Ausschöpfungen, Dynkin-Systeme, Eindeutigkeitssatz – „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir leiten Voraussetzungen her, unter denen ein Maß auf einer $\sigma$-Algebra durch die Werte auf einem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Wir lernen Dynkin-Systeme kennen und ihren Zusammenhang zu $\sigma$-Algebren, und beweisen den Eindeutigkeitssatz für Maße.

Problem

Das Ausgangsproblem, weshalb wir uns überhaupt mit der Fortsetzung von Mengenfunktionen zu Maßen beschäftigt haben, war das Definieren eines Maßes mit gewissen Eigenschaften. Dieses soll möglichst vielen Teilmengen einer Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ ein Maß zuordnen. Möglicherweise sollen zusätzliche Bedingungen erfüllt sein, etwa dass den achsenparallelen Quadern des ${ℝ}^n$ ihr elementargeometrischer Inhalt zugeordnet wird. Im Allgemeinen ist zunächst aber unklar, ob ein Maß mit den gewünschten Eigenschaften überhaupt existiert. Wenn ja, bleibt zu klären, auf welcher $\sigma$-Algebra es definiert ist und wie man es "hinschreiben" kann. Unser Ansatz war deshalb, die gewünschte Funktion erst auf einem kleineren Mengensystem $𝒞$ zu definieren, sodass die gewünschten Eigenschaften gelten. Im Beispiel mit den Quadern könnte das beispielsweise bedeuten, $𝒞$ als das Mengensystem der achsenparallelen Quader zu wählen und $\mu$ als die Mengenfunktion, die jedem dieser Quader seinen elementargeometrischen Inhalt zuordnet.

Mit dem Fortsetzungssatz wissen wir nun, unter welchen Bedingungen eine Mengenfunktion $\mu :𝒞\to [0,\mathrm{\infty }]$ zu einem Maß auf der von $𝒞$ erzeugten $\sigma$-Algebra $\sigma (𝒞)$ fortgesetzt werden kann. Für den Beweis des Fortsetzungssatzes wurde mit dem äußeren Maß eine mögliche Fortsetzung explizit angegeben. Unklar ist aber noch, ob es weitere Möglichkeiten gibt, $\mu$ zu einem Maß auf $\sigma (𝒞)$ fortzusetzen. Mit anderen Worten, uns interessiert, ob ein Maß $\mu$ auf der $\sigma$-Algebra $\sigma (𝒞)$ durch die Werte auf dem kleineren Mengensystem $𝒞$ schon eindeutig bestimmt ist.

Um diese Frage mathematisch zu untersuchen, formulieren wir sie um: Seien $\mu$ und $\nu$ Maße auf der von einem Mengensystem $𝒞$ erzeugten $\sigma$-Algebra $\sigma (𝒞)$. Weiter seien $\mu$ und $\nu$ auf $𝒞$ gleich, das bedeutet $\mu (A)=\nu (A)$ für alle $A\in 𝒞$. Unter welchen Bedingungen gilt dann $\mu =\nu$ auf der ganzen $\sigma$-Algebra $\sigma (𝒞)$?

Das Prinzip der guten Mengen

Wir werden schrittweise vorgehen, um Bedingungen an den Erzeuger $𝒞$ und die beiden Maße $\mu$ und $\nu$ zu finden, unter denen Eindeutigkeit vorliegt. Dafür betrachten wir das Mengensystem

$𝒢:=\{A\in \sigma (𝒞):\mu (A)=\nu (A)\}.$

Es enthält alle "guten" Mengen, d.h. alle Mengen aus $\sigma (𝒞)$ (dem Definitionsbereich von $\mu$ und $\nu$), auf denen $\mu$ und $\nu$ übereinstimmen. Das Ziel ist es, geeignete Bedingungen an $\mu$ bzw. $\nu$ sowie $𝒞$ zu stellen, sodass $𝒢$ ganz $\sigma (𝒞)$ ist, dass also alle Mengen aus $\sigma (𝒞)$ "gut" sind: Dann sind $\mu$ und $\nu$ gleich auf ihrem gesamten Definitionsbereich. Dafür reicht es, Bedingungen zu finden, sodass $𝒢$ eine $\sigma$-Algebra ist: Da nach Annahme $\mu (C)=\nu (C)$ für alle $C\in 𝒞$ erfüllt ist, gilt $𝒞\subseteq 𝒢$. Wenn $𝒢$ eine $\sigma$-Algebra ist, folgt dann $\sigma (𝒞)\subseteq \sigma (𝒢)=𝒢$ wegen der Monotonie und Idempotenz des $\sigma$-Operators.

Diese Art von Vorgehen wird häufig benutzt, um zu zeigen, dass eine gegebene Eigenschaft für alle Mengen eines Mengensystems $ℳ$ (meist eine $\sigma$-Algebra) erfüllt ist. Es wird "Prinzip der guten Mengen" genannt und funktioniert so:

Angenommen, man kann nur Aussagen über einen Erzeuger von $ℳ$ treffen, etwa weil $ℳ$ nur über den Erzeuger charakterisiert werden kann. Ein Beispiel dafür ist die Borelsche $\sigma$-Algebra, die viel zu groß ist, um sie anders als über Erzeuger hinzuschreiben. Dann muss man indirekt vorgehen, um eine gewisse Eigenschaft für ganz $ℳ$ zu zeigen. Dafür betrachtet man das Mengensystem $𝒢=\{A\in ℳ\mid A\text{ hat die gegebene Eigenschaft}\}$ der "guten Mengen". Dann zeigt man

• $𝒢$ ist eine $\sigma$-Algebra.
• $𝒢$ enthält einen Erzeuger $𝒞$ von $ℳ$.

Dann ist $ℳ=𝒢$, d.h. alle Mengen in $ℳ$ sind "gut":

Satz (Prinzip der guten Mengen)

Sei $ℳ$ eine $\sigma$-Algebra und sei $𝒢$ das Mengensystem aller Mengen aus $ℳ$, für die eine gegebene Eigenschaft zutrifft. Es gelte

• $𝒢$ ist eine $\sigma$-Algebra.
• $𝒢$ enthält einen Erzeuger $𝒞$ von $ℳ$.

Dann gilt die Eigenschaft für alle Mengen aus $ℳ$, d.h. es ist $ℳ=𝒢$.

Beweis (Prinzip der guten Mengen)

Es ist $𝒞\subseteq 𝒢$. Da $𝒞$ ein Erzeuger von $ℳ$ ist, folgt aus der Monotonie und der Idempotenz des $\sigma$-Operators $ℳ=\sigma (𝒞)\subseteq \sigma (𝒢)=𝒢\subseteq ℳ$.

Hinweis

Das Prinzip der guten Mengen kann auch für andere Arten von Mengensystemen benutzt werden (nicht nur für $\sigma$-Algebren). Zum Beispiel kann es auch auf den von einem Mengensystem erzeugten Ring oder $\sigma$-Ring angewendet werden.

In unserem Fall enthält die Mengen der guten Mengen $𝒢=\{A\in \sigma (𝒞):\mu (A)=\nu (A)\}$ alle die Mengen $A\in \sigma (𝒞)$, auf denen die Maße $\mu$ und $\nu$ übereinstimmen. Die Gleichheit der Maße auf dem Erzeuger $𝒞$ ist bekannt, also gilt $𝒞\subseteq 𝒢$. Jetzt suchen wir noch Bedingungen, sodass $𝒢$ eine $\sigma$-Algebra wird. Wir wollen also Voraussetzungen an den Erzeuger $𝒞$ und die beiden Maße $\mu ,\nu$ finden, sodass gilt

• Die Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ ist in $𝒢$ enthalten.
• $𝒢$ ist komplementstabil.
• $𝒢$ ist vereinigungsstabil bezüglich abzählbaren Vereinigungen.

Existenz einer Ausschöpfung

Jede $\sigma$-Algebra enthält die Grundmenge $\mathrm{\Omega }$, also sollte $\mathrm{\Omega }$ in der Menge der guten Mengen $𝒢$ liegen. Das heißt, es sollte $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )$ für die beiden Maße $\mu$ und $\nu$ gelten. Im Allgemeinen muss das nicht der Fall sein, selbst wenn die beiden Maße auf $𝒞$ übereinstimmen:

Beispiel (Maß der Grundmenge nicht eindeutig bestimmt)

Sei $𝒞$ das Mengensystem aller einelementigen Teilmengen von $ℝ$:

$𝒞=\{\{x\}\mid x\in ℝ\}$

Die davon erzeugte Sigma-Algebra ist

$\sigma (𝒞)=\{A\subseteq ℝ:A\text{ abzählbar oder }{A}^{\complement }\text{ abzählbar}\}$

(Das wird im Artikel über erzeugte $\sigma$-Algebren bewiesen.) Wir definieren auf $\sigma (𝒞)$ die beiden Maße $\mu =0$ und $\nu$ mit

$\nu (A):=\{\begin{array}{c}0,\text{ falls }A\text{ abzählbar}\\ \mathrm{\infty }\text{ sonst.}\end{array}$

Dann sind $\mu$ und $\nu$ auf dem Erzeuger gleich, aber nicht auf ganz $\sigma (𝒞)$. Sie sind also durch die Angabe der Werte auf $𝒞$ noch nicht eindeutig bestimmt. Insbesondere ist $\mu (ℝ)=0\ne \mathrm{\infty }=\nu (ℝ)$.

Man kann dieses Beispiel noch verallgemeinern: Sei $\Omega \ne \mathrm{\varnothing }$ eine Menge und $𝒞=\{\mathrm{\varnothing }\}$. Die von $𝒞$ erzeugte $\sigma$-Algebra ist $\sigma (𝒞)=\{\mathrm{\varnothing },\Omega \}$. Sei $\mu =0$ das Nullmaß darauf, und sei für ein $r>0$ das Maß $\nu$ durch $\nu (\mathrm{\varnothing })=0,\nu (\Omega )=r$ definiert. Es gilt $\mu (\mathrm{\varnothing })=\nu (\mathrm{\varnothing })$, also stimmen $\mu$ und $\nu$ auf $𝒞$ überein. Aber $\mu (\Omega )=0\ne r=\nu (\Omega )$.

Durch welche Bedingung an den Erzeuger $𝒞$ oder die beiden Maße $\mu ,\nu$ können wir also erreichen, dass $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )$ gilt?

Idee und Definition der Ausschöpfung

Wir wissen, dass die Maße $\mu$ und $\nu$ auf den Mengen aus $𝒞$ übereinstimmen. Die Idee ist, die Grundmenge mit höchstens abzählbar vielen Mengen aus $E_1,E_2,\dots \in 𝒞$ zu überdecken, d.h. ihre Vereinigung soll $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n=\mathrm{\Omega }$ sein.

Beispiel (Überdeckungen von $\Omega =[0,\mathrm{\infty })$)

• Die Mengen $E_n=[n,n+2]$ sind weder paarweise disjunkt noch ineinander enthalten.
• Die Mengen $E_n=[n,n+1)$ sind paarweise disjunkt.
• Die Mengen $E_n=[0,n)$ sind aufsteigend ineinander enthalten.

Nun wollen wir aus $\mu (E_n)=\nu (E_n)$ für alle $n\in \mathbb{N}$ (das gilt, da diese Mengen aus $𝒞$ sind) folgern, dass auch $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )$ gilt. Dafür sollten die $E_n$ entweder paarweise disjunkt oder aufsteigend ineinander enthalten sein:

• Falls die $E_n$ paarweise disjunkt sind, können wir die $\sigma$-Additivität von Maßen benutzen: $\mu (\Omega )=\mu \left(\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨄}}{E}_i\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_i)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\nu (E_i)=\nu \left(\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨄}}{E}_i\right)=\nu (\Omega )$
• Falls sie aufsteigend ineinander enthalten sind (d.h. $E_1\subseteq E_2\subseteq \dots$), bilden sie eine monotone Mengenfolge mit Grenzwert $\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i=\Omega$. Dann können wir die Stetigkeit der Maße $\mu$ und $\nu$ benutzen: $\mu (\Omega )=\mu (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{E}_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (E_i)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\nu (E_i)=\nu (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{E}_n)=\nu (\Omega )$

Falls keiner der beiden Fälle vorliegt, kann man nicht mehr unbedingt $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )$ aus $\mu (E_n)=\nu (E_n)$ für alle $n$ folgern. Wir betrachten den Fall, wo die $E_n$ aufsteigend ineinander enthalten sind und definieren den Begriff der Ausschöpfung:

Definition (Ausschöpfung)

Sei $\mathrm{\Omega }$ eine Menge und seien $E_n\subseteq \Omega$ Teilmengen für jedes $n\in \mathbb{N}$ mit $E_n\subseteq E_{n+1}$. Gilt $\mathrm{\Omega }=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{E}_n$, so heißt die Folge $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Ausschöpfung von $\mathrm{\Omega }$.

Beispiel (Ausschöpfung)

Für $\Omega :=ℝ$ und $𝒞:=\{(a,b]:a,b\in ℝ\}$ gibt es die Ausschöpfung $(E_n{)}_n\subseteq 𝒞$ mit $E_n:=(-n,n]$.

Wegen der Stetigkeit von Maßen gilt also: Wenn $𝒞$ eine Ausschöpfung $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ von $\mathrm{\Omega }$ enthält, dann gilt $\mu (\mathrm{\Omega })=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (E_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\nu (E_n)=\nu (\mathrm{\Omega })$.

Zwischenresultat

Wir haben die folgende erste Bedingung an das Mengensystem $𝒞$ gefunden:

Um sicherzustellen, dass die Grundmenge in der "Menge der guten Mengen" $𝒢$ liegt, dass also $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )$ gilt, fordern wir, dass $𝒞$ eine Ausschöpfung von $\mathrm{\Omega }$ enthält.

Hinweis

Die Bedingung ist automatisch erfüllt, wenn $\Omega \in 𝒞$ gilt, z.B. wenn $\mu$ und $\nu$ Wahrscheinlichkeitsmaße sind: Dann kann man von vorneherein $\Omega \in 𝒞$ annehmen.

Die Mengen der Ausschöpfung haben endliches Maß

Wir haben nun mit der Forderung, dass es eine Ausschöpfung von $\mathrm{\Omega }$ mit Mengen aus $𝒞$ geben soll, sichergestellt, dass die Grundmenge in der "Menge der guten Mengen" $𝒢=\{A\in \sigma (𝒞):\mu (A)=\nu (A)\}$ liegt. Es bleibt zu untersuchen unter welchen Bedingungen $𝒢$ abgeschlossen unter Bildung von Differenzen und abzählbaren Vereinigungen ist. Untersuchen wir dafür zunächst, unter welchen Operationen $𝒢$ mit unseren bisherigen Voraussetzungen schon abgeschlossen ist:

Untersuchung von Vereinigungen

Seien $A$ und $B$ zwei Mengen aus der Menge der guten Mengen $𝒢$. Es gilt also $\mu (A)=\nu (A)$ und genauso für $B$. Wir betrachten ihre Vereinigung. Die Sache sieht gut aus, wenn $B\subseteq A$ ist (oder umgekehrt): In diesem Fall ist $A\cup B=A$ und es ist auch $\mu (A\cup B)=\mu (A)=\nu (A)=\nu (A\cup B)$ wieder in der Menge der guten Mengen $𝒢$.

Genauso ist der Wert der Vereinigung von $A$ und $B$ eindeutig bestimmt, wenn die beiden Mengen disjunkt sind: In dem Fall muss wegen der Additivität von $\mu$ und $\nu$

$\mu (A\uplus B)=\mu (A)+\mu (B)=\nu (A)+\nu (B)=\nu (A\uplus B)$

gelten. Die disjunkte Vereinigung ist also ebenfalls eindeutig messbar und liegt wieder in $𝒢$.

Nutzen wir zusätzlich die $\sigma$-Additivität von Maßen aus, kennen wir sogar das Maß von abzählbar unendlichen Vereinigungen von disjunkten Mengen. Für eine Folge paarweise disjunkter Mengen $A_1,A_2,\dots \in 𝒢$ gilt dann wegen der $\sigma$-Additivität der Maße $\mu$ und $\nu$

$\mu \left(\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨄}}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\nu (A_i)=\nu \left(\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨄}}{A}_i\right).$

Untersuchung von Differenzenbildung

Seien wieder $A$ und $B$ zwei Mengen aus $𝒢$, d.h. es gelte $\mu (A)=\nu (A)$, $\mu (B)=\nu (B)$. Wie schon bei der Vereinigung liegt auch die Differenz der beiden Mengen wieder in $𝒢$, wenn $A$ und $B$ disjunkt sind. Dann ist nämlich $A\setminus B=A$ und es gilt $\mu (A\setminus B)=\mu (A)=\nu (A)=\nu (A\setminus B)$. (Genauso mit den Rollen von $A$ und $B$ vertauscht.)

Im Fall $A\subseteq B$ ist die Differenz von $A$ und $B$ gleich $A\setminus B=\mathrm{\varnothing }$, liegt wegen $\mu (\mathrm{\varnothing })=0=\nu (\mathrm{\varnothing })$ also wieder in $𝒢$. Außerdem gilt wegen der Additivität des Maßes $\mu$:

$\mu (B)=\mu ((B\setminus A)\uplus A)=\mu (B\setminus A)+\mu (A).$

In der ersten Gleichheit haben wir benutzt, dass $A$ eine Teilmenge von $B$ ist. Dasselbe gilt für das Maß $\nu$ anstelle von $\mu$. Umstellen der obigen Formel zusammen mit $\mu (A)=\nu (A)$ und $\mu (B)=\nu (B)$ liefert

$\mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A)=\nu (B)-\nu (A)=\nu (B\setminus A).$

Aber hier müssen wir aufpassen! Wenn $A$ und $B$ unendliches Maß haben, erhalten wir in der Mitte der Gleichung den undefinierten Ausdruck "$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$".

Beispiel ($\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ ist nicht definiert)

Wir betrachten das Maß $\lambda$, das durch die elementargeometrische Länge auf $ℝ$ definiert wird. (Dass ein solches Maß existiert, wissen wir nach dem Fortsetzungssatz.) Für die beiden Mengen $A=ℝ$ und $B=[0,\mathrm{\infty })$ ist $A\setminus B=(-\mathrm{\infty },0)$. Also folgt $\lambda (A\setminus B)=\lambda ((-\mathrm{\infty },0))=\mathrm{\infty }$, wir haben also in diesem Fall "$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$".

Dagegen gilt für die Mengen $A=B=ℝ$, dass $A\setminus B=\mathrm{\varnothing }$ ist. Also ist $\lambda (A\setminus B)=\lambda (\mathrm{\varnothing })=0$ und wir haben "$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }=0$".

Das zeigt, dass wir im Allgemeinen nichts über den Wert von $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ aussagen können.

Untersuchung von Mengendifferenzen von Mengen unendlichen Maßes

Ein Ausweg aus diesem Problem ist, $A$ und $B$ durch aufsteigende Folgen $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}},(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ von Mengen endlichen Maßes anzunähern und einen Grenzübergang zu machen. Dafür sollten die Mengen der Mengenfolge ebenfalls gute Mengen sein. Das Maß der Differenzen $A_n\setminus B_n$ könnten wir dann wie oben berechnen, da $\mu (A_n)$ und $\mu (B_n)$ beide endlich sind. Doch wir müssen aufpassen: Damit das geht, muss auch für die Mengenfolgen $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}},(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ die Teilmengenbeziehung $A_n\subseteq B_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$ gelten. Wir können also die Folgen $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ nicht einfach irgendwie wählen. Wir brauchen, dass sie "gleich schnell" wachsen und $A$ und $B$ gleich schnell approximieren.

Erinnerung: Wir haben angenommen, dass es eine Ausschöpfung $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ der Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ mit Mengen aus dem Mengensystem $𝒞$ gibt, also eine monoton wachsende Mengenfolge in $𝒞$ mit Grenzwert $\mathrm{\Omega }$. (Das war, um $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )$ zu garantieren.)

Dann bilden die Mengen $A_n:=A\cap E_n$ ebenfalls eine aufsteigende Mengenfolge mit Grenzwert

$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A\cap E_n)=A\cap \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n=A\cap \Omega =A$.

Gleiches gilt für die Folge $B_n:=B\cap E_n$. Außerdem gilt wegen $B\subseteq A$ auch $B_n=B\cap E_n\subseteq A\cap E_n=A_n$, die Teilmengenbeziehung ist also für jedes Folgenglied erfüllt. Wegen $B_n\setminus A_n=(B\cap E_n)\setminus (A\cap A_n)=(B\setminus A)\cap E_n$ ist die Folge der $(B_n\setminus A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist ebenfalls monoton wachsend.

Wir wollen nun dieselbe Rechnung wie bei den Differenzen von Mengen endlichen Maßes benutzen

$\mu (B_n\setminus A_n)=\mu (B_n)-\mu (A_n)=\nu (B_n)-\nu (A_n)=\nu (B_n\setminus A_n)$

und dann einen Grenzübergang $n\to \mathrm{\infty }$ machen. Dafür brauchen wir:

• $\mu (A_n)=\nu (A_n)$ und $\mu (B_n)=\nu (B_n)$ für alle $n$. Das heißt, Schnitte $C\cap E_n$ von Mengen $C\in 𝒞$ mit den $E_n$ sollen in $𝒢$ liegen.
• Jede Menge der Ausschöpfung hat endliches Maß, d.h. $\mu (E_n)<\mathrm{\infty }$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Nur dann können wir wegen der Monotonie sicher sein, dass auch $\mu (A_n)=\mu (A\cap E_n)\le \mu (E_n)<\mathrm{\infty }$ und $\mu (B_n)=\mu (B\cap E_n)\le \mu (E_n)<\mathrm{\infty }$ ist, und das war ja das Ziel.

Hinweis

Beachte, dass die Endlichkeit einer Ausschöpfung immer mit dem betrachteten Maß zusammenhängt. Zum Beispiel ist die Ausschöpfung $((-n,n]{)}_{n\in \mathbb{N}}$ endlich bzgl. $\mu \equiv 0$, aber nicht bzgl. des Maßes $\tilde{\mu }$, dass jeder Menge außer $\mathrm{\varnothing }$ den Wert $\mathrm{\infty }$ zuordnet.

Wenn $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ diese Bedingungen erfüllen, können wir die ursprüngliche Differenz $B\setminus A$ berechnen ($A\subseteq B$):

$\mu (B\setminus A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (B_n\setminus A_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\mu (B_n)-\mu (A_n))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\nu (B_n)-\nu (A_n))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\nu (B_n\setminus A_n)=\nu (B\setminus A).$

Beachte, dass wir Differenz und Maß nur vertauschen konnten, weil die Mengen $A_n,B_n$ endliches Maß hatten. Das konnten wir für die Mengen $A,B$ mit unendlichem Maß nicht tun. Dafür mussten wir $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=(A\cap E_n{)}_{n\in \mathbb{N}},(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=(B\cap E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konstruieren.

Dass man bei der Eindeutigkeit von Maßen im Allgemeinen nicht darauf verzichten kann, das die Mengen $E_n$ der Ausschöpfung endliches Maß haben, zeigt ein Beispiel.

Beispiel

Wir betrachten das Mengensystem der halboffenen Intervalle in $ℝ$

$𝒞=\{(a,b]:-\mathrm{\infty }\le a\le b<\mathrm{\infty }\}.$

Dieses erzeugt eine $\sigma$-Algebra $\sigma (𝒞)$ (die Borelsche $\sigma$-Algebra), welche auch alle einelementigen Teilmengen von $ℝ$ enthält. Betrachte nun die zwei auf $\sigma (𝒞)$ definierten Maße $\mu$ und $\nu$ mit

$\mu (A)=\{\begin{array}{c}0,\text{ falls }A=\mathrm{\varnothing },\\ \mathrm{\infty },\text{ sonst.}\end{array}$

und

$\nu (A)=\mathrm{\#}(\mathbb{Q}\cap A)$

für alle $A\in \sigma (𝒞)$. ($\mu$ ist also das triviale Maß, das nur die Werte $0$ und $\mathrm{\infty }$ annimmt, während $\nu$ die Anzahl der in $A$ enthaltenen rationalen Zahlen zählt.) Weil $\mathbb{Q}$ dicht in $ℝ$ liegt, stimmen $\mu$ und $\nu$ auf dem Mengensystem $𝒞$ überein. Ferner existiert die Ausschöpfung $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq 𝒞,E_n:=(-n,n]$ von ganz $ℝ$ mit $\mu (E_n)=\mathrm{\infty }=\nu (E_n)$ für alle $n\in \mathbb{N}$.

Die beiden Maße $\mu$ und $\nu$ sind nicht gleich auf der von $𝒞$ erzeugten Sigma-Algebra: Für alle einelementigen Mengen $\{x\}\subseteq ℝ$ gilt $\mu (\{x\})=\mathrm{\infty }$, aber $\nu (\{x\})=1$ oder $=0$. Also sind die Maße $\mu$ bzw. $\nu$ durch ihre Werte auf $𝒞$ noch nicht eindeutig bestimmt.

Zwischenresultat

Wir halten unsere bisherigen Überlegungen fest:

• Die "Menge der guten Mengen" $𝒢$ ist schon abgeschlossen unter (höchstens abzählbar unendlichen) disjunkten Vereinigungen; Vereinigungen von Mengen, die Teilmengen voneinander sind; Differenzen disjunkter Mengen; sowie Differenzen von Mengen, die Teilmengen voneinander sind und endliches Maß haben.
• Um sicherzustellen, dass die Grundmenge in $𝒢$ liegt, dass also $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )$ gilt, fordern wir, dass $𝒞$ eine Ausschöpfung $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ von $\mathrm{\Omega }$ enthält.
• damit auch Differenzen von Mengen mit unendlichem Maß, die Teilmengen voneinander sind, wieder in $𝒢$ liegen, fordern wir, dass die Mengen der Ausschöpfung $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ alle endliches Maß haben und dass für alle $A\in 𝒢$ Schnitte $A\cap E_n$ wieder in $𝒢$ liegen.

Außer diesen Bedingungen und $\mu {|}_{𝒞}=\nu {|}_{𝒞}$ machen wir keine Anforderungen an $\mu$, $\nu$ und $𝒞$.

Die letzte Bedingung ist etwas unbefriedigend, denn sie beinhaltet $𝒢$. Aber wir wollen Voraussetzungen finden, die sich nur auf die von vorneherein gegebenen Maße $\mu ,\nu$ bzw. den Erzeuger $𝒞$ beziehen. Wir werden noch daran arbeiten und die Bedingung später abschwächen.

Hinweis

Die Forderungen mit der Ausschöpfung ist insbesondere direkt erfüllt, wenn $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )<\mathrm{\infty }$ gilt, z.B. wenn $\mu$ und $\nu$ Wahrscheinlichkeitsmaße sind. Dann ist $(\Omega {)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine monoton steigende Folge aus Mengen mit endlichem Maß, mit Grenzwert $\mathrm{\Omega }$.

Dynkin-Systeme

Wie bisher sei $𝒢=\{A\in \sigma (𝒞)\mid \mu (A)=\nu (A)\}$ das Mengensystem der guten Mengen, auf denen die beiden Maße $\mu$ und $\nu$ übereinstimmen. Setzen wir voraus, dass die Bedingungen aus dem vorherigen Zwischenresultat erfüllt sind, dann wissen wir nun, dass die beiden Maße auf den folgenden Mengen gleich sind:

• Die Grundmenge $\mathrm{\Omega }$: Das ist durch die Ausschöpfung $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq 𝒞$ garantiert.
• Vereinigungen endlich oder abzählbar unendlich vieler, paarweise disjunkter Mengen in $𝒢$: Das gilt wegen der $\sigma$-Additivität und Stetigkeit der Maße $\mu$ und $\nu$.
• Differenzen von Mengen aus $𝒢$, von denen eine in der anderen enthalten ist: Das ist durch die Endlichkeit der Ausschöpfung garantiert und durch die Bedingung, dass Schnitte von Mengen aus $𝒢$ mit Mengen der Ausschöpfung wieder in $𝒞$ liegen.

Damit können wir das Mengensystem $𝒢$ der "guten Mengen" schon genauer charakterisieren. Es enthält die Grundmenge und ist abgeschlossen unter den Operationen disjunkte Vereinigung und Differenz ineinander enthaltener Mengen. Ein Mengensystem mit diesen Eigenschaften heißt "Dynkin-System".

Definition

Das Dynkin-System im Vergleich zu den bereits kennen gelernten Mengensystemen

Definition (Dynkin-System)

Ein Mengensystem $𝒟\subseteq 𝒫(\Omega )$ heißt Dynkin-System, falls gilt:

1. $\Omega \in 𝒟$
2. für je zwei Mengen $A,B\in 𝒟$ mit $A\subseteq B$ ist $B\setminus A\in 𝒟$
3. für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen $A_1,A_2,\dots \in 𝒟$ gilt $\underset{n\in \mathbb{N}}{⨄}{A}_n\in 𝒟$.

Hinweis

Es folgt direkt aus der Definition, dass jede $\sigma$-Algebra ein Dynkin-System ist. Die umgekehrte Richtung gilt nicht: Im Allgemeinen ist ein Dynkin-System noch keine $\sigma$-Algebra, denn es fehlt die Abgeschlossenheit unter nicht-disjunkten abzählbaren Vereinigungen.

Eine äquivalente Charakterisierung eines Dynkin-Systems ist die folgende. Sie wird in den meisten Skripten verwendet und ist etwas einfacher nachzuprüfen.

Satz

Ein Mengensystem $𝒟\subseteq 𝒫(\Omega )$ ist genau dann ein Dynkin-System, falls gilt:

1. $\Omega \in 𝒟$
2. für jede Menge $A\in 𝒟$ gilt auch $A^{\complement }\in 𝒟$
3. für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen $A_1,A_2,\dots \in 𝒟$ gilt $\underset{n\in \mathbb{N}}{⨄}{A}_n\in 𝒟$.

Beweis

Sei $𝒟$ ein Dynkin-System im Sinne der Definition oben. Punkt 1. und 3. im Satz sind identisch mit der Definition. Wir müssen nur Punkt 2. zeigen. Sei also $A\in 𝒟$ beliebig. Es gilt $\Omega \in 𝒟$ und $A\subseteq \Omega$, also folgt aus Eigenschaft 2. der Definition, dass auch $A^{\complement }=\Omega \setminus A\in 𝒟$ ist.

Es seien umgekehrt die drei Eigenschaften aus dem Satz erfüllt. Wir zeigen, dass dann $𝒟$ ein Dynkin-System im Sinne der Definition oben ist. Auch hier müssen wir nur Punkt 2. zeigen. Seien also $A,B\in 𝒟$ mit $A\subseteq B$ beliebig. Es gilt $B\setminus A=B\cap A^{\complement }=(B^{\complement }\uplus A{)}^{\complement }$. Die Vereinigung auf der rechten Seite ist disjunkt wegen $A\subseteq B$. Nach Annahmen 2. und 3. liegt die Menge $(B^{\complement }\uplus A{)}^{\complement }=B\setminus A$ somit in $𝒟$.

Mit den Voraussetzungen aus dem Zwischenresultat des vorherigen Abschnitts ist also $𝒢$ schon ein Dynkin-System. Alles, was noch zu einer $\sigma$-Algebra fehlt ist die Abgeschlossenheit unter beliebigen abzählbaren Vereinigungen.

Da die beiden Maße $\mu$ und $\nu$ auf dem Erzeuger $𝒞$ übereinstimmen, gilt außerdem $𝒞\subseteq 𝒢$. Also liegt auch das von $𝒞$ erzeugte Dynkin-System in der Menge der guten Mengen $𝒢$, welches analog zur erzeugten $\sigma$-Algebra definiert wird:

Definition (erzeugtes Dynkin-System)

Sei $\mathrm{\Omega }$ eine Menge und $𝒞\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ ein Mengensystem. Das Dynkin-System

$\delta (𝒞):=\bigcap \{𝒟:𝒟\text{ ist ein Dynkin-System mit }𝒞\subseteq 𝒟\}$

heißt das von $𝒞$ erzeugte Dynkin-System. Es ist $\delta (𝒞)$ das kleinste Dynkin-System, das $𝒞$ enthält.

Wie schon bei der Definition der erzeugten $\sigma$-Algebra müssen wir uns davon überzeugen, dass $\delta (𝒞)$ wohldefiniert ist. Das kann man komplett analog zu dem Beweis machen, den wir schon für erzeugte $\sigma$-Algebren geführt haben.

Satz

Der Schnitt in der obigen Definition ist nicht leer. Ferner ist der Schnitt von beliebig vielen Dynkin-Systemen wieder ein Dynkin-System.

Hinweis

Genau wie bei erzeugten $\sigma$-Algebren gelten die folgenden Eigenschaften für das von einem Mengensystem $𝒞$ erzeugte Dynkin-System:

1. Extensivität: $𝒞\subseteq \delta (𝒞)$
2. Minimalität: $\delta (𝒞)$ ist das kleinste Dynkin-System, das $𝒞$ enthält. Ist $𝒞$ ein Dynkin-System, so gilt $\delta (𝒞)=𝒞$.
3. Idempotenz: $\delta (\delta (𝒞))=\delta (𝒞)$
4. Monotonie: $𝒞\subseteq ℰ⟹\delta (𝒞)\subseteq \delta (ℰ)$

Beispiele

Hier sind ein paar Beispiele für Dynkin-Systeme:

Beispiel ($\sigma$-Algebren)

Es folgt direkt aus der Definition, dass jede $\sigma$-Algebra auch ein Dynkin-System ist.

Umgekehrt ist aber nicht jedes Dynkin-System eine $\sigma$-Algebra:

Beispiel (Teilmengen gerader Kardinalität)

Sei $n>2$ eine gerade Zahl und $\mathrm{\Omega }$ eine Menge mit genau $n$ Elementen. Das Mengensystem

$𝒟:=\{A\subseteq \mathrm{\Omega }\mid \text{Anzahl der Elemente in }A\text{ ist gerade}\}$

ist ein Dynkin-System:

Da $|\Omega |=n$ gerade ist, ist $\Omega \in 𝒟$.

Sind $A,B\in 𝒟$ mit $A\subseteq B$, dann ist $|B\setminus A|=|B|-|A|$ gerade, da $|A|,|B|$ gerade sind.

Da $\mathrm{\Omega }$ endlich ist, brauchen wir für die dritte Bedingung nur Vereinigungen endlich vieler disjunkter Mengen zu betrachten. Seien $A_1,\dots ,A_k\in 𝒟$ paarweise disjunkte Mengen, die jeweils eine gerade Anzahl an Elementen enthalten. Dann enthält wegen der Disjunktheit auch die Vereinigung $\underset{i=1}{\overset{k}{⨄}}{A}_i$ eine gerade Anzahl an Elementen und liegt also in $𝒟$.

$𝒟$ ist aber keine $\sigma$-Algebra: Seien $x,y,z\in \Omega$ drei verschiedene Elemente (diese existieren, da nach Annahme $|\Omega |=n>2$). Dann gilt $\{x,y\},\{y,z\}\in 𝒟$, aber ihre Vereinigung $\{x,y,z\}$ enthält eine ungerade Zahl an Elementen, liegt also nicht in $𝒟$.

Motivation für die Durchschnittstabilität

Wir haben uns Bedingungen überlegt, unter denen das Mengensystem $𝒢=\{A\in \sigma (𝒞)\mid \mu (A)=\nu (A)\}$ der "guten" Mengen ein Dynkin-System ist, d.h.

• es enthält die Grundmenge,
• es ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen,
• es ist abgeschlossen unter Bildung von (abzählbaren) disjunkten Vereinigungen.

Da wir annehmen, dass die Maße $\mu$ und $\nu$ auf dem Erzeuger $𝒞$ übereinstimmen, gilt $𝒞\subseteq 𝒢$. Da $𝒢$ selbst ein Dynkin-System ist, liegt somit auch das von $𝒞$ erzeugte Dynkin-System $\delta (𝒞)$ in $𝒢$.

Es soll $\sigma (𝒞)\subseteq 𝒢$ gelten, damit $\mu$ und $\nu$ auf ihrem gesamten Definitionsbereich übereinstimmen. Deshalb wollen wir erreichen, dass $𝒢$ nicht nur ein Dynkin-System, sondern eine $\sigma$-Algebra ist. Was ist also mit der Abgeschlossenheit unter nicht-disjunkten endlichen/abzählbar unendlichen Vereinigungen? Schauen wir zuerst endliche Vereinigungen an. Seien $A,B\in 𝒢$ gute Mengen (d.h. $\mu (A)=\nu (A)$ und $\mu (B)=\nu (B)$), nicht disjunkt und weder $A\subseteq B$ noch $B\subseteq A$.

Es gilt $\mu (A)=\nu (A)$ und $\mu (B)=\nu (B)$, aber es ist noch nicht klar, ob auch $\mu (A\cup B)=\nu (A\cup B)$ gilt. Theoretisch kommt sogar jeder Wert infrage, welcher die Monotonie von $\mu$ nicht verletzt, d. h. solange $\mu (A\cup B)\ge \mu (A)$ und $\mu (A\cup B)\ge \mu (B)$ gilt.

Welche Bedingung muss noch erfüllt sein, damit $\mu (A\cup B)=\nu (A\cup B)$ gilt? Es genügt, wenn der Schnitt $A\cap B$ wieder eine gute Menge ist, d.h. $\mu (A\cap B)=\nu (A\cap B)$: Falls $A$ und $B$ beide endliches Maß haben, gilt dann

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)=\nu (A)+\nu (B)-\nu (A\cap B)=\nu (A\cup B).$

Falls eine der beiden Mengen unendliches Maß hat, gilt die Gleichheit $\mu (A\cup B)=\mathrm{\infty }=\nu (A\cup B)$ sowieso. Schnitte von guten Mengen sollten also wieder gute Mengen sein.

Ein Mengensystem, das abgeschlossen unter Bildung von (endlichen) Schnitten ist, heißt durchschnittstabil:

Definition (Durchschnittstabilität eines Mengensystems)

Ein Mengensystem $ℳ$ heißt durchschnittstabil (oder: schnittstabil), falls gilt:

$A,B\in ℳ⟹A\cap B\in ℳ$

Hinweis

Induktiv ist das Mengensystem dann auch unter endlichen Schnitten von mehr als 2 Mengen abgeschlossen.

Ist die Durchschnittstabilität des Systems der guten Mengen $𝒢$ zusätzlich zu unseren bisherigen Bedingungen schon genug, damit es eine $\sigma$-Algebra ist? Angenommen, $𝒢$ ist durchschnittstabil. Die vorherige Überlegung für zwei Mengen lässt sich per Induktion ausdehnen auf beliebige endliche Vereinigungen von guten Mengen: Seien $A_1,A_2,\dots ,A_n\in \sigma (𝒞)$ gute Mengen, d.h. $\mu (A_i)=\nu (A_i)$ für alle $i=1,\dots ,n$. Wir nehmen außerdem wieder an, dass alle $A_i$ endliches Maß haben, andernfalls gilt die Gleichheit sowieso. Dann gilt

$\begin{array}{cc}\mu \left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\mu (A_n\cup \bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i)& =\mu \left(A_n\right)+\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i\right)-\mu (A_n\cap \bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i)\\ & \stackrel{\text{I.V.}}{=}\nu \left(A_n\right)+\nu \left(\bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i\right)-\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n-1}\underset{\in 𝒢}{\underbrace{(A_n\cap A_i)}}\right)\\ & \stackrel{\text{I.V.}}{=}\nu \left(A_n\right)+\nu \left(\bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i\right)-\nu (\bigcup _{i=1}^{n-1}(A_n\cap A_i))=\nu \left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right).\end{array}$

Mithilfe der Durchschnittstabilität ist $𝒢$ also schon abgeschlossen unter beliebigen endlichen Vereinigungen.

Abzählbar unendliche Vereinigungen $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n$ kann man "künstlich" disjunkt machen, indem man aus jeder Menge die vorhergehenden herausnimmt: Definiere

$B_n:=A_n\setminus (A_1\cup \dots \cup A_{n-1})=A_n\cap (A_1\cup \dots \cup A_{n-1}{)}^{\complement },$

dann ist $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n=\underset{n\in \mathbb{N}}{⨄}{B}_n$ eine disjunkte Vereinigung von Mengen. Sind die $A_n$ aus $𝒢$, dann auch die so definierten $B_n$, wenn $𝒢$ durchschnittstabil ist: Nach dem Vorherigen liegt die endliche Vereinigung $A_1\cup \dots \cup A_{n-1}$ in $𝒢$, also auch das Komplement dieser Menge ($𝒢$ ist ein Dynkin-System), und wegen der Schnittstabilität auch der Schnitt davon mit $A_n$. Und da $𝒢$ als Dynkin-System abgeschlossen unter abzählbaren disjunkten Vereinigungen ist, ist dann auch $\underset{n\in \mathbb{N}}{⨄}{B}_n=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n$ eine gute Menge.

Diese Überlegungen zeigen: Wenn das Dynkin-System $𝒢$ zusätzlich durchschnittstabil ist, ist es auch abgeschlossen unter beliebigen, höchstens abzählbaren Vereinigungen, also eine sigma-Algebra. Wir fassen das in einem Satz zusammen:

Satz

Jedes durchschnittstabile Dynkin-System ist eine $\sigma$-Algebra.

Beweis

Sei $𝒟\subseteq 𝒫(\Omega )$ ein durchschnittstabiles Dynkin-System. Dann ist $\Omega \in 𝒟$ sowie die Komplementstabilität gegeben. Was von den $\sigma$-Algebra-Eigenschaften zu zeigen übrig bleibt, ist die Vereinungsstabilität bezüglich abzählbarer Vereinigungen. Diese ist bisher nur für paarweise disjunkte Vereinigungen gegeben. Wir bemerken zunächst, dass wegen $A\setminus B=A\cap B^{\complement }$ aus der Komplementstabilität und der Schnittstabilität von $𝒟$ die Differenzstabilität folgt.

Sei $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ nun eine beliebige Folge von Mengen in $𝒟$. Wir definieren nun $(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $B_1=A_1$, $B_{n+1}=A_{n+1}\setminus \bigcup _{i=1}^n{A}_i$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Es gilt, da $A_i\subseteq B_i$ für alle $i\in \mathbb{N}$ gilt,

$\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\bigcup _{i=1}^{n-1}{B}_i\cup (A_n\setminus \left(\bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i\right))=\bigcup _{i=1}^{n-1}{B}_i\cup A_n.$

Mit einem einfachen Induktionsargument folgt daraus $\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\bigcup _{i=1}^n{A}_i$ und schließlich $B_{n+1}=A_{n+1}\setminus \left(\bigcup _{i=1}^n{B}_i\right)$.

Insbesondere folgt aus der Konstruktion der Folge $(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, dass Folgeglieder dieser Folge paarweise disjunkt sind. Es ist natürlich $B_1=A_1\in 𝒟$. Angenommen es gilt $B_1,\dots ,B_n\in 𝒟$. Dann folgt mit der Stabilität bezüglich disjunkter Vereinigungen, dass $\bigcup _{i=1}^n{B}_i\in 𝒟$ ist. Mit der Differenzstabilität folgt weiter $B_{n+1}=A_{n+1}\setminus \left(\bigcup _{i=1}^n{B}_i\right)\in 𝒟$. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist dann $B_i\in 𝒟$ für alle $i\in \mathbb{N}$.

Da aber die $B_i$ zusätzlich paarweise disjunkt waren, folgt aus der disjunkten, abzählbaren Vereinigungsstabilität, dass $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{B}_n\in 𝒟$ gilt.

Daraus folgt

$\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{B}_n\in 𝒟.$

Zwischenresultat

Wir halten wieder unsere bisherigen Resultate fest:

• Um sicherzustellen, dass die Grundmenge in der Menge der guten Mengen $𝒢$ liegt, dass also $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )$ gilt, fordern wir, dass $𝒞$ eine Ausschöpfung $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ von $\mathrm{\Omega }$ enthält.
• Damit auch Differenzen von Mengen mit unendlichem Maß, die Teilmengen voneinander sind, wieder in $𝒢$ liegen, fordern wir, dass die Mengen der Ausschöpfung $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ alle endliches Maß haben und dass für alle $A\in 𝒢$ Schnitte $A\cap E_n$ wieder in $𝒢$ liegen.
• Mit diesen zwei Bedingungen ist $𝒢$ schon ein Dynkin-System. Damit es eine $\sigma$-Algebra ist, soll $𝒢$ schnittstabil sein, also Schnitte von guten Mengen wieder gut sein.

Außer diesen Bedingungen und $\mu {|}_{𝒞}=\nu {|}_{𝒞}$ machen wir keine Anforderungen an $\mu$, $\nu$ und $𝒞$.

Hinweis

Während wir zuvor beim zweiten Punkt noch gefordert hatten, dass für alle $A\in 𝒢$ Schnitte $A\cap E_n$ wieder in $𝒢$ liegen, ist das jetzt wegen der dritten Bedingung nicht mehr nötig.

Als nächstes überlegen wir uns, durch welche zusätzliche Bedingung an $\mu$, $\nu$ oder $𝒞$ wir erreichen können, dass $𝒢$ durchschnittstabil ist.

Durchschnittstabilität des Erzeugers

Wir haben Bedingungen an die Maße $\mu ,\nu$ und den Erzeuger $𝒞$ gefunden, mit denen die Menge der guten Mengen $𝒢=\{A\in \sigma (𝒞)\mid \mu (A)=\nu (A)\}$ ein Dynkin-System ist. Insbesondere enthält $𝒢$ damit wegen $𝒞\subseteq 𝒢$ das von $𝒞$ erzeugte Dynkin-System $\delta (𝒞)$. Wir wollen, dass auch $\sigma (𝒞)\subseteq 𝒢$ gilt. Dafür reicht es, zusätzlich Voraussetzungen zu finden, unter denen $\delta (𝒞)$ durchschnittstabil ist: Da jedes durchschnittstabile Dynkin-System eine $\sigma$-Algebra ist, folgt dann $\sigma (𝒞)=\delta (𝒞)\subseteq 𝒢\subseteq \sigma (𝒞)$, und wir sind fertig.

Unter welchen Bedingungen ist also das von $𝒞$ erzeugte Dynkin-System durchschnittstabil? Das hängt offenbar nur von den Eigenschaften des Mengensystems $𝒞$ ab, nicht von den Maßen $\mu$ oder $\nu$. Tatsächlich reicht es, wenn $𝒞$ durchschnittstabil ist. Das hat damit zu tun, dass die Schnittoperation mit den Operationen Vereinigung und Komplement eines Dynkin-Systems verträglich ist und sich die Schnittstabilität so vom Erzeuger auf das erzeugte Dynkin-System fortpflanzt. Wir zeigen das in dem folgenden Satz.

Satz

Jedes von einem durchschnittstabilen Mengensystem $𝒞$ erzeugte Dynkin-System ist durchschnittstabil.

Beweis

Für $B\in \delta (𝒞)$ definieren wir $𝒟(B)=\{D\in \delta (𝒞)|D\cap B\in \delta (𝒞)\}$, also die Menge der Mengen in unserem Dynkin-System, die durchschnittstabil "im Bezug auf $B$" sind. Per Definition gilt $𝒟(B)\subseteq \delta (𝒞)$ für jedes $B\in \delta (𝒞)$. Jetzt zeigen wir zwei Dinge:

1. $𝒟(B)$ ist ein Dynkin-System für alle $B\in \delta (𝒞)$.
2. $𝒞\subseteq 𝒟(B)$ für alle $B\in \delta (𝒞)$.

Denn haben wir diese Aussagen gezeigt, so folgt $𝒟(B)\subseteq \delta (𝒞)\subseteq \delta (𝒟(B))=𝒟(B)$, also $𝒟(B)=\delta (𝒞)$. Hier haben wir im zweiten Schritt die Monotonie und im dritten Schritt die Idempotenz des $\delta$-Operators verwendet. Sind jetzt $A,B\in \delta (𝒞)$ beliebig, so wissen wir wegen $𝒟(B)=\delta (𝒞)$ insbesondere, dass $A\in 𝒟(B)$ gilt, also $A\cap B\in \delta (𝒞)$. Damit ist die Durchschnittstabilität gezeigt.

Zeigen wir also nun die nötigen Aussagen.

Beweisschritt: $𝒟(B)$ ist ein Dynkin-System für alle $B\in \delta (𝒞)$.

Sei $B\in \delta (𝒞)$ beliebig. Es gilt offensichtlich $\mathrm{\Omega }\cap B=B\in \delta (𝒞)$, also $\Omega \in 𝒟(B)$.

Sei $A\in 𝒟(B)$ beliebig. Dann gilt $A\cap B\in \delta (𝒞)$. Des Weiteren ist wegen $B\in \delta (𝒞)$ natürlich auch $B^{\complement }\in \delta (𝒞)$. Daraus folgern wir

$A^{\complement }\cap B=(A^{\complement }\cup B^{\complement })\cap B=(A\cap B{)}^{\complement }\cap B=((A\cap B)\uplus B^{\complement }{)}^{\complement }.$

Dies ist als Komplement einer disjunkten Vereinigung von zwei Elementen aus $\delta (𝒞)$ ebenfalls ein Element aus $\delta (𝒞)$ und damit gilt $A^{\complement }\in 𝒟(B)$, d.h. $𝒟(B)$ ist komplementstabil.

Sei nun $(A_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge paarweiser disjunkter Mengen in $ℬ$. Dann gilt für alle $k\in \mathbb{N}$, dass $A_k\cap B\in \delta (𝒞)$. Die Folge $(A_k\cap B{)}_{k\in \mathbb{N}}$ ist ebenfalls eine Folge paarweise disjunkter Mengen in $\delta (𝒞)$. Aus der Stabilität von $\delta (𝒞)$ unter abzählbaren disjunkten Vereinigungen folgt

$\left(\underset{k\in \mathbb{N}}{⨄}{A}_k\right)\cap B=\underset{k\in \mathbb{N}}{⨄}(A_k\cap B)\in \delta (𝒞).$

Also ist $\bigcup _{k\in \mathbb{N}}{A}_k\in 𝒟(B)$. Damit sind die drei Eigenschaften eines Dynkin-Systems erfüllt und wir sind fertig.

Beweisschritt: $𝒞\subseteq 𝒟(B)$ für alle $B\in \delta (𝒞)$.

Sei $B\in \delta (𝒞)$ beliebig. Sei $E\in 𝒞$ beliebig. Dann gilt für alle $D\in 𝒞$ aufgrund der Durchschnittstabilität von $𝒞$, dass $E\cap D\in 𝒞\subseteq \delta (𝒞)$ gilt. Insbesondere ist also $D\in 𝒟(E)$. Da $D\in 𝒞$ beliebig war heißt das, es gilt $𝒞\subseteq 𝒟(E)$. Da $𝒟(E)$ wie zuvor gezeigt ein Dynkin-System ist, folgt auch $\delta (𝒞)\subseteq \delta (𝒟(E))=𝒟(E)$. Weiter gilt $B\in \delta (𝒞)\subseteq 𝒟(E)$. Das heißt $B\cap E\in \delta (𝒞)$ und somit auch $E\in 𝒟(B)$. Da $E\in 𝒞$ beliebig war, folgt $𝒞\subseteq 𝒟(B)$.

Da jedes durchschnittstabile Dynkin-System eine $\sigma$-Algebra ist, folgt direkt:

Satz

Ist $𝒞$ ein durchschnittstabiles Mengensystem, so gilt $\delta (𝒞)=\sigma (𝒞)$.

Dieser Zusammenhang von Dynkin-Systemen und $\sigma$-Algebren ist sehr nützlich und vereinfacht viele Beweise über Maße. Das liegt daran, dass man bei Dynkin-Systemen die $\sigma$-Additivität des Maßes ausnutzen kann, da nur disjunkte Vereinigungen betrachtet werden müssen. Im Beweis des Eindeutigkeitssatzes werden wir gleich ein erstes Beispiel sehen, wo es dadurch möglich wird, die gewünschte Aussage zu zeigen.

Zwischenresultat

Wir fassen die Bedingungen zusammen, die wir gefunden haben, um $\sigma (𝒞)=𝒢$, also Gleichheit von $\mu$ und $\nu$ auf ganz $\sigma (𝒞)$ zu bekommen:

• Um sicherzustellen, dass die Grundmenge in der Menge der guten Mengen $𝒢$ liegt, dass also $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )$ gilt, fordern wir, dass $𝒞$ eine Ausschöpfung $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ von $\mathrm{\Omega }$ enthält.
• Damit auch Differenzen von Mengen mit unendlichem Maß, die Teilmengen voneinander sind, wieder in $𝒢$ liegen, fordern wir, dass die Mengen der Ausschöpfung $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ alle endliches Maß haben.
• Damit das von $𝒞$ erzeugte Dynkin-System $\delta (𝒞)$ durchschnittstabil, also eine $\sigma$-Algebra ist, fordern wir, dass der Erzeuger $𝒞$ durchschnittstabil ist.

Im Allgemeinen kann man nicht auf die Durchschnittstabilität von $𝒞$ verzichten, wenn die Maße $\mu$ und $\nu$ auch auf $\sigma (𝒞)$ übereinstimmen sollen, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel

Seien die Grundmenge $\Omega =\{1,2,3,4\}$ und das Mengensystem $𝒞=\{\mathrm{\varnothing },\{1,2\},\{2,3\},\Omega \}$ gegeben. Dann ist $𝒞$ nicht durchschnittstabil, denn es ist $\{2\}=\{1,2\}\cap \{2,3\}\notin 𝒞$. Betrachte die beiden (Wahrscheinlichkeits-)Maße

$\mu :=\frac{1}{2}({\delta }_1+{\delta }_2),\nu :=\frac{1}{2}({\delta }_2+{\delta }_4).$

Dabei bezeichnet ${\delta }_x$ das Dirac-Maß, welches definiert ist durch

${\delta }_x(A):=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }x\in A,\\ 0\text{ sonst.}\end{array}$

Dann stimmen $\mu$ und $\nu$ auf $𝒞$ überein. Außerdem gibt es wegen $\Omega \in 𝒞$ eine endliche Ausschöpfung der Grundmenge. Trotzdem sind $\mu$ und $\nu$ nicht gleich auf der von $𝒞$ erzeugten $\sigma$-Algebra: Diese enthält die Menge $\{1,2,3\}=\{1,2\}\cup \{2,3\}$, und es ist $\mu (\{1,2,3\})=2\ne 1=\nu (\{1,2,3\})$.

Eindeutigkeitssatz

Wir können jetzt den Eindeutigkeitssatz formulieren und beweisen.

Satz (Eindeutigkeitssatz)

Seien $\mu$ und $\nu$ zwei Maße auf der $\sigma$-Algebra $𝒜$ über der Grundmenge $\mathrm{\Omega }$. Es gebe einen Erzeuger $𝒞$ von $𝒜$ mit folgenden Eigenschaften:

• $\mu$ und $\nu$ stimmen auf $𝒞$ überein, d.h. $\mu (C)=\nu (C)$ für alle $C\in 𝒞$,
• Es gibt in $𝒞$ eine Ausschöpfung von $\mathrm{\Omega }$ mit Mengen endlichen Maßes: Eine monoton steigende Folge $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq 𝒞$ mit Grenzwert $\mathrm{\Omega }$ und $\mu (E_n)=\nu (E_n)<\mathrm{\infty }$,
• $𝒞$ ist durchschnittstabil, d.h. $A,B\in 𝒞⟹A\cap B\in 𝒞$.

Dann gilt $\mu =\nu$ auf ganz $𝒜$. Insbesondere ist also ein Maß $\mu$ dann schon durch die Werte auf $𝒞$ eindeutig bestimmt.

Beweis (Eindeutigkeitssatz)

Wir führen den Beweis mit dem "Prinzip der guten Mengen" und definieren das Mengensystem $𝒢=\{A\in 𝒜\mid \mu (A)=\nu (A)\}\subseteq 𝒜$. Es enthält diejenigen Mengen aus $𝒜$, auf denen $\mu$ und $\nu$ übereinstimmen. Nach Voraussetzung gilt $𝒞\subseteq 𝒢$. Wir müssen noch zeigen, dass $𝒢$ eine $\sigma$-Algebra ist. Es reicht wegen der Durchschnittstabilität des Erzeugers $𝒞$ zu zeigen, dass $𝒢$ ein Dynkin-System ist: Dann gilt

$𝒜=\sigma (𝒞)=\delta (𝒞)\subseteq \delta (𝒢)=𝒢$

wobei wir in der zweiten Gleichheit ausgenutzt haben, dass das von einem durchschnittstabilen Mengensystem erzeugte Dynkin-System eine $\sigma$-Algebra ist. Wir zeigen jetzt die Eigenschaften eines Dynkin-Systems für $𝒢$ in zwei Schritten: Zuerst unter der Annahme, dass $\mu ,\nu$ endliche Maße sind (d.h. $\mu (A)<\mathrm{\infty },\nu (A)<\mathrm{\infty }$ für alle $A\in 𝒜$), danach für den allgemeinen Fall.

Beweisschritt: Beweis für den Fall, dass $\mu ,\nu$ endlich sind

Es gilt $\Omega \in 𝒢$: Sei $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq 𝒞$ die Ausschöpfung von $\mathrm{\Omega }$ aus der Voraussetzung, für die $\mu (E_n)=\nu (E_n)$ für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt. Dann folgt mit der Stetigkeit der beiden Maße $\mu ,\nu$, dass $\mu (\mathrm{\Omega })=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (E_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\nu (E_n)=\nu (\mathrm{\Omega })$.

$𝒢$ ist komplementstabil: Sei $A\in 𝒢$. Wegen $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )<\mathrm{\infty }$ können wir die Subtraktivität ausnutzen und erhalten

$\mu (A^{\complement })=\mu (\Omega \setminus A)=\mu (\Omega )-\mu (A)=\nu (\Omega )-\nu (A)=\nu (\Omega \setminus A)=\nu (A^{\complement }).$

$𝒢$ ist stabil unter disjunkten Vereinigungen: Sei $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq 𝒢$ eine Folge paarweiser disjunkter Mengen in $𝒢$. Unter Ausnutzung der $\sigma$-Additivität von $\mu$ und $\nu$ folgt

$\mu \left(\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨄}}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\nu (A_n)=\nu \left(\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨄}}{A}_n\right).$

Beweisschritt: Beweis des allgemeinen Falls

Wir definieren für $n\in \mathbb{N}$ die Maße ${\mu }_n,{\nu }_n:𝒜\to [0,\mathrm{\infty }]$ mit ${\mu }_n(A):=\mu (A\cap E_n)$ und ${\nu }_n(A):=\nu (A\cap E_n)$, wobei $E_n\in 𝒞$ die Mengen der Ausschöpfung aus der Voraussetzung sind.

Da nach Annahme $𝒞$ durchschnittstabil ist und $\mu =\nu$ auf $𝒞$ gilt, stimmen ${\mu }_n$ und ${\nu }_n$ ebenfalls auf $𝒞$ überein. Ferner sind wegen ${\mu }_n(A)=\mu (A\cap E_n)\le \mu (E_n)<\mathrm{\infty }$ und analog für ${\nu }_n$ die beiden so definierten Maße endlich. Wir können also die schon bewiesene Aussage für den endlichen Fall anwenden und erhalten, dass ${\mu }_n={\nu }_n$ auf ganz $𝒜$ gilt für alle $n\in \mathbb{N}$. Der Grenzübergang $n\to \mathrm{\infty }$ ergibt, dass auch $\mu$ und $\nu$ auf ganz $𝒜$ gleich sind.

Hinweis

Dieser Satz ist ein gutes Beispiel für die Nützlichkeit von Dynkin-Systemen: Wegen der Disjunktheit aller Vereinigungen konnten wir im Beweis bequem die $\sigma$-Additivität der Maße $\mu$ und $\nu$ ausnutzen.

Wegen der Durchschnittstabilität von $𝒞$ muss die Mengenfolge der $(E_n{)}_n$, die $\mathrm{\Omega }$ ausschöpft, nicht zwingend monoton steigend sein. Es reicht zu fordern, dass es eine Folge $(A_n{)}_n\subseteq 𝒞$ gibt, sodass $\Omega =\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ und $\mu (A_n)=\nu (A_n)<\mathrm{\infty }$ gilt: Wenn es eine solche Folge gibt, können wir $E_n=\bigcup _{i=1}^n{A}_i$ definieren und erhalten eine monoton wachsende Folge mit Grenzwert $\mathrm{\Omega }$. Außerdem erfüllen diese Mengen ebenfalls $\mu (E_n)=\nu (E_n)<\mathrm{\infty }$, wie wir im Abschnitt zur Durchschnittstabilität gesehen haben: Die Durchschnittstabilität sorgt dafür, dass $\mu$ und $\nu$ auch auf endlichen (möglicherweise nicht-disjunkten) Vereinigungen übereinstimmen.

Man findet deshalb manchmal auch diese Formulierung des Eindeutigkeitssatzes:

Satz (Eindeutigkeitssatz (alternative Version))

Seien $\mu$ und $\nu$ zwei Maße auf der $\sigma$-Algebra $𝒜$ über der Grundmenge $\mathrm{\Omega }$. Es gebe einen Erzeuger $𝒞$ von $𝒜$ mit folgenden Eigenschaften:

• $\mu$ und $\nu$ stimmen auf $𝒞$ überein, d.h. $\mu (C)=\nu (C)$ für alle $C\in 𝒞$,
• Es gibt eine Folge $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq 𝒞$ mit $\Omega =\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ und $\mu (A_n)=\nu (A_n)<\mathrm{\infty }$,
• $𝒞$ ist durchschnittstabil, d.h. $A,B\in 𝒞⟹A\cap B\in 𝒞$.

Dann gilt $\mu =\nu$ auf ganz $𝒜$.

Wenn $\mu$ und $\nu$ Wahrscheinlichkeitsmaße sind, dann ist die zweite Bedingung immer automatisch erfüllt: Wegen $\mu (\Omega )=\nu (\Omega )=1<\mathrm{\infty }$ kann man ohne Einschränkung $\Omega \in 𝒞$ annehmen und die konstante Folge $(\Omega {)}_{n\in \mathbb{N}}$ wählen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie findet man deshalb oft die folgende Version des Eindeutigkeitssatzes:

Satz (Eindeutigkeitssatz für Wahrscheinlichkeitsmaße)

Seien $\mu$ und $\nu$ zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf der $\sigma$-Algebra $𝒜$ über der Grundmenge $\mathrm{\Omega }$. Es gebe einen durchschnittstabilen Erzeuger $𝒞$ von $𝒜$, auf dem $\mu$ und $\nu$ übereinstimmen. Dann gilt $\mu =\nu$ auf ganz $𝒜$.