Ausschöpfungen, Dynkin-Systeme, Eindeutigkeitssatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir leiten Voraussetzungen her, unter denen ein Maß auf einer -Algebra durch die Werte auf einem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Wir lernen Dynkin-Systeme kennen und ihren Zusammenhang zu -Algebren, und beweisen den Eindeutigkeitssatz für Maße.

Problem[Bearbeiten]

Das Ausgangsproblem, weshalb wir uns überhaupt mit der Fortsetzung von Mengenfunktionen zu Maßen beschäftigt haben, war das Definieren eines Maßes mit gewissen Eigenschaften. Dieses soll möglichst vielen Teilmengen einer Grundmenge ein Maß zuordnen. Möglicherweise sollen zusätzliche Bedingungen erfüllt sein, etwa dass den achsenparallelen Quadern des ihr elementargeometrischer Inhalt zugeordnet wird. Im Allgemeinen ist zunächst aber unklar, ob ein Maß mit den gewünschten Eigenschaften überhaupt existiert. Wenn ja, bleibt zu klären, auf welcher -Algebra es definiert ist und wie man es "hinschreiben" kann. Unser Ansatz war deshalb, die gewünschte Funktion erst auf einem kleineren Mengensystem zu definieren, sodass die gewünschten Eigenschaften gelten. Im Beispiel mit den Quadern könnte das beispielsweise bedeuten, als das Mengensystem der achsenparallelen Quader zu wählen und als die Mengenfunktion, die jedem dieser Quader seinen elementargeometrischen Inhalt zuordnet.

Mit dem Fortsetzungssatz wissen wir nun, unter welchen Bedingungen eine Mengenfunktion zu einem Maß auf der von erzeugten -Algebra fortgesetzt werden kann. Für den Beweis des Fortsetzungssatzes wurde mit dem äußeren Maß eine mögliche Fortsetzung explizit angegeben. Unklar ist aber noch, ob es weitere Möglichkeiten gibt, zu einem Maß auf fortzusetzen. Mit anderen Worten, uns interessiert, ob ein Maß auf der -Algebra durch die Werte auf dem kleineren Mengensystem schon eindeutig bestimmt ist.

Um diese Frage mathematisch zu untersuchen, formulieren wir sie um: Seien und Maße auf der von einem Mengensystem erzeugten -Algebra . Weiter seien und auf gleich, das bedeutet für alle . Unter welchen Bedingungen gilt dann auf der ganzen -Algebra ?

Das Prinzip der guten Mengen[Bearbeiten]

Wir werden schrittweise vorgehen, um Bedingungen an den Erzeuger und die beiden Maße und zu finden, unter denen Eindeutigkeit vorliegt. Dafür betrachten wir das Mengensystem

Es enthält alle "guten" Mengen, d.h. alle Mengen aus (dem Definitionsbereich von und ), auf denen und übereinstimmen. Das Ziel ist es, geeignete Bedingungen an bzw. sowie zu stellen, sodass ganz ist, dass also alle Mengen aus "gut" sind: Dann sind und gleich auf ihrem gesamten Definitionsbereich. Dafür reicht es, Bedingungen zu finden, sodass eine -Algebra ist: Da nach Annahme für alle erfüllt ist, gilt . Wenn eine -Algebra ist, folgt dann wegen der Monotonie und Idempotenz des -Operators.

Diese Art von Vorgehen wird häufig benutzt, um zu zeigen, dass eine gegebene Eigenschaft für alle Mengen eines Mengensystems (meist eine -Algebra) erfüllt ist. Es wird "Prinzip der guten Mengen" genannt und funktioniert so:

Angenommen, man kann nur Aussagen über einen Erzeuger von treffen, etwa weil nur über den Erzeuger charakterisiert werden kann. Ein Beispiel dafür ist die Borelsche -Algebra, die viel zu groß ist, um sie anders als über Erzeuger hinzuschreiben. Dann muss man indirekt vorgehen, um eine gewisse Eigenschaft für ganz zu zeigen. Dafür betrachtet man das Mengensystem der "guten Mengen". Dann zeigt man

  • ist eine -Algebra.
  • enthält einen Erzeuger von .

Dann ist , d.h. alle Mengen in sind "gut":

Satz (Prinzip der guten Mengen)

Sei eine -Algebra und sei das Mengensystem aller Mengen aus , für die eine gegebene Eigenschaft zutrifft. Es gelte

  • ist eine -Algebra.
  • enthält einen Erzeuger von .

Dann gilt die Eigenschaft für alle Mengen aus , d.h. es ist .

Beweis (Prinzip der guten Mengen)

Es ist . Da ein Erzeuger von ist, folgt aus der Monotonie und der Idempotenz des -Operators .

Hinweis

Das Prinzip der guten Mengen kann auch für andere Arten von Mengensystemen benutzt werden (nicht nur für -Algebren). Zum Beispiel kann es auch auf den von einem Mengensystem erzeugten Ring oder -Ring angewendet werden.

In unserem Fall enthält die Mengen der guten Mengen alle die Mengen , auf denen die Maße und übereinstimmen. Die Gleichheit der Maße auf dem Erzeuger ist bekannt, also gilt . Jetzt suchen wir noch Bedingungen, sodass eine -Algebra wird. Wir wollen also Voraussetzungen an den Erzeuger und die beiden Maße finden, sodass gilt

  • Die Grundmenge ist in enthalten.
  • ist komplementstabil.
  • ist vereinigungsstabil bezüglich abzählbaren Vereinigungen.

Existenz einer Ausschöpfung[Bearbeiten]

Jede -Algebra enthält die Grundmenge , also sollte in der Menge der guten Mengen liegen. Das heißt, es sollte für die beiden Maße und gelten. Im Allgemeinen muss das nicht der Fall sein, selbst wenn die beiden Maße auf übereinstimmen:

Beispiel (Maß der Grundmenge nicht eindeutig bestimmt)

Sei das Mengensystem aller einelementigen Teilmengen von :

Die davon erzeugte Sigma-Algebra ist

(Das wird im Artikel über erzeugte -Algebren bewiesen.) Wir definieren auf die beiden Maße und mit

Dann sind und auf dem Erzeuger gleich, aber nicht auf ganz . Sie sind also durch die Angabe der Werte auf noch nicht eindeutig bestimmt. Insbesondere ist .

Man kann dieses Beispiel noch verallgemeinern: Sei eine Menge und . Die von erzeugte -Algebra ist . Sei das Nullmaß darauf, und sei für ein das Maß durch definiert. Es gilt , also stimmen und auf überein. Aber .

Durch welche Bedingung an den Erzeuger oder die beiden Maße können wir also erreichen, dass gilt?

Idee und Definition der Ausschöpfung[Bearbeiten]

Wir wissen, dass die Maße und auf den Mengen aus übereinstimmen. Die Idee ist, die Grundmenge mit höchstens abzählbar vielen Mengen aus zu überdecken, d.h. ihre Vereinigung soll sein.

Beispiel (Überdeckungen von )

  • Die Mengen sind weder paarweise disjunkt noch ineinander enthalten.
  • Die Mengen sind paarweise disjunkt.
  • Die Mengen sind aufsteigend ineinander enthalten.

Nun wollen wir aus für alle (das gilt, da diese Mengen aus sind) folgern, dass auch gilt. Dafür sollten die entweder paarweise disjunkt oder aufsteigend ineinander enthalten sein:

  • Falls die paarweise disjunkt sind, können wir die -Additivität von Maßen benutzen:
  • Falls sie aufsteigend ineinander enthalten sind (d.h. ), bilden sie eine monotone Mengenfolge mit Grenzwert . Dann können wir die Stetigkeit der Maße und benutzen:

Falls keiner der beiden Fälle vorliegt, kann man nicht mehr unbedingt aus für alle folgern. Wir betrachten den Fall, wo die aufsteigend ineinander enthalten sind und definieren den Begriff der Ausschöpfung:

Definition (Ausschöpfung)

Sei eine Menge und seien Teilmengen für jedes mit . Gilt , so heißt die Folge eine Ausschöpfung von .

Beispiel (Ausschöpfung)

Für und gibt es die Ausschöpfung mit .

Wegen der Stetigkeit von Maßen gilt also: Wenn eine Ausschöpfung von enthält, dann gilt .

Zwischenresultat[Bearbeiten]

Wir haben die folgende erste Bedingung an das Mengensystem gefunden:

Um sicherzustellen, dass die Grundmenge in der "Menge der guten Mengen" liegt, dass also gilt, fordern wir, dass eine Ausschöpfung von enthält.

Hinweis

Die Bedingung ist automatisch erfüllt, wenn gilt, z.B. wenn und Wahrscheinlichkeitsmaße sind: Dann kann man von vorneherein annehmen.

Die Mengen der Ausschöpfung haben endliches Maß[Bearbeiten]

Wir haben nun mit der Forderung, dass es eine Ausschöpfung von mit Mengen aus geben soll, sichergestellt, dass die Grundmenge in der "Menge der guten Mengen" liegt. Es bleibt zu untersuchen unter welchen Bedingungen abgeschlossen unter Bildung von Differenzen und abzählbaren Vereinigungen ist. Untersuchen wir dafür zunächst, unter welchen Operationen mit unseren bisherigen Voraussetzungen schon abgeschlossen ist:

Untersuchung von Vereinigungen[Bearbeiten]

Seien und zwei Mengen aus der Menge der guten Mengen . Es gilt also und genauso für . Wir betrachten ihre Vereinigung. Die Sache sieht gut aus, wenn ist (oder umgekehrt): In diesem Fall ist und es ist auch wieder in der Menge der guten Mengen .

Eine Menge '"`UNIQ--postMath-000000CF-QINU`"' ändert sich nicht, wenn man die Menge '"`UNIQ--postMath-000000D0-QINU`"' hinzufügt

Genauso ist der Wert der Vereinigung von und eindeutig bestimmt, wenn die beiden Mengen disjunkt sind: In dem Fall muss wegen der Additivität von und

gelten. Die disjunkte Vereinigung ist also ebenfalls eindeutig messbar und liegt wieder in .

Die disjunkten Mengen '"`UNIQ--postMath-000000D7-QINU`"' und '"`UNIQ--postMath-000000D8-QINU`"' werden vereinigt

Nutzen wir zusätzlich die -Additivität von Maßen aus, kennen wir sogar das Maß von abzählbar unendlichen Vereinigungen von disjunkten Mengen. Für eine Folge paarweise disjunkter Mengen gilt dann wegen der -Additivität der Maße und

Untersuchung von Differenzenbildung[Bearbeiten]

Seien wieder und zwei Mengen aus , d.h. es gelte , . Wie schon bei der Vereinigung liegt auch die Differenz der beiden Mengen wieder in , wenn und disjunkt sind. Dann ist nämlich und es gilt . (Genauso mit den Rollen von und vertauscht.)

Aus '"`UNIQ--postMath-000000EB-QINU`"' wird eine dazu disjunkte Menge '"`UNIQ--postMath-000000EC-QINU`"' geschnitten

Im Fall ist die Differenz von und gleich , liegt wegen also wieder in . Außerdem gilt wegen der Additivität des Maßes :

In der ersten Gleichheit haben wir benutzt, dass eine Teilmenge von ist. Dasselbe gilt für das Maß anstelle von . Umstellen der obigen Formel zusammen mit und liefert

Aus '"`UNIQ--postMath-000000FC-QINU`"' wird eine darin enthaltene Menge '"`UNIQ--postMath-000000FD-QINU`"' geschnitten

Aber hier müssen wir aufpassen! Wenn und unendliches Maß haben, erhalten wir in der Mitte der Gleichung den undefinierten Ausdruck "".

Beispiel ( ist nicht definiert)

Wir betrachten das Maß , das durch die elementargeometrische Länge auf definiert wird. (Dass ein solches Maß existiert, wissen wir nach dem Fortsetzungssatz.) Für die beiden Mengen und ist . Also folgt , wir haben also in diesem Fall "".

Dagegen gilt für die Mengen , dass ist. Also ist und wir haben "".

Das zeigt, dass wir im Allgemeinen nichts über den Wert von aussagen können.

Untersuchung von Mengendifferenzen von Mengen unendlichen Maßes[Bearbeiten]

Ein Ausweg aus diesem Problem ist, und durch aufsteigende Folgen von Mengen endlichen Maßes anzunähern und einen Grenzübergang zu machen. Dafür sollten die Mengen der Mengenfolge ebenfalls gute Mengen sein. Das Maß der Differenzen könnten wir dann wie oben berechnen, da und beide endlich sind. Doch wir müssen aufpassen: Damit das geht, muss auch für die Mengenfolgen die Teilmengenbeziehung für alle gelten. Wir können also die Folgen und nicht einfach irgendwie wählen. Wir brauchen, dass sie "gleich schnell" wachsen und und gleich schnell approximieren.

Erinnerung: Wir haben angenommen, dass es eine Ausschöpfung der Grundmenge mit Mengen aus dem Mengensystem gibt, also eine monoton wachsende Mengenfolge in mit Grenzwert . (Das war, um zu garantieren.)

Dann bilden die Mengen ebenfalls eine aufsteigende Mengenfolge mit Grenzwert

.

Eine Ausschöpfung von '"`UNIQ--postMath-00000123-QINU`"' durch die Mengen '"`UNIQ--postMath-00000124-QINU`"'

Gleiches gilt für die Folge . Außerdem gilt wegen auch , die Teilmengenbeziehung ist also für jedes Folgenglied erfüllt. Wegen ist die Folge der ist ebenfalls monoton wachsend.

Wir wollen nun dieselbe Rechnung wie bei den Differenzen von Mengen endlichen Maßes benutzen

und dann einen Grenzübergang machen. Dafür brauchen wir:

  • und für alle . Das heißt, Schnitte von Mengen mit den sollen in liegen.
  • Jede Menge der Ausschöpfung hat endliches Maß, d.h. für alle . Nur dann können wir wegen der Monotonie sicher sein, dass auch und ist, und das war ja das Ziel.

Hinweis

Beachte, dass die Endlichkeit einer Ausschöpfung immer mit dem betrachteten Maß zusammenhängt. Zum Beispiel ist die Ausschöpfung endlich bzgl. , aber nicht bzgl. des Maßes , dass jeder Menge außer den Wert zuordnet.

Wenn und diese Bedingungen erfüllen, können wir die ursprüngliche Differenz berechnen ():

Beachte, dass wir Differenz und Maß nur vertauschen konnten, weil die Mengen endliches Maß hatten. Das konnten wir für die Mengen mit unendlichem Maß nicht tun. Dafür mussten wir konstruieren.

Schnitt von zwei Ausschöpfungen der Mengen '"`UNIQ--postMath-00000144-QINU`"' und '"`UNIQ--postMath-00000145-QINU`"'

Dass man bei der Eindeutigkeit von Maßen im Allgemeinen nicht darauf verzichten kann, das die Mengen der Ausschöpfung endliches Maß haben, zeigt ein Beispiel.

Beispiel

Wir betrachten das Mengensystem der halboffenen Intervalle in

Dieses erzeugt eine -Algebra (die Borelsche -Algebra), welche auch alle einelementigen Teilmengen von enthält. Betrachte nun die zwei auf definierten Maße und mit

und

für alle . ( ist also das triviale Maß, das nur die Werte und annimmt, während die Anzahl der in enthaltenen rationalen Zahlen zählt.) Weil dicht in liegt, stimmen und auf dem Mengensystem überein. Ferner existiert die Ausschöpfung von ganz mit für alle .

Die beiden Maße und sind nicht gleich auf der von erzeugten Sigma-Algebra: Für alle einelementigen Mengen gilt , aber oder . Also sind die Maße bzw. durch ihre Werte auf noch nicht eindeutig bestimmt.

Zwischenresultat[Bearbeiten]

Wir halten unsere bisherigen Überlegungen fest:

  • Die "Menge der guten Mengen" ist schon abgeschlossen unter (höchstens abzählbar unendlichen) disjunkten Vereinigungen; Vereinigungen von Mengen, die Teilmengen voneinander sind; Differenzen disjunkter Mengen; sowie Differenzen von Mengen, die Teilmengen voneinander sind und endliches Maß haben.
  • Um sicherzustellen, dass die Grundmenge in liegt, dass also gilt, fordern wir, dass eine Ausschöpfung von enthält.
  • damit auch Differenzen von Mengen mit unendlichem Maß, die Teilmengen voneinander sind, wieder in liegen, fordern wir, dass die Mengen der Ausschöpfung alle endliches Maß haben und dass für alle Schnitte wieder in liegen.

Außer diesen Bedingungen und machen wir keine Anforderungen an , und .

Die letzte Bedingung ist etwas unbefriedigend, denn sie beinhaltet . Aber wir wollen Voraussetzungen finden, die sich nur auf die von vorneherein gegebenen Maße bzw. den Erzeuger beziehen. Wir werden noch daran arbeiten und die Bedingung später abschwächen.

Hinweis

Die Forderungen mit der Ausschöpfung ist insbesondere direkt erfüllt, wenn gilt, z.B. wenn und Wahrscheinlichkeitsmaße sind. Dann ist eine monoton steigende Folge aus Mengen mit endlichem Maß, mit Grenzwert .

Dynkin-Systeme[Bearbeiten]

Wie bisher sei das Mengensystem der guten Mengen, auf denen die beiden Maße und übereinstimmen. Setzen wir voraus, dass die Bedingungen aus dem vorherigen Zwischenresultat erfüllt sind, dann wissen wir nun, dass die beiden Maße auf den folgenden Mengen gleich sind:

  • Die Grundmenge : Das ist durch die Ausschöpfung garantiert.
  • Vereinigungen endlich oder abzählbar unendlich vieler, paarweise disjunkter Mengen in : Das gilt wegen der -Additivität und Stetigkeit der Maße und .
  • Differenzen von Mengen aus , von denen eine in der anderen enthalten ist: Das ist durch die Endlichkeit der Ausschöpfung garantiert und durch die Bedingung, dass Schnitte von Mengen aus mit Mengen der Ausschöpfung wieder in liegen.

Damit können wir das Mengensystem der "guten Mengen" schon genauer charakterisieren. Es enthält die Grundmenge und ist abgeschlossen unter den Operationen disjunkte Vereinigung und Differenz ineinander enthaltener Mengen. Ein Mengensystem mit diesen Eigenschaften heißt "Dynkin-System".

Definition[Bearbeiten]

Das Dynkin-System im Vergleich zu den bereits kennen gelernten Mengensystemen

Definition (Dynkin-System)

Ein Mengensystem heißt Dynkin-System, falls gilt:

  1. für je zwei Mengen mit ist
  2. für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen gilt .

Hinweis

Es folgt direkt aus der Definition, dass jede -Algebra ein Dynkin-System ist. Die umgekehrte Richtung gilt nicht: Im Allgemeinen ist ein Dynkin-System noch keine -Algebra, denn es fehlt die Abgeschlossenheit unter nicht-disjunkten abzählbaren Vereinigungen.

Eine äquivalente Charakterisierung eines Dynkin-Systems ist die folgende. Sie wird in den meisten Skripten verwendet und ist etwas einfacher nachzuprüfen.

Satz

Ein Mengensystem ist genau dann ein Dynkin-System, falls gilt:

  1. für jede Menge gilt auch
  2. für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen gilt .

Beweis

Sei ein Dynkin-System im Sinne der Definition oben. Punkt 1. und 3. im Satz sind identisch mit der Definition. Wir müssen nur Punkt 2. zeigen. Sei also beliebig. Es gilt und , also folgt aus Eigenschaft 2. der Definition, dass auch ist.

Es seien umgekehrt die drei Eigenschaften aus dem Satz erfüllt. Wir zeigen, dass dann ein Dynkin-System im Sinne der Definition oben ist. Auch hier müssen wir nur Punkt 2. zeigen. Seien also mit beliebig. Es gilt . Die Vereinigung auf der rechten Seite ist disjunkt wegen . Nach Annahmen 2. und 3. liegt die Menge somit in .

Mit den Voraussetzungen aus dem Zwischenresultat des vorherigen Abschnitts ist also schon ein Dynkin-System. Alles, was noch zu einer -Algebra fehlt ist die Abgeschlossenheit unter beliebigen abzählbaren Vereinigungen.

Da die beiden Maße und auf dem Erzeuger übereinstimmen, gilt außerdem . Also liegt auch das von erzeugte Dynkin-System in der Menge der guten Mengen , welches analog zur erzeugten -Algebra definiert wird:

Definition (erzeugtes Dynkin-System)

Sei eine Menge und ein Mengensystem. Das Dynkin-System

heißt das von erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, das enthält.

Wie schon bei der Definition der erzeugten -Algebra müssen wir uns davon überzeugen, dass wohldefiniert ist. Das kann man komplett analog zu dem Beweis machen, den wir schon für erzeugte -Algebren geführt haben.

Satz

Der Schnitt in der obigen Definition ist nicht leer. Ferner ist der Schnitt von beliebig vielen Dynkin-Systemen wieder ein Dynkin-System.

Hinweis

Genau wie bei erzeugten -Algebren gelten die folgenden Eigenschaften für das von einem Mengensystem erzeugte Dynkin-System:

  1. Extensivität:
  2. Minimalität: ist das kleinste Dynkin-System, das enthält. Ist ein Dynkin-System, so gilt .
  3. Idempotenz:
  4. Monotonie:

Beispiele[Bearbeiten]

Hier sind ein paar Beispiele für Dynkin-Systeme:

Beispiel (-Algebren)

Es folgt direkt aus der Definition, dass jede -Algebra auch ein Dynkin-System ist.

Umgekehrt ist aber nicht jedes Dynkin-System eine -Algebra:

Beispiel (Teilmengen gerader Kardinalität)

Sei eine gerade Zahl und eine Menge mit genau Elementen. Das Mengensystem

ist ein Dynkin-System:

Da gerade ist, ist .

Sind mit , dann ist gerade, da gerade sind.

Da endlich ist, brauchen wir für die dritte Bedingung nur Vereinigungen endlich vieler disjunkter Mengen zu betrachten. Seien paarweise disjunkte Mengen, die jeweils eine gerade Anzahl an Elementen enthalten. Dann enthält wegen der Disjunktheit auch die Vereinigung eine gerade Anzahl an Elementen und liegt also in .

ist aber keine -Algebra: Seien drei verschiedene Elemente (diese existieren, da nach Annahme ). Dann gilt , aber ihre Vereinigung enthält eine ungerade Zahl an Elementen, liegt also nicht in .

Motivation für die Durchschnittstabilität[Bearbeiten]

Wir haben uns Bedingungen überlegt, unter denen das Mengensystem der "guten" Mengen ein Dynkin-System ist, d.h.

  • es enthält die Grundmenge,
  • es ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen,
  • es ist abgeschlossen unter Bildung von (abzählbaren) disjunkten Vereinigungen.

Da wir annehmen, dass die Maße und auf dem Erzeuger übereinstimmen, gilt . Da selbst ein Dynkin-System ist, liegt somit auch das von erzeugte Dynkin-System in .

Es soll gelten, damit und auf ihrem gesamten Definitionsbereich übereinstimmen. Deshalb wollen wir erreichen, dass nicht nur ein Dynkin-System, sondern eine -Algebra ist. Was ist also mit der Abgeschlossenheit unter nicht-disjunkten endlichen/abzählbar unendlichen Vereinigungen? Schauen wir zuerst endliche Vereinigungen an. Seien gute Mengen (d.h. und ), nicht disjunkt und weder noch .

Vereinigung von zwei Mengen, die sich überlappen

Es gilt und , aber es ist noch nicht klar, ob auch gilt. Theoretisch kommt sogar jeder Wert infrage, welcher die Monotonie von nicht verletzt, d. h. solange und gilt.

Welche Bedingung muss noch erfüllt sein, damit gilt? Es genügt, wenn der Schnitt wieder eine gute Menge ist, d.h. : Falls und beide endliches Maß haben, gilt dann

Falls eine der beiden Mengen unendliches Maß hat, gilt die Gleichheit sowieso. Schnitte von guten Mengen sollten also wieder gute Mengen sein.

Ein Mengensystem, das abgeschlossen unter Bildung von (endlichen) Schnitten ist, heißt durchschnittstabil:

Definition (Durchschnittstabilität eines Mengensystems)

Ein Mengensystem heißt durchschnittstabil (oder: schnittstabil), falls gilt:

Hinweis

Induktiv ist das Mengensystem dann auch unter endlichen Schnitten von mehr als 2 Mengen abgeschlossen.

Ist die Durchschnittstabilität des Systems der guten Mengen zusätzlich zu unseren bisherigen Bedingungen schon genug, damit es eine -Algebra ist? Angenommen, ist durchschnittstabil. Die vorherige Überlegung für zwei Mengen lässt sich per Induktion ausdehnen auf beliebige endliche Vereinigungen von guten Mengen: Seien gute Mengen, d.h. für alle . Wir nehmen außerdem wieder an, dass alle endliches Maß haben, andernfalls gilt die Gleichheit sowieso. Dann gilt

Mithilfe der Durchschnittstabilität ist also schon abgeschlossen unter beliebigen endlichen Vereinigungen.

Abzählbar unendliche Vereinigungen kann man "künstlich" disjunkt machen, indem man aus jeder Menge die vorhergehenden herausnimmt: Definiere

dann ist eine disjunkte Vereinigung von Mengen. Sind die aus , dann auch die so definierten , wenn durchschnittstabil ist: Nach dem Vorherigen liegt die endliche Vereinigung in , also auch das Komplement dieser Menge ( ist ein Dynkin-System), und wegen der Schnittstabilität auch der Schnitt davon mit . Und da als Dynkin-System abgeschlossen unter abzählbaren disjunkten Vereinigungen ist, ist dann auch eine gute Menge.

Diese Überlegungen zeigen: Wenn das Dynkin-System zusätzlich durchschnittstabil ist, ist es auch abgeschlossen unter beliebigen, höchstens abzählbaren Vereinigungen, also eine sigma-Algebra. Wir fassen das in einem Satz zusammen:

Satz

Jedes durchschnittstabile Dynkin-System ist eine -Algebra.

Beweis

Sei ein durchschnittstabiles Dynkin-System. Dann ist sowie die Komplementstabilität gegeben. Was von den -Algebra-Eigenschaften zu zeigen übrig bleibt, ist die Vereinungsstabilität bezüglich abzählbarer Vereinigungen. Diese ist bisher nur für paarweise disjunkte Vereinigungen gegeben. Wir bemerken zunächst, dass wegen aus der Komplementstabilität und der Schnittstabilität von die Differenzstabilität folgt.

Sei nun eine beliebige Folge von Mengen in . Wir definieren nun mit , für alle . Es gilt, da für alle gilt,

Mit einem einfachen Induktionsargument folgt daraus und schließlich .

Insbesondere folgt aus der Konstruktion der Folge , dass Folgeglieder dieser Folge paarweise disjunkt sind. Es ist natürlich . Angenommen es gilt . Dann folgt mit der Stabilität bezüglich disjunkter Vereinigungen, dass ist. Mit der Differenzstabilität folgt weiter . Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist dann für alle .

Da aber die zusätzlich paarweise disjunkt waren, folgt aus der disjunkten, abzählbaren Vereinigungsstabilität, dass gilt.

Daraus folgt

Zwischenresultat[Bearbeiten]

Wir halten wieder unsere bisherigen Resultate fest:

  • Um sicherzustellen, dass die Grundmenge in der Menge der guten Mengen liegt, dass also gilt, fordern wir, dass eine Ausschöpfung von enthält.
  • Damit auch Differenzen von Mengen mit unendlichem Maß, die Teilmengen voneinander sind, wieder in liegen, fordern wir, dass die Mengen der Ausschöpfung alle endliches Maß haben und dass für alle Schnitte wieder in liegen.
  • Mit diesen zwei Bedingungen ist schon ein Dynkin-System. Damit es eine -Algebra ist, soll schnittstabil sein, also Schnitte von guten Mengen wieder gut sein.

Außer diesen Bedingungen und machen wir keine Anforderungen an , und .

Hinweis

Während wir zuvor beim zweiten Punkt noch gefordert hatten, dass für alle Schnitte wieder in liegen, ist das jetzt wegen der dritten Bedingung nicht mehr nötig.

Als nächstes überlegen wir uns, durch welche zusätzliche Bedingung an , oder wir erreichen können, dass durchschnittstabil ist.

Durchschnittstabilität des Erzeugers[Bearbeiten]

Wir haben Bedingungen an die Maße und den Erzeuger gefunden, mit denen die Menge der guten Mengen ein Dynkin-System ist. Insbesondere enthält damit wegen das von erzeugte Dynkin-System . Wir wollen, dass auch gilt. Dafür reicht es, zusätzlich Voraussetzungen zu finden, unter denen durchschnittstabil ist: Da jedes durchschnittstabile Dynkin-System eine -Algebra ist, folgt dann , und wir sind fertig.

Unter welchen Bedingungen ist also das von erzeugte Dynkin-System durchschnittstabil? Das hängt offenbar nur von den Eigenschaften des Mengensystems ab, nicht von den Maßen oder . Tatsächlich reicht es, wenn durchschnittstabil ist. Das hat damit zu tun, dass die Schnittoperation mit den Operationen Vereinigung und Komplement eines Dynkin-Systems verträglich ist und sich die Schnittstabilität so vom Erzeuger auf das erzeugte Dynkin-System fortpflanzt. Wir zeigen das in dem folgenden Satz.

Satz

Jedes von einem durchschnittstabilen Mengensystem erzeugte Dynkin-System ist durchschnittstabil.

Beweis

Für definieren wir , also die Menge der Mengen in unserem Dynkin-System, die durchschnittstabil "im Bezug auf " sind. Per Definition gilt für jedes . Jetzt zeigen wir zwei Dinge:

  1. ist ein Dynkin-System für alle .
  2. für alle .

Denn haben wir diese Aussagen gezeigt, so folgt , also . Hier haben wir im zweiten Schritt die Monotonie und im dritten Schritt die Idempotenz des -Operators verwendet. Sind jetzt beliebig, so wissen wir wegen insbesondere, dass gilt, also . Damit ist die Durchschnittstabilität gezeigt.

Zeigen wir also nun die nötigen Aussagen.

Beweisschritt: ist ein Dynkin-System für alle .

Sei beliebig. Es gilt offensichtlich , also .

Sei beliebig. Dann gilt . Des Weiteren ist wegen natürlich auch . Daraus folgern wir

Dies ist als Komplement einer disjunkten Vereinigung von zwei Elementen aus ebenfalls ein Element aus und damit gilt , d.h. ist komplementstabil.

Sei nun eine Folge paarweiser disjunkter Mengen in . Dann gilt für alle , dass . Die Folge ist ebenfalls eine Folge paarweise disjunkter Mengen in . Aus der Stabilität von unter abzählbaren disjunkten Vereinigungen folgt

Also ist . Damit sind die drei Eigenschaften eines Dynkin-Systems erfüllt und wir sind fertig.

Beweisschritt: für alle .

Sei beliebig. Sei beliebig. Dann gilt für alle aufgrund der Durchschnittstabilität von , dass gilt. Insbesondere ist also . Da beliebig war heißt das, es gilt . Da wie zuvor gezeigt ein Dynkin-System ist, folgt auch . Weiter gilt . Das heißt und somit auch . Da beliebig war, folgt .

Da jedes durchschnittstabile Dynkin-System eine -Algebra ist, folgt direkt:

Satz

Ist ein durchschnittstabiles Mengensystem, so gilt .

Dieser Zusammenhang von Dynkin-Systemen und -Algebren ist sehr nützlich und vereinfacht viele Beweise über Maße. Das liegt daran, dass man bei Dynkin-Systemen die -Additivität des Maßes ausnutzen kann, da nur disjunkte Vereinigungen betrachtet werden müssen. Im Beweis des Eindeutigkeitssatzes werden wir gleich ein erstes Beispiel sehen, wo es dadurch möglich wird, die gewünschte Aussage zu zeigen.

Zwischenresultat[Bearbeiten]

Wir fassen die Bedingungen zusammen, die wir gefunden haben, um , also Gleichheit von und auf ganz zu bekommen:

  • Um sicherzustellen, dass die Grundmenge in der Menge der guten Mengen liegt, dass also gilt, fordern wir, dass eine Ausschöpfung von enthält.
  • Damit auch Differenzen von Mengen mit unendlichem Maß, die Teilmengen voneinander sind, wieder in liegen, fordern wir, dass die Mengen der Ausschöpfung alle endliches Maß haben.
  • Damit das von erzeugte Dynkin-System durchschnittstabil, also eine -Algebra ist, fordern wir, dass der Erzeuger durchschnittstabil ist.

Im Allgemeinen kann man nicht auf die Durchschnittstabilität von verzichten, wenn die Maße und auch auf übereinstimmen sollen, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel

Seien die Grundmenge und das Mengensystem gegeben. Dann ist nicht durchschnittstabil, denn es ist . Betrachte die beiden (Wahrscheinlichkeits-)Maße

Dabei bezeichnet das Dirac-Maß, welches definiert ist durch

Dann stimmen und auf überein. Außerdem gibt es wegen eine endliche Ausschöpfung der Grundmenge. Trotzdem sind und nicht gleich auf der von erzeugten -Algebra: Diese enthält die Menge , und es ist .

Eindeutigkeitssatz[Bearbeiten]

Wir können jetzt den Eindeutigkeitssatz formulieren und beweisen.

Satz (Eindeutigkeitssatz)

Seien und zwei Maße auf der -Algebra über der Grundmenge . Es gebe einen Erzeuger von mit folgenden Eigenschaften:

  • und stimmen auf überein, d.h. für alle ,
  • Es gibt in eine Ausschöpfung von mit Mengen endlichen Maßes: Eine monoton steigende Folge mit Grenzwert und ,
  • ist durchschnittstabil, d.h. .

Dann gilt auf ganz . Insbesondere ist also ein Maß dann schon durch die Werte auf eindeutig bestimmt.

Beweis (Eindeutigkeitssatz)

Wir führen den Beweis mit dem "Prinzip der guten Mengen" und definieren das Mengensystem . Es enthält diejenigen Mengen aus , auf denen und übereinstimmen. Nach Voraussetzung gilt . Wir müssen noch zeigen, dass eine -Algebra ist. Es reicht wegen der Durchschnittstabilität des Erzeugers zu zeigen, dass ein Dynkin-System ist: Dann gilt

wobei wir in der zweiten Gleichheit ausgenutzt haben, dass das von einem durchschnittstabilen Mengensystem erzeugte Dynkin-System eine -Algebra ist. Wir zeigen jetzt die Eigenschaften eines Dynkin-Systems für in zwei Schritten: Zuerst unter der Annahme, dass endliche Maße sind (d.h. für alle ), danach für den allgemeinen Fall.

Beweisschritt: Beweis für den Fall, dass endlich sind

Es gilt : Sei die Ausschöpfung von aus der Voraussetzung, für die für alle gilt. Dann folgt mit der Stetigkeit der beiden Maße , dass .

ist komplementstabil: Sei . Wegen können wir die Subtraktivität ausnutzen und erhalten

ist stabil unter disjunkten Vereinigungen: Sei eine Folge paarweiser disjunkter Mengen in . Unter Ausnutzung der -Additivität von und folgt

Beweisschritt: Beweis des allgemeinen Falls

Wir definieren für die Maße mit und , wobei die Mengen der Ausschöpfung aus der Voraussetzung sind.

Da nach Annahme durchschnittstabil ist und auf gilt, stimmen und ebenfalls auf überein. Ferner sind wegen und analog für die beiden so definierten Maße endlich. Wir können also die schon bewiesene Aussage für den endlichen Fall anwenden und erhalten, dass auf ganz gilt für alle . Der Grenzübergang ergibt, dass auch und auf ganz gleich sind.

Hinweis

Dieser Satz ist ein gutes Beispiel für die Nützlichkeit von Dynkin-Systemen: Wegen der Disjunktheit aller Vereinigungen konnten wir im Beweis bequem die -Additivität der Maße und ausnutzen.

Wegen der Durchschnittstabilität von muss die Mengenfolge der , die ausschöpft, nicht zwingend monoton steigend sein. Es reicht zu fordern, dass es eine Folge gibt, sodass und gilt: Wenn es eine solche Folge gibt, können wir definieren und erhalten eine monoton wachsende Folge mit Grenzwert . Außerdem erfüllen diese Mengen ebenfalls , wie wir im Abschnitt zur Durchschnittstabilität gesehen haben: Die Durchschnittstabilität sorgt dafür, dass und auch auf endlichen (möglicherweise nicht-disjunkten) Vereinigungen übereinstimmen.

Man findet deshalb manchmal auch diese Formulierung des Eindeutigkeitssatzes:

Satz (Eindeutigkeitssatz (alternative Version))

Seien und zwei Maße auf der -Algebra über der Grundmenge . Es gebe einen Erzeuger von mit folgenden Eigenschaften:

  • und stimmen auf überein, d.h. für alle ,
  • Es gibt eine Folge mit und ,
  • ist durchschnittstabil, d.h. .

Dann gilt auf ganz .

Wenn und Wahrscheinlichkeitsmaße sind, dann ist die zweite Bedingung immer automatisch erfüllt: Wegen kann man ohne Einschränkung annehmen und die konstante Folge wählen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie findet man deshalb oft die folgende Version des Eindeutigkeitssatzes:

Satz (Eindeutigkeitssatz für Wahrscheinlichkeitsmaße)

Seien und zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf der -Algebra über der Grundmenge . Es gebe einen durchschnittstabilen Erzeuger von , auf dem und übereinstimmen. Dann gilt auf ganz .