Ausschöpfungen, Dynkin-Systeme, Eindeutigkeitssatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Vorgehen[Bearbeiten]

Das Ausgangsproblem, weshalb wir uns überhaupt mit der Fortsetzung von Mengenfunktionen zu Maßen beschäftigt haben, war das Definieren eines Maßes mit gewissen Eigenschaften. Dieses soll möglichst vielen Teilmengen einer Grundmenge ein Volumen zuordnen. Möglicherweise sollen zusätzliche Bedingungen erfüllt sein, etwa dass den achsenparallelen Quadern des ihr elementargeometrischer Inhalt zugeordnet wird. Im Allgemeinen ist zunächst aber unklar, ob ein Maß mit den gewünschten Eigenschaften überhaupt existiert. Wenn ja, bleibt zu klären, auf welcher -Algebra es definiert ist und wie man es "hinschreiben" kann. Unser Ansatz war deshalb, die gewünschte Funktion erst auf einem kleineren Mengensystem zu definieren, sodass die gewünschten Eigenschaften gelten. Im Beispiel mit den Quadern könnte das beispielsweise bedeuten, als das Mengensystem der achsenparallelen Quader zu wählen und als die Mengenfunktion, die jedem dieser Quader seinen elementargeometrischen Inhalt zuordnet.

Mit dem Fortsetzungssatz wissen wir nun, unter welchen Bedingungen es eine Fortsetzung auf die von erzeugte -Algebra zu einem Maß gibt (siehe ...). Unklar ist aber noch, ob diese Fortsetzung eindeutig bestimmt ist, ob also als Funktion auf durch die Werte auf schon vollständig beschrieben wird. Wir werden uns überlegen, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit das gilt.

Dafür gehen wir von einem (zunächst beliebigen) Mengensystem aus. Wir betrachten ein auf der davon erzeugten -Algebra definiertes Maß , dessen Werte nur für Mengen aus vorgeschrieben sind. Uns interessiert, unter welchen Bedingungen die Werte dadurch schon auf der ganzen -Algebra eindeutig bestimmt sind. Um herauszufinden, welche Eigenschaften von und wir dafür brauchen, gehen wir schrittweise vor. Nach und nach erforschen wir, welche Mengen ohne weitere Bedingungen schon eindeutig bestimmtes Volumen durch die Werte auf haben. Diese werden Teil eines Mengensystems, der "Menge der eindeutig messbaren Mengen". Das Ziel wird sein, dieses Mengensystem durch geeignete Bedingungen an und so zu erweitern, dass es eine sigma-Algebra ist. Dann enthält es , also ist eindeutig bestimmt. Wir überlegen uns jetzt, wie wir dieses Ziel erreichen können.

Existenz einer Ausschöpfung[Bearbeiten]

Es gilt immer , da eine -Algebra ist. Wir müssen uns also fragen, ob der Wert eindeutig bestimmt ist. Ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, dann muss sein, das ist eindeutig bestimmt. Ist aber ein allgemeines Maß, dann ist der Wert für nicht unbedingt eindeutig bestimmt, wenn ist. Interpretieren wir die Messbarkeitsbedingung als Bedingung, dass innere und äußere Approximation einer Menge dasselbe Ergebnis liefern sollen, dann bedeutet das: Das Ergebnis ist nicht unbedingt eindeutig, weil es (außer selbst) keine Approximation von von außen gibt, um den Wert zu überprüfen.

Beispiel (Nicht eindeutig messbare Grundmenge)

Sei der Ring aller Teilmengen von mit endlich vielen Elementen. Die davon erzeugte Sigma-Algebra enthält alle , für die gilt: abzählbar oder abzählbar. Sei . Dann gibt es keine Ausschöpfung von mit Mengen aus ( ist überabzählbar!) und für jedes ist die auf der von erzeugten Sigma-Algebra definierte Abbildung mit

ein Maß, das fortsetzt. Es gibt also sogar überabzählbar viele Maße, die fortsetzen.

Ein ähnliches Beispiel kann man für eine allgemeine Grundmenge formulieren: Für und mit ist mit für jedes eine Fortsetzung auf .

Die Idee ist, die Grundmenge mit (höchstens abzählbar vielen) Mengen aus zu "pflastern". Wenn zwei Maße auf jeder der Mengen gleich sind, dann auch auf . Der Wert ist dann also eindeutig bestimmt. Wir wollen also Mengen , sodass

gilt. Dann muss wegen der Stetigkeit des Maßes

gelten, sodass die "Pflasterung" den Wert für eindeutig vorschreibt. Da die alle im Mengensystem liegen und nach Annahme ein Maß auf ist, wissen wir, dass die endlichen Vereinigungen messbar sind. Insbesondere ist die rechte Seite der Gleichung sinnvoll. Es gibt aber ein Problem: Wir wissen schon von den endlichen Vereinigungen der Mengen nicht, ob die Funktionswerte von dafür eindeutig bestimmt sind! Momentan wissen wir nur von den Mengen aus , dass sie eindeutig messbar sind; wenn aber endliche Vereinigungen der Mengen nicht mehr in liegen, ist das nicht mehr klar.

Damit wir den Wert trotzdem auf diese Weise mithilfe der eindeutig bestimmen können, müssen diese entweder paarweise disjunkt oder aufsteigend ineinander enthalten sein. Im ersten Fall muss dann wegen der Additivität von

für alle gelten, die Vereinigung ist also eindeutig messbar. Im anderen Fall sind die Mengenfolgen aufsteigend ineinander enthalten und es gilt somit

für alle , auch dieser Wert ist eindeutig bestimmt.

Beispiel (Pflasterungen von )

  • Die Mengen sind weder paarweise disjunkt noch ineinander enthalten.
  • Die Mengen sind paarweise disjunkt.
  • Die Mengen sind aufsteigend ineinander enthalten.

Wir betrachten die Variante, dass die eine monoton steigende Mengenfolge bilden. Dafür definieren wir:

Definition (Ausschöpfung)

Sei eine Menge und seien Teilmengen für jedes mit . Gilt , so heißt die Folge eine Ausschöpfung von .

Interessant in unserem Fall ist die Existenz einer Ausschöpfung mit Mengen aus einem gewissen Mengensystem.

Beispiel (Ausschöpfung)

Für und gibt es die Ausschöpfung mit .

Wir halten die bisherigen Überlegungen in einem Zwischenresultat fest. Dass die Existenz einer Ausschöpfung wirklich notwendig für die Eindeutigkeit von auf ist, haben wir oben schon in Beispielen gesehen.

Satz (Zwischenresultat)

Damit ein Maß durch die Werte auf dem Erzeuger schon eindeutig bestimmt ist, ist die Existenz einer Ausschöpfung der Grundmenge mit Mengen aus notwendig.

Hinweis

Ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so kann man auf diese Bedingung verzichten: Der Wert ist wegen der Normiertheit schon eindeutig bestimmt, bzw. man kann einfach die Mengen für die Ausschöpfung wählen. Gleiches gilt natürlich, wenn schon ist.

Endlichkeit der Ausschöpfung[Bearbeiten]

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Nach dem oben gefundenen Resultat gehen wir im Folgenden davon aus, dass eine Ausschöpfung existiert. Welche weiteren Mengen aus außer sind nun schon eindeutig messbar? Es reicht, sich um die beiden Operationen (abzählbare) Vereinigung und Differenz zu kümmern, da das schon alle Operationen sind, unter denen eine -Algebra abgeschlossen ist.

Seien zunächst und zwei Mengen aus . Wir betrachten ihre Vereinigung. Die Sache sieht gut aus, wenn und disjunkt sind:

BILD (disjunkte Mengen)

In dem Fall muss wegen der Additivität gelten, und dieser Wert ist eindeutig bestimmt. Genauso ist der Wert der Vereinigung eindeutig bestimmt, wenn ist (oder umgekehrt):

BILD (eine Menge ist Teilmenge einer anderen)

In diesem Fall ist und es ist auch eindeutig bestimmt. Nutzen wir zusätzlich die Stetigkeit von Maßen aus, kennen wir sogar das Volumen von abzählbar unendlichen Vereinigungen von disjunkten Mengen.

BILD (Menge, die sich aus unendlich vielen kleiner werdenden disjunkten Mengen zusammensetzt)

Der Fall der Differenz zweier Mengen verhält sich ähnlich: Wenn und disjunkt sind, dann muss sein. Es liegt außerdem nahe, wegen der Additivität für das Volumen der Differenz ineinander enthaltener Mengen einfach die Differenz der Volumina zu wählen.

BILD (Menge mit Loch)

Doch Vorsicht: was soll passieren, wenn wir die Differenz zweier Mengen und mit berechnen wollen, und aber beide unendliches Volumen haben? Den Wert "" können wir nicht vernünftig definieren!

Beispiel ( ist nicht definiert)

Wir betrachten das Maß , das durch die elementargeometrische Länge auf definiert wird. (Dass ein solches Maß existiert, wissen wir nach dem Fortsetzungssatz.) Für die beiden Mengen und ist . Also folgt , wir haben also in diesem Fall "".

Dagegen gilt für die Mengen , dass ist. Also ist und wir haben "".

Das zeigt, dass wir im Allgemeinen nichts über den Wert von aussagen können.

Um diese Schwierigkeit zu lösen, wollen wir und durch aufsteigende Folgen von Mengen endlichen Maßes annähern. Das Volumen der Differenzen können wir berechnen, da es sich bei um endliche Größen handelt. Mithilfe der Stetigkeit erhalten wir durch einen Grenzübergang auch das Volumen von . Allerdings müssen wir bei der Approximation ein wenig vorsichtig sein und beachten, dass die Teilmengenbeziehung erhalten bleibt. Es soll also für alle auch gelten, damit wir den Wert eindeutig bestimmen können.

Wir können also und nicht durch beliebige, voneinander unabhängige Mengenfolgen approximieren, sondern brauchen, dass die Folgen und "gleich schnell" wachsen. Um das zu erreichen, stellen wir uns die Approximation als eine 'Ausschöpfung' von und vor. Nun haben wir schon eine Ausschöpfung von . Weil gilt (und analog für ), bilden also die Mengen und eine Ausschöpfung von bzw. . Nach Konstruktion (wir haben beide Male dieselbe Ausschöpfung benutzt) gilt dann auch :

BILD (A, B, die ausgeschöpft werden, A\subseteq B)

Damit uns diese Approximation weiterhelfen kann, brauchen wir aber natürlich, dass die Mengen und in liegen. Nur dann sind eindeutig bestimmt und wir können auch eindeutig berechnen. Dann können wir einen Grenzübergang machen und haben mit der Stetigkeit des Maßes auch eindeutig bestimmt. Außerdem muss die Ausschöpfung endlich sein, d.h. für alle . Nur dann können wir wegen der Monotonie sicher sein, dass auch ist (analog für ), was ja unser Ziel war.

Hinweis

Beachte, dass die Endlichkeit einer Ausschöpfung immer mit dem betrachteten Maß zusammenhängt! Zum Beispiel ist die Ausschöpfung endlich bzgl. , aber nicht bzgl. des Maßes , dass jeder Menge außer den Wert zuordnet.

Dass wir im Allgemeinen nicht auf die Endlichkeit der Ausschöpfung verzichten können, zeigt ein Beispiel. In der Tat ist dann durch die Werte auf nicht mehr eindeutig bestimmt, obwohl es eine Ausschöpfung der Grundmenge mit Mengen aus dem Erzeuger gibt.

Beispiel

Wir betrachten das Mengensystem der halboffenen Intervalle in

Dieses erzeugt eine -Algebra (die Borel--Algebra), welche auch alle einelementigen Teilmengen von enthält. Betrachte nun die zwei auf definierten Maße und mit

und

für alle . ( ist also das triviale Maß, das nur die Werte und annimmt, während die Anzahl der in enthaltenen rationalen Zahlen zählt.) Weil dicht in liegt, stimmen und auf dem Mengensystem überein. Ferner existiert die Ausschöpfung von ganz mit für alle . Beachte, dass diese Ausschöpfung in der Tat nicht endlich ist!

Die beiden Maße sind nicht gleich auf der von erzeugten Sigma-Algebra: Für alle einelementigen Mengen gilt , aber oder . Also ist das Maß durch die Werte auf noch nicht eindeutig bestimmt.

(Später werden wir mit dem Eindeutigkeitssatz sehen, dass die Nicht-Endlichkeit der Ausschöpfung in diesem Beispiel tatsächlich die entscheidende Eigenschaft ist, welche für die Nichteindeutigkeit verantwortlich ist.)

Nach diesen Überlegungen können wir unser erstes Zwischenresultat etwas erweitern:

Satz (Zwischenresultat)

Damit ein Maß durch die Werte auf dem Erzeuger schon eindeutig bestimmt ist, sind die folgenden Eigenschaften notwendig:

  • Es existiert eine Ausschöpfung der Grundmenge mit Mengen aus dem Erzeuger .
  • Die Ausschöpfung ist endlich, d.h. es gilt für alle .
  • Schnitte der Mengen der Ausschöpfung mit Mengen aus liegen wieder in , d.h. für alle und alle gilt .

Mit diesen Eigenschaften können wir nun schon das Volumen (abzählbarer) Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen bestimmen, sowie Differenzen (für ), sofern gilt.

Hinweis

Wie oben gilt auch hier: Ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so kann man auf diese Bedingungen verzichten. Der Wert ist dann wegen der Normiertheit schon eindeutig bestimmt, bzw. man kann einfach die Mengen für die Ausschöpfung wählen. Ist kein Wahrscheinlichkeitsmaß, aber endlich (d.h. ), so kann man auf die zweite Forderung (Endlichkeit der Ausschöpfung) verzichten: Diese ist dann automatisch erfüllt. Beachte aber, dass wir im Fall eines nicht-endlichen Maßes nicht auf die Ausschöpfung und ihre Endlichkeit verzichten können, selbst wenn gilt. Usprünglich brauchten wir die Ausschöpfung nur, um eindeutig zu bestimmen. Nun aber hat sie zusätzlich die Funktion, das Maß von Differenzen gewisser Mengen bestimmen zu können.

Dynkin-Systeme[Bearbeiten]

Setzen wir voraus, dass die Bedingungen aus dem letzten Zwischenresultat erfüllt sind, dann können wir nun das Volumen der folgenden Mengen eindeutig bestimmen:

  • Die Grundmenge : Das ist durch die Ausschöpfung garantiert.
  • Vereinigungen endlich oder abzählbar unendlich vieler, paarweise disjunkter eindeutig messbarer Mengen: Das gilt wegen der -Additivität und Stetigkeit der Maßes.
  • Differenzen von eindeutig messbaren Mengen, von denen eine in der anderen enthalten ist: Das ist durch die Endlichkeit der Ausschöpfung garantiert und durch die Bedingung, dass Schnitte von Mengen aus mit Mengen der Ausschöpfung wieder in liegen.

Damit können wir das Mengensystem der ausgehend von eindeutig messbaren Mengen charakterisieren. Es enthält die Grundmenge und ist abgeschlossen unter den Operationen disjunkte Vereinigung und Differenz ineinander enthaltener Mengen. Ein Mengensystem mit diesen Eigenschaften heißt "Dynkin-System".

Definition (Dynkin-System)

Ein Mengensystem heißt Dynkin-System, falls gilt:

  1. für je zwei Mengen mit ist
  2. für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen gilt .

Eine äquivalente Charakterisierung eines Dynkin-Systems ist die folgende. Sie wird in den meisten Skripten verwendet und ist etwas einfacher nachzuprüfen.

Satz

Ein Mengensystem ist genau dann ein Dynkin-System, falls gilt:

  1. für jede Menge gilt auch
  2. für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen gilt .

Beweis

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To-Do:

Beweis ergänzen/auf Übungsaufgabe verweisen

In unseren Überlegungen haben wir das Dynkin-System der eindeutig messbaren Mengen ausgehend von aufgebaut. Wir können auch sagen, wir betrachten das von erzeugte Dynkin-System. Offenbar ist es das kleinste Dynkin-System, das enthält. Analog zum Begriff der erzeugten -Algebra definieren wir:

Definition (erzeugtes Dynkin-System)

Sei ein Mengensystem. Das von erzeugte Dynkin-System ist definiert durch

Es ist also das kleinste Dynkin-System, das enthält.

Wie schon bei den erzeugten -Algebren müssen wir uns davon überzeugen, dass wohldefiniert ist. Das folgt aus diesem Satz/dieser Übungsaufgabe:

Satz

Der Schnitt in der obigen Definition ist nicht leer. Ferner ist der Schnitt von beliebig vielen Dynkin-Systemen wieder ein Dynkin-System.

Beweis

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To-Do:

Beweis ergänzen/auf Übungsaufgabe verweisen

Mit den bisherigen Voraussetzungen können wir also schon eindeutig auf das von erzeugte Dynkin-System fortsetzen.

Beispiele für Dynkinsysteme[Bearbeiten]

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To-Do:

weitere Beispiele + Abschnitt ausformulieren

  • ...
  • wichtig: im Allgemeinen ist ein Dynkin-System noch keine -Algebra! Es fehlen beliebige (nicht-disjunkte) Vereinigungen. Beispiel: endliche Grundmenge mit gerader Anzahl von Elementen, Dynkin-System der Teilmengen gerader Kardinalität.

Durchschnittstabilität des Erzeugers[Bearbeiten]

Wir haben nun Bedingungen, um disjunkte Vereinigungen von Mengen aus messen zu können, sowie von Differenzen von Mengen aus , sofern ist. Für eine -Algebra brauchen wir aber, dass auch beliebige abzählbare Vereinigungen und beliebige Differenzen eindeutig gemessen werden können. Tatsächlich ist ja das einzige, was von einem Dynkin-System zu einer -Algebra noch fehlt, die Abgeschlossenheit unter nicht-disjunkten, höchstens abzählbaren Vereinigungen. Mit anderen Worten, uns interessiert: Wann gilt ? Wir interessieren uns deshalb für Mengen der Form

BILD: Vereinigung zweier Mengen A,B (z. B. Kreise), die sich überlappen

und

BILD Differenz zweier nicht-disjunkter Mengen (Menge, wo eine Ecke fehlt)

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To-Do:

Bilder ergänzen

Haben wir uns erstmal darum gekümmert, dann können auch unendliche, nicht-disjunkte Vereinigungen eindeutig gemessen werden. Dafür fassen wir sie als Grenzwert einer Folge von endlichen Vereinigungen auf und nutzen die Stetigkeit des Maßes aus.

Seien also nicht disjunkt. Ohne zusätzliche Information ist noch nicht klar, welches Volumen die Vereinigung hat (siehe Bild oben). Theoretisch kommt sogar jeder Wert infrage, welcher die Monotonie von nicht verletzt, d. h. solange und gilt. Wir können also zunächst nicht davon ausgehen, dass eindeutig bestimmt ist. Dasselbe Problem tritt bei der Differenz solcher Mengen auf: Wenn die Mengen sich überlappen, ist nicht direkt klar, welches Volumen die Differenz hat, solange die Monotonie erhalten bleibt.

Wir wollen uns überlegen, welche Bedingung noch erfüllt sein muss, damit auch diese Vereinigung eindeutig gemessen werden kann. In unserem Beispiel würde es reichen, das Volumen des Schnitts zu kennen. Dann können wir und addieren und das Volumen des Schnitts , das dabei doppelt gezählt wurde, einfach wieder abziehen. Was wir also brauchen, ist Durchschnittstabilität des Dynkin-Systems :


Definition (Durchschnittstabilität eines Mengensystems)

Ein beliebiges Mengensystem heißt durchschnittstabil (oder: schnittstabil), falls gilt:

Ist durchschnittstabil, dann folgt per Induktion aus dieser Eigenschaft, dass dann auch beliebige endliche Schnitte von Mengen aus wieder in liegen. Daraus folgt, dass wir auf diese Weise auch das Volumen beliebiger endlicher, nicht-disjunkter Vereinigungen eindeutig messbarer Mengen bestimmen können (das ist das Einschluss-Ausschluss-Prinzip und haben wir im Artikel "Inhalte auf Ringen" kennengelernt).

Die Schnittstabilität des Dynkin-Systems dient also dazu, das Volumen einer nicht-disjunkten Vereinigung von Mengen aus eindeutig bestimmen zu können. Damit sind aber schon beliebige abzählbare Vereinigungen in der Menge der eindeutig messbaren Menge enthalten und wir haben eine -Algebra:

Satz

Jedes durchschnittstabile Dynkin-System ist eine -Algebra.

Beweis

...

Unter welchen Bedingungen ist nun durchschnittstabil? Offenbar hängt das nur von den Eigenschaften des Mengensystems ab, nicht von . Wegen muss notwendigerweise durchschnittstabil sein, wenn das davon erzeugte Dynkin-System es ist. Tatsächlich reicht die Durchschnittstabilität von sogar schon aus. Das hat damit zu tun, dass die Schnittoperation mit den Operationen Vereinigung und Komplement eines Dynkin-Systems verträglich ist und sich die Schnittstabilität so vom Erzeuger auf das erzeugte Dynkin-System fortpflanzt.

Satz

Jedes von einem durchschnittstabilen Mengensystem erzeugte Dynkin-System ist durchschnittstabil.

Beweis

Sei ein durchschnittstabiles Mengensystem über der Grundmenge . Wir betrachten zuerst das Mengensystem

und zeigen, dass das ein Dynkin-System ist. Wegen der Durchschnittstabilität von gilt und es folgt dann .

... ( ist ein Dynkin-System)

Nun betrachten wir das Mengensystem von Schnitten von beliebigen Mengen aus :

Wenn wir gezeigt haben, dass diese Menge ein Dynkin-System ist, sind wir fertig. Wir haben nämlich nach dem Vorherigen und damit .

... ( ist ein Dynkin-System)

Hinweis

Den Beweis haben wir mit dem "Prinzip der guten Menge" geführt. Das ist eine in der Maßtheorie häufig benutzte Technik. (Siehe ...)

Wir wollen also, dass auch Schnitte endlich vieler Mengen aus in liegen, und fordern als weitere Eigenschaft die Durchschnittstabilität des Erzeugers . Diese Voraussetzung enthält dann auch die schon oben gemachte, dass Schnitte mit Mengen der Ausschöpfung wieder in liegen sollen.

Aus diesen beiden Sätzen folgt unmittelbar:

Satz

Ist ein durchschnittstabiles Mengensystem, so gilt .

Dieser Zusammenhang von Dynkin-Systemen und -Algebren ist sehr nützlich und vereinfacht viele Beweise über Maße. Das liegt daran, dass man bei Dynkin-Systemen die -Additivität des Maßes ausnutzen kann, da nur disjunkte Vereinigungen betrachtet werden müssen. (Siehe auch hier (Artikel Beweisprinzipien)). Im Beweis des Eindeutigkeitssatzes werden wir gleich ein erstes Beispiel sehen, wo es dadurch möglich wird, die gewünschte Aussage zu zeigen.

Wir haben nun mit der Durchschnittstabilität die weitere Eigenschaft herausgefunden, die wir für die Eindeutigkeit auf ganz eines auf definierten Maßes brauchen. Auch hier zeigt ein Beispiel, dass wir im Allgemeinen nicht auf die Durchschnittstabilität des Erzeugers verzichten können:

Beispiel

Seien die Grundmenge und das Mengensystem gegeben. Dann ist nicht durchschnittstabil, denn es ist . Betrachte die beiden Maße

Dabei bezeichnet das Dirac-Maß, welches definiert ist durch

Dann stimmen und auf überein. Außerdem gibt es wegen eine endliche Ausschöpfung der Grundmenge. Trotzdem sind und nicht gleich auf der von erzeugten -Algebra: Diese enthält die Menge , und es ist . In der Tat war ja das Volumen des Durchschnitts nicht eindeutig bestimmt.

(evtl. BILD)

Damit können wir das folgende Zwischenresultat festhalten:

Satz (Zwischenresultat)

Damit ein Maß durch die Werte auf dem Erzeuger schon eindeutig bestimmt ist, sind die folgenden Eigenschaften notwendig:

  • Es gibt eine endliche Ausschöpfung der Grundmenge mit Mengen aus dem Erzeuger ,
  • ist durchschnittstabil.

Hinweis

Die Bedingung, dass Schnitte der Mengen der Ausschöpfung mit Mengen aus wieder in liegen sollen, ist schon in der Durchschnittstabitität von enthalten und taucht hier deshalb nicht mehr auf.

Eindeutigkeitssatz[Bearbeiten]

Ist durchschnittstabil, dann muss die Mengenfolge , die ausschöpft, nicht mehr unbedingt monoton steigend oder paarweise disjunkt sein. Es reicht zu fordern, dass es eine Folge in gibt, sodass

gilt: Indem wir setzen, erhalten wir eine aufsteigende Mengenfolge . Dass die Vereinigung der im Allgemeinen nicht disjunkt ist, ist kein Problem, denn wir können das Volumen der wegen der Durchschnittstabilität des Erzeugers trotzdem bestimmen. Diese Verallgemeinerung der Bedingung der endlichen Ausschöpfung nehmen wir in unsere Formulierung des Eindeutigkeitssatzes auf.

Satz (Eindeutigkeitssatz)

Seien und zwei Maße auf der -Algebra über der Grundmenge . Es gebe einen Erzeuger von mit folgenden Eigenschaften:

  • und stimmen auf überein, d.h. für alle ,
  • Es gibt eine Folge von Mengen aus , sodass ist,
  • ist durchschnittstabil, d.h. .

Dann gilt auf ganz . Insbesondere ist also ein Maß dann schon durch die Werte auf eindeutig bestimmt. Ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so gilt die Folgerung auch ohne die Existenz der Folge .

Beweis (Eindeutigkeitssatz)

...

Dieser Beweis ist ein gutes Beispiel für die Nützlichkeit von Dynkin-Systemen: Wegen der Disjunktheit aller Vereinigungen konnten wir bequem die -Additivität der Maße und ausnutzen.