir erlaubt, auch noch kurz auf Materiewellen einzugehen, weil der Absatz dadurch aus historischer Sicht und für Einsteiger noch ein wenig runder wird. -Bautsch12:03, 19. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Gut. Fast alle 'Gründerväter' sind genannt (wichtig noch Dirac, Born und der mathematisch strenge Von Neumann). Habe noch die praktische Anwendung der Formeln auf unser Einheitensystem erwähnt. -Gluedrop09:07, 20. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Ich freue mich über diese Initiative sehr, werde aber wegen Befangenheit lieber nicht abstimmen, obwohl ich freilich nichts gegen eine entsprechende Attributierung einzuwenden hätte :-) -Bautsch17:00, 18. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Letzter Kommentar: vor 4 Jahren11 Kommentare2 Personen sind an der Diskussion beteiligt
Erlaube mir Pädagogisches? zum Kernthema des Aufsatzes
Das Motiv C-F-G-Gis-A kann auf 3 Arten schmackhaft gemacht werden.
Die Folge von konsonanten Intervallen zum Grundton
Die Teilmenge der Obertonreihe mit Quadratzahlen
Die Balmer-Serie von Frequenzen
Fangen wir an mit einer elementaren Auffrischung zu Intervallen von Tönen.
Benutzt wird reine Stimmung und Bruchrechnung nach dem Vorbild von Pythagoras.
Ein Grundton der Frequenz hat eine Folge von Obertönen mit den
Vielfachen
Die Intervalle zwischen benachbarten Obertönen haben das Frequenzverhältnis
und sie tragen schöne Namen.
Nennen wir es die Intervallfolge von Pythagoras. Hier der Anfang:
Oktave
Quinte
Quarte
Große Terz
Kleine Terz
[ wir lassen zwei weg mit der bösen Sieben, der Hexenzahl ]
Ganzer Ton oder Sekunde
Obacht. Für die Intervalle von Tönen, so wie das Ohr sie wahrnimmt,
kommt es auf den Quotienten der zwei Frequenzen an, nicht
auf ihre Differenz.
Zwei Intervalle hintereinander zu setzen ist keine Addition, sondern
bedeutet die Multiplikation der Frequenz-Verhältnisse.
Zwei Töne klingen dann 'harmonisch' zusammen, wenn ihr Frequenzverhältnis
kleine ganze Zahlen hat. Der Übergang von Wohlklängen zu Missklängen
ist erstens fließend und zweitens subjektiv. Grob gesehen, man stempelt
zu Dissonanzen alle Brüche, in denen eine Zahl größer als
9 vorkommt. Umgekehrt sind zu kleine Zahlen wie die Oktave auch langweilig,
die leere Quinte wirkt auch nicht so berückend.
Eine diatonische Skala kann mit den ersten drei Sprüngen gebaut werden.
Zum Grundton C nehme man die goße Terz E, die Quarte
F und die Quinte G. Von der Quinte G nun eine Quarte runter nach D und eine
große Terz rauf nach H. Schließlich die große Terz A auf der Quarte F.
Die ganze Dur-Tonleiter mit der Oktave C' lautet: C D E F G A H C'.
Es gibt ganze Töne und Halbtöne als benchbarte Paare. Daher die
Bezeichnung diatonisch, im Gegensatz zu chromatisch.
Ein ähnliches, molliges Rezept nimmt kleine Terzen statt der großen.
Die Quinte und Quarte sind die Eckpfeiler, Dominante G und Subdominante F.
Sind alle Paare aus der diatonischen Leiter harmonisch, zumindest wenn
man Sekunden und Septimen ausklammert? Nein, es gibt einen Exoten.
Der Sprung von F nach H ist ein Ganzton plus große Terz mit dem Faktor
Keine wirklich kleinen Zahlen im Bruch. Der Tritonus klingt etwas schräg.
Seine Umkehrung von H zum F' der nächsten Oktave hat den Faktor
Zwei reine kleine Terzen aufeinander ergeben andererseits den Faktor
Alle drei Zahlen sind sehr ähnlich und die Zweiklänge wirken auch so.
Sie riechen nach der Quadratwurzel aus Zwei, geometrisches Mittel der Oktave:
Aus vier ganz leicht gequetschten kleinen Terzen ergibt sich daher ein
Vierklang, der eine Oktave gleichmäßig füllt und in allen Umkehrungen zu
sich selbst ähnlich ist. Es ist der verminderte Septakkord in der
gleichschwebenden Stimmung. Wohl kein Musiker kann sich verkneifen, ihn zu
dramatischen Effekten einzubauen.
A. Die Folge von konsonanten Intervallen zum Grundton
Das Motiv C F G Gis A wurde ausgesucht, denn es ist
eine Folge von 'wohlklingenden' Intervallen zum Grundton C:
Quarte, Quinte, kleine und große Sexte.
Die Intervalle (Frequenz-Verhältnisse) in reiner Stimmung sind
1/1, 4/3, 3/2, 8/5, 5/3.
Das Intervall C-Fis kommt nicht vor. Diese übermäßige Quarte ist der
Tritonus und klingt nicht ganz so butterweich. Diabolus in musica
hieß er ja im Mittelalter.
B. Die Teilmenge der Obertonreihe mit Quadratzahlen
Der Ganzton (Sekunde) ist gleich dem Intervall, das zwischen
einer Quarte und Quinte über dem gleichen tiefen Ton vorkommt.
Verallgemeinert ergeben die Intervalle "zweiter Ordnung" dies:
Es handelt sich um die Teilfolge der Pythagoras-Intervalle, die mit
Quadratzahlen nummeriert sind. Sie misst den Betrag, um den die
Ausgangsreihe von Term zu Term schrumpft.
Zum Beispiel gilt auch von Quinte zu Oktave geht eine Quarte.
Zwischen Großer Terz und Quarte kommt es zum Schritt
eine Form des Halbtons.
Von einer Kleinen zur Goßen Terz geht der Schritt
etwas engerer Halbton.
Die Leiter C F G Gis A reiht nun aneinander die ersten quadratischen Intervalle:
Quarte Ganzton Halbton Enger-Halbton.
Es sind die Intervalle, die den Unterschied benachbarter Obertonsprünge
ausmachen. Die Folge ist sozusagen die erste Ableitung der Pythagoras-Serie.
Hier eine geschlossene Formel der Intervalle, bezogen auf den Grundton:
Zum Beweis bemerken wir (trivial) und berechnen die Teilintervalle
Sie kommen richtig als die quadratischen Intervalle heraus.
Behauptung: Die obige Funktion der
Töne in reiner Stimmung ist bis auf ein Prozent identisch mit der Funktion
ist die Folge von Frequenz-Faktoren der Balmer-Serie,
Zum Beweis listen wir mit etwas Python die Fehlerfunktion
for m in range(3,8) :
g=2*(m-2)/(m-1.0)
f=9*(m+2)*(m-2)/(5.0*m*m)
z=0.9*(m+2)*(m-1)/(m*m+0.0)
print(str([m,g,f,z]))
m g f z
------------------------
3 1.0 1.0 1.0
4 1.333 1.35 1.0125
5 1.5 1.512 1.008
6 1.6 1.6 1.0
7 1.667 1.653 0.9918
Damit wird klar, dass das sichtbare Wasserstoff-Spektrum und die Tonfolge
des Eulenspiegel-Motivs gleich aussehen. Witzig, dass gebrochen
rational erster Ordnung, aber von zweiter Ordnung ist.
Eine für Interessierte sehr kurzweilige und lehrreiche Betrachtung. Ich konnte alles nachvollziehen, könnte mir aber vorstellen, dass die vielschichtige Komplexität etliche Leser etwas überfordert. Vielleicht könnten diese an der einen oder anderen Stelle noch ein wenig mehr abgeholt werden...
Wie auch immer, der Inhalt könnte sowohl ein Abschnitt im Text werden, als auch als Unterseite mit "Bonus-Material" angelegt werden. Ich denke, dass ich eher zu ersterem neigen würde... --Bautsch21:13, 22. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Wie wäre es mit drei zusätzlichen Abschnitten, wie zum Beispiel "Der musiktheoretische Hintergrund", "Mathematische Betrachtungen" und "Weitere Aspekte" (für die Synästhesie) ? --Bautsch07:20, 23. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Durchtrainierte Musiker:innen hören im Geiste eine ganze Partitur, wenn sie
sie lesen. Wie sonst könnten sie sich an ein Dirigentenpult wagen. Kaum
schwerer wird es gut veranlagten Leuten fallen, hinter anderen visuellen
Mustern die Klänge zu 'hören'.
Der Komponist bekam ein Bild des Spektrums vom Wasserstoff zu sehen und hatte
sofort im inneren Ohr die entsprechende Tonfolge.
Er brauchte nicht unbeholfen mit m und n
herumzurechnen wie dieser unbegabte Schreiberling.
Belanglos ist, ob man die Folge der Frequenzen oder der Wellenlängen malt.
Die eine zeigt gewissermaßen das Spiegelbild der anderen.
Strauss hörte, was er sah, und das Motiv vom Till Eulenspiegel war fertig.
Synästhesie heißt diese Fähigkeit. Es gibt eine Ton-Farb-Synæsthesie
(siehe Wikipedia), die bei manchen Komponisten dokumentiert wurde.
-Gluedrop15:22, 22. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Farbige Klaviatur des Synästhetikers Alexander Skrjabin
Soweit ich weiß, hat Richard Strauss absolut gehört. Das heißt allerdings nicht unbedingt, dass er wie Alexander Skrjabin auch eine Farb-Tonhöhen-Synästhesie hatte. Ferner haben Betroffene wohl auch sehr individuelle Zuordnungen - zumindest bei den wenigen Personen, die ich kenne, ist das so. Die Farbzuordnungen von Skrjabin sind zwar überliefert, würden aber beispielsweise nicht zum Wasserstoffspektrum passen... --Bautsch21:13, 22. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Klar hatte R.Strauss kein Farbfoto. Am einfachen Linienbild hat er sich vorgestellt, wo der Finger auf einem Saiteninstrument ist. Eine hypothetische Gitarrensaite sei 1000 mm lang und schwinge auf Ton C. Ein Schwarzweiß-Bild der Balmer-Wellenlängen sei auf genau 400 mm gespreizt.
0 250 332 370 405 Saite. Bund für den Ton (mm, für: C F G Gis A)
0 262 342 379 400 Balmer-Wellenlänge (längste bei 0, kürzeste bei 400)
Nette Idee. Wenn ich das richtig verstanden habe, würde ich am Monochord allerdings eher die frei schwingenden Saitenlängen 1000, 750, 667, 625 und 600 Millimeter nennen, bei denen die reinen Intervalle erklingen. Die Balmer-Serie wäre dann durch die Saitenlängen 1000, 740,7, 661,4, 625 und 604,9 Millimeter repräsentiert. --Bautsch10:02, 24. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Eine Bildmontage (kann jemand Gimp oder Photoshop?) könnte eine Gitarre unter dem Spektrum so zoomen, dass die Linien auf die korrekten Bünde zeigen. Die Naturlehre käme ohne Rechnen/Tabellen rüber: Wenn hier Wellenlängen zu Saitenlängen proportional sind, dann gilt dasselbe für die Kehrwerte, folglich die Frequenzen. --Gluedrop16:20, 24. Mär. 2021 (CET)Beantworten
Als vorläufige Unterseite noch was zu den Stimmungen, mit einer Analyse der Schwebung.
Es wird etwas(?) gerechnet, um formal zu zeigen, dass Instrumente
mit Schwebungen zu stimmen sind. (Auf de.wikipedia nichts Handfestes.)
Die Idee wäre, die anderen oben angefangenen Zugaben auch dahin zu packen,
dann die Unterseite zu verschieben/verlinken.
Doch jede zusätzliche Gleichung in einem Buch
halbiert die Leserschaft, so geht das Gerücht. --Gluedrop15:32, 31. Mär. 2021 (CEST)Beantworten
Ich selbst habe freilich keine Furcht vor Formeln und finde das sehr gut als Ergänzung zum Thema, weiß allerdings noch nicht, wann ich in den nächsten Tagen dazu komme, das alles im Detail durchzulesen. Spontan fiel mir zu diesem Kontext hier übrigens folgende Veröffentlichung von 1893 ein, die ich vor mehreren Jahren einmal entdeckt hatte:
Nach einiger Überlegung würde ich vorschlagen, ein völlig eigenständiges Wikibook daraus zu machen, auf das dann natürlich ganz genauso verwiesen werden kann. --Bautsch22:10, 31. Mär. 2021 (CEST)Beantworten
Letzter Kommentar: vor 4 Jahren2 Kommentare2 Personen sind an der Diskussion beteiligt
Eine weitere Unterseite lege ich hier in Form eines Verschiebe-Kandidaten an. Das Publikum wird da mit Physik belästigt und dem Drum und Dran, wie die Dinge harmonisch und nicht so harmonisch schwingen.