Ausschöpfungen, Dynkin-Systeme, Eindeutigkeitssatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Problem[Bearbeiten]

Das Ausgangsproblem, weshalb wir uns überhaupt mit der Fortsetzung von Mengenfunktionen zu Maßen beschäftigt haben, war das Definieren eines Maßes mit gewissen Eigenschaften. Dieses soll möglichst vielen Teilmengen einer Grundmenge ein Maß zuordnen. Möglicherweise sollen zusätzliche Bedingungen erfüllt sein, etwa dass den achsenparallelen Quadern des ihr elementargeometrischer Inhalt zugeordnet wird. Im Allgemeinen ist zunächst aber unklar, ob ein Maß mit den gewünschten Eigenschaften überhaupt existiert. Wenn ja, bleibt zu klären, auf welcher -Algebra es definiert ist und wie man es "hinschreiben" kann. Unser Ansatz war deshalb, die gewünschte Funktion erst auf einem kleineren Mengensystem zu definieren, sodass die gewünschten Eigenschaften gelten. Im Beispiel mit den Quadern könnte das beispielsweise bedeuten, als das Mengensystem der achsenparallelen Quader zu wählen und als die Mengenfunktion, die jedem dieser Quader seinen elementargeometrischen Inhalt zuordnet.

Mit dem Fortsetzungssatz wissen wir nun, unter welchen Bedingungen eine Mengenfunktion zu einem Maß auf der von erzeugten -Algebra fortgesetzt werden kann. Für den Beweis des Fortsetzungssatzes wurde mit dem äußeren Maß eine mögliche Fortsetzung explizit angegeben. Unklar ist aber noch, ob es weitere Möglichkeiten gibt, zu einem Maß auf fortzusetzen. Mit anderen Worten, uns interessiert, ob ein Maß auf der -Algebra durch die Werte auf dem kleineren Mengensystem schon eindeutig bestimmt ist.

Um diese Frage mathematisch zu untersuchen, formulieren wir sie um: Seien und Maße auf der von einem Mengensystem erzeugten -Algebra . Weiter seien und auf gleich, das bedeutet für alle . Unter welchen Bedingungen gilt dann auf der ganzen -Algebra ?

Das Prinzip der guten Mengen[Bearbeiten]

Wir werden schrittweise vorgehen, um Bedingungen zu finden, unter denen Eindeutigkeit vorliegt. Dafür betrachten wir das Mengensysten . Es enthält alle "guten" Mengen, d.h. alle Mengen aus (dem Definitionsbereich von und ), auf denen und übereinstimmen. Das Ziel ist es, geeignete Bedingungen an bzw. sowie zu stellen, sodass ganz ist, dass also alle Mengen aus "gut" sind. Dafür reicht es, Bedingungen zu finden, sodass eine -Algebra ist: Da gilt (nach Annahme gilt auf ), folgt dann (Monotonie+Idempotenz).

Dieses Vorgehen wird häufig benutzt, um eine Aussage auf einem ganzen Mengensystems (meist eine -Algebra) zu zeigen. Es wird "Prinzip der guten Mengen" genannt.

Wenn man nur Aussagen über den Erzeuger treffen kann (wie in unserem Beispiel: Gleichheit nur auf dem Erzeuger bekannt), muss man indirekt vorgehen. Dafür betrachtet man das Mengensystem der "guten Mengen", die die gewisse Aussage erfüllen. In unserem Beispiel: enthält alle die Mengen , für die gilt. Dann zeigt man

  • ist eine -Algebra.
  • enthält einen Erzeuger von .

Nach Anwendung des folgenden Satzes wissen wir dann, dass alle Mengen in "gut" sind.

Satz

Sei Erzeuger von mit und sei eine -Algebra, dann ist .

Beweis

Es ist . Aus der Monotonie und der Idempotenz des -Operators folgt .


Also suchen wir nun Bedingungen, sodass (wie oben definiert) eine -Algebra wird.

Wir wollen Anforderungen an stellen, sodass gilt

  • Die Grundmenge ist in enthalten.
  • ist komplementstabil.
  • ist vereinigungsstabil bezüglich abzählbaren Vereinigungen.

Existenz einer Ausschöpfung[Bearbeiten]

Jede -Algebra enthält die Grundmenge . Also sollte in der Menge der guten Mengen liegen. Das heißt, es sollte für die beiden Maße und gelten. Im Allgemeinen muss das nicht der Fall sein, selbst wenn die beiden Maße auf übereinstimmen:

Beispiel (Maß der Grundmenge nicht eindeutig bestimmt)

Sei der Ring aller Teilmengen von mit endlich vielen Elementen:

Die davon erzeugte Sigma-Algebra ist

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To-Do:

Verlinken zum Beispiel, wo man diesen Ring und die davon erzeugte Sigma-Algebra kennenlernt

Wir definieren auf die beiden Maße und mit

Dann sind und auf dem Erzeuger gleich, aber nicht auf ganz . Sie sind also durch die Angabe der Werte auf noch nicht eindeutig bestimmt. Insbesondere ist : Es gibt keine Ausschöpfung von mit Mengen endlichen Maßes, da überabzählbar ist.

Man kann dieses Beispiel noch verallgemeinern: Sei eine Menge und . Die von erzeugte -Algebra ist . Sei das Nullmaß darauf, und sei für ein das Maß durch definiert. Es gilt , also stimmen und auf überein. Aber .

Durch welche Bedingung an den Erzeuger oder die beiden Maße kann man erreichen, dass auch gilt? Wir wissen, dass die Maße und auf den Mengen aus übereinstimmen. Die Idee ist, die Grundmenge mit höchstens abzählbar vielen Mengen aus zu "pflastern", d.h. die Vereinigung der soll ganz sein.

Beispiel (Überdeckungen von )

  • Die Mengen sind weder paarweise disjunkt noch ineinander enthalten.
  • Die Mengen sind paarweise disjunkt.
  • Die Mengen sind aufsteigend ineinander enthalten.

Nun wollen wir aus für alle folgern, dass auch gilt. Dafür sollten die entweder paarweise disjunkt oder aufsteigend ineinander enthalten sein:

  • Falls die paarweise disjunkt sind, können wir die -Additivität von Maßen benutzen:
  • Falls sie aufsteigend ineinander enthalten sind, können wir die Stetigkeit der Maße und benutzen:

Falle keiner der beiden Fälle vorliegt, können wir nicht mehr aus für alle folgern: Es ist unklar, ob und auch auf Vereinigungen der wieder übereinstimmen. Wir betrachten den Fall, wo die aufsteigend ineinander enthalten sind.

Definition (Ausschöpfung)

Sei eine Menge und seien Teilmengen für jedes mit . Gilt , so heißt die Folge eine Ausschöpfung von .

Beispiel (Ausschöpfung)

Für und gibt es die Ausschöpfung mit .

Wir haben oben gesehen, dass die Existenz einer Ausschöpfung von mit Mengen aus uns garantiert, dass gilt. Wir können also als Zwischenresultat dieses Abschnitts die folgende Bedingung an das Mengensystem festhalten:

Zwischenresultat: Um sicherzustellen, dass die Grundmenge in der "Menge der guten Mengen" liegt, dass also gilt, fordern wir, dass eine Ausschöpfung von enthält.

Hinweis

Die Bedingung ist automatisch erfüllt, wenn gilt, z.B. wenn und Wahrscheinlichkeitsmaße sind: Dann kann man von vorneherein annehmen.

Die Mengen der Ausschöpfung haben endliches Maß[Bearbeiten]

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To-Do:

Bilder einfügen

Wir haben nun mit der Forderung, dass es eine Ausschöpfung von mit Mengen aus geben soll, sichergestellt, dass die Grundmenge in der "Menge der guten Mengen" liegt. Es bleibt zu untersuchen unter welchen Bedingungen abgeschlossen unter Bildung von Differenzen und abzählbaren Vereinigungen ist. Untersuchen wir dafür zunächst, unter welchen Operationen mit unseren bisherigen Voraussetzungen schon abgeschlossen ist:

Untersuchung von Vereinigungen[Bearbeiten]

Seien und zwei Mengen aus der Menge der guten Mengen . Es gilt also und genauso für . Wir betrachten ihre Vereinigung. Die Sache sieht gut aus, wenn ist (oder umgekehrt):

BILD (eine Menge ist Teilmenge einer anderen)

In diesem Fall ist und es ist auch wieder in der Menge der guten Mengen .

Genauso ist der Wert der Vereinigung von und eindeutig bestimmt, wenn die beiden Mengen disjunkt sind:

BILD (disjunkte Mengen)

In dem Fall muss wegen der Additivität von und

gelten. Die disjunkte Vereinigung ist also ebenfalls eindeutig messbar und liegt wieder in . Nutzen wir zusätzlich die -Additivität von Maßen aus, kennen wir sogar das Maß von abzählbar unendlichen Vereinigungen von disjunkten Mengen.

BILD (Menge, die sich aus unendlich vielen kleiner werdenden disjunkten Mengen zusammensetzt)

Für eine Folge paarweise disjunkter Mengen gilt dann wegen der -Additivität der Maße und

.

Untersuchung von Differenzenbildung[Bearbeiten]

Seien wieder und zwei Mengen aus , d.h. es gelte , . Wie schon bei der Vereinigung liegt auch die Differenz der beiden Mengen wieder in , wenn und disjunkt sind. Dann ist nämlich und es gilt .

BILD (Differenz disjunkter Mengen)

Im Fall ist die Differenz von und gleich , liegt wegen also wieder in .

Außerdem gilt wegen der Additivität des Maßes :

In der ersten Gleichheit haben wir benutzt, dass eine Teilmenge von ist.

BILD (A in B enthalten // Menge mit Loch)

Dasselbe gilt für das Maß anstelle von . Wir erinnern uns, dass und gilt. Durch Umstellen der obigen Formel folgt

Diese Eigenschaft brauchen wir, damit die Differenz wieder in der Menge der guten Mengen liegt. Doch Vorsicht: Wenn wir die Differenz zweier Mengen und mit berechnen wollen, und aber beide unendliches Maß haben, erhalten wir den undefinierten Audruck "". Das bedeutet Subtraktivität gilt nur, wenn die beteiligten Mengen endliches Maß haben, wenn also ist.

Beispiel ( ist nicht definiert)

Wir betrachten das Maß , das durch die elementargeometrische Länge auf definiert wird. (Dass ein solches Maß existiert, wissen wir nach dem Fortsetzungssatz.) Für die beiden Mengen und ist . Also folgt , wir haben also in diesem Fall "".

Dagegen gilt für die Mengen , dass ist. Also ist und wir haben "".

Das zeigt, dass wir im Allgemeinen nichts über den Wert von aussagen können.

Untersuchung von Mengendifferenzen von Mengen unendlichen Maßes[Bearbeiten]

Ein Ausweg ist und durch aufsteigende Folgen von Mengen endlichen Maßes anzunähern und einen Grenzübergang zu machen.

Das Maß der Differenzen können wir wie oben berechnen, da und beide endlich sind. Dafür muss die Teilmengenbeziehung auch für die approximierenden Mengen gelten, also für alle .

Wir brauchen also, dass die Folgen und "gleich schnell" wachsen bzw. und gleich schnell ausschöpfen.

Erinnerung: Wir haben angenommen, dass es eine Ausschöpfung der Grundmenge mit Mengen aus dem Mengensystem gibt, auf dem die Maße und übereinstimmen. (Das war, um zu garantieren).

Da gilt, bilden die Mengen ebenfalls eine aufsteigende Mengenfolge mit Grenzwert . Gleiches gilt für . Außerdem gilt , die Teilmengenbeziehung ist für jedes Folgenglied erfüllt.

BILD (A, B, die ausgeschöpft werden, A\subseteq B)

Wegen ist die Folge der ist ebenfalls monoton wachsend. Wir wollen nun wie oben

benutzen können, um

zu erhalten.

Wir brauchen dafür:

  • und für alle . Das heißt, Schnitte von Mengen mit den sollen in liegen.
  • Jede Menge der Ausschöpfung hat endliches Maß, d.h. für alle . Nur dann können wir wegen der Monotonie sicher sein, dass auch und ist, und das war ja das Ziel.

Hinweis

Beachte, dass die Endlichkeit einer Ausschöpfung immer mit dem betrachteten Maß zusammenhängt! Zum Beispiel ist die Ausschöpfung endlich bzgl. , aber nicht bzgl. des Maßes , dass jeder Menge außer den Wert zuordnet.

Dass wir im Allgemeinen nicht darauf verzichten können, das die Mengen der Ausschöpfung endliches Maß haben, zeigt ein Beispiel.

Beispiel

Wir betrachten das Mengensystem der halboffenen Intervalle in

Dieses erzeugt eine -Algebra (die Borel--Algebra), welche auch alle einelementigen Teilmengen von enthält. Betrachte nun die zwei auf definierten Maße und mit

und

für alle . ( ist also das triviale Maß, das nur die Werte und annimmt, während die Anzahl der in enthaltenen rationalen Zahlen zählt.) Weil dicht in liegt, stimmen und auf dem Mengensystem überein. Ferner existiert die Ausschöpfung von ganz mit für alle .

Die beiden Maße und sind nicht gleich auf der von erzeugten Sigma-Algebra: Für alle einelementigen Mengen gilt , aber oder . Also sind die Maße bzw. durch ihre Werte auf noch nicht eindeutig bestimmt.

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To-Do:

Beispiel überarbeiten.

Zwischenresultat: Wir halten die bisherigen Überlegungen fest[Bearbeiten]

  • Die "Menge der guten Mengen" ist schon abgeschlossen unter (höchstens abzählbar unendlichen) disjunkten Vereinigungen; Vereinigungen von Mengen, die Teilmengen voneinander sind; Differenzen disjunkter Mengen; sowie Differenzen von Mengen, die Teilmengen voneinander sind und endliches Maß haben.
  • Um sicherzustellen, dass die Grundmenge in liegt, dass also gilt, fordern wir, dass eine Ausschöpfung von enthält.
  • damit auch Differenzen von Mengen mit unendlichem Maß, die Teilmengen voneinander sind, wieder in liegen, fordern wir, dass die Mengen der Ausschöpfung alle endliches Maß haben und dass für alle Schnitte wieder in liegen.

Außer diesen Bedingungen machen wir keine Anforderungen an , und .

Die letzte Bedingung ist etwas unbefriedigend, denn ist kompliziert und ob diese Eigenschaft gilt ist schwer zu überprüfen. Wir werden noch daran arbeiten und sie später abschwächen -> Link zum Abschnitt, wo die Durchschnittstabilität des Erzeugers hergeleitet wird und gezeigt wird, dass das erzeugte Dynkin-System dann auch schnittstabil ist.

Hinweis

Die Forderungen mit der Ausschöpfung ist insbesondere direkt erfüllt, wenn gilt, z.B. wenn und Wahrscheinlichkeitsmaße sind. Dann ist eine monoton steigende Folge aus Mengen mit endlichem Maß, mit Grenzwert .

Dynkin-Systeme[Bearbeiten]

Setzen wir voraus, dass die Bedingungen aus dem letzten Zwischenresultat erfüllt sind, dann können wir nun das Maß der folgenden Mengen eindeutig bestimmen:

  • Die Grundmenge : Das ist durch die Ausschöpfung garantiert.
  • Vereinigungen endlich oder abzählbar unendlich vieler, paarweise disjunkter Mengen in : Das gilt wegen der -Additivität und Stetigkeit der Maße und .
  • Differenzen von Mengen aus , von denen eine in der anderen enthalten ist: Das ist durch die Endlichkeit der Ausschöpfung garantiert und durch die Bedingung, dass Schnitte von Mengen aus mit Mengen der Ausschöpfung wieder in liegen.

Damit können wir das Mengensystem der "guten Mengen" schon genauer charakterisieren. Es enthält die Grundmenge und ist abgeschlossen unter den Operationen disjunkte Vereinigung und Differenz ineinander enthaltener Mengen. Ein Mengensystem mit diesen Eigenschaften heißt "Dynkin-System".

Definition (Dynkin-System)

Ein Mengensystem heißt Dynkin-System, falls gilt:

  1. für je zwei Mengen mit ist
  2. für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen gilt .

Eine äquivalente Charakterisierung eines Dynkin-Systems ist die folgende. Sie wird in den meisten Skripten verwendet und ist etwas einfacher nachzuprüfen.

Satz

Ein Mengensystem ist genau dann ein Dynkin-System, falls gilt:

  1. für jede Menge gilt auch
  2. für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen gilt .

Beweis

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To-Do:

Beweis ergänzen

  • Mit den bisherigen Voraussetzungen ist ein Dynkin-System (Beweis hier oder später beim Beweis des Eindeutigkeitssatzes)
  • enthält außerdem , also auch das von erzeugte Dynkin-System, d.h. das kleinste Dynkin-System, das enthält. Analog zum Begriff der erzeugten -Algebra definieren wir:

Definition (erzeugtes Dynkin-System)

Sei ein Mengensystem. Das von erzeugte Dynkin-System ist definiert durch

Es ist also das kleinste Dynkin-System, das enthält.

Wie schon bei den erzeugten -Algebren müssen wir uns davon überzeugen, dass wohldefiniert ist. Das folgt aus diesem Satz:

Satz

Der Schnitt in der obigen Definition ist nicht leer. Ferner ist der Schnitt von beliebig vielen Dynkin-Systemen wieder ein Dynkin-System.

Beweis

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To-Do:

Beweis ergänzen

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To-Do:
  • Beispiele für Dynkin-Systeme
  • wichtig: im Allgemeinen ist ein Dynkin-System noch keine -Algebra! Es fehlen beliebige (nicht-disjunkte) Vereinigungen. Beispiel: endliche Grundmenge mit gerader Anzahl von Elementen, Dynkin-System der Teilmengen gerader Kardinalität.

Motivation für die Durchschnittstabilität[Bearbeiten]

  • haben uns jetzt Bedingungen überlegt, unter denen das Mengensystem der "guten" (=eindeutig messbaren) Mengen ein Dynkin-System ist, d.h.:
    • es enthält die Grundmenge
    • es ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen
    • es ist abgeschlossen unter Bildung von (abzb.) disjunkten Vereinigungen
  • da , ist also das von erzeugte Dynkin-System in : .
  • wir wollen, dass eine -Algebra ist (damit auch gilt.)
  • Was ist also mit der Abgeschlossenheit unter nicht-disjunkten endlichen/abzb. unendlichen Vereinigungen?
  • Schauen wir erstmal endliche Vereinigungen an. Seien "gute" Mengen (d.h. eindeutig messbar), nicht disjunkt, keine Teilmenge von der anderen.
  • BILD: Vereinigung zweier Mengen A,B (z. B. Kreise), die sich überlappen
  • Wir wissen, dass und .
  • Aber ohne zusätzliche Information ist noch nicht klar, ob auch gilt. Theoretisch kommt sogar jeder Wert infrage, welcher die Monotonie von nicht verletzt, d. h. solange und gilt.
  • Welche Bedingung muss noch erfüllt sein, damit ?
  • Im Bild würde es reichen, wenn der Schnitte wieder eine gute Menge ist, d.h. in liegt: Dann ist (ziehen den Schnitt wieder ab, der beim Addieren doppelt gezählt wurde) (Falls oder unendliches Maß hat, gilt die Gleichheit sowieso)
  • Ein Mengensystem mit der Eigenschaft, dass Schnitte von Mengen wieder drin liegen, hießt durchschnittstabil:

Definition (Durchschnittstabilität eines Mengensystems)

Ein beliebiges Mengensystem heißt durchschnittstabil (oder: schnittstabil), falls gilt:

  • Hinweis: induktiv ist das Mengensystem dann auch unter endlichen Schnitten von mehr als 2 Mengen abgeschlossen.
  • Nehme also an, dass durchschnittstabil ist.
  • Obige Überlegung für Vereinigung von zwei Mengen lässt sich ausdehnen auf beliebige endliche Vereinigungen (nehmen auch hier an, dass für alle ).
  • induktiv:
  • Erinnerung: abzb. unendliche Vereinigungen kann man durch disjunkt machen: . Nach obiger Überlegung sind die in , wenn durchschnittstabil ist. Da abg. unter disjunkten Vereinigungen ist, ist dann auch in
  • Diese Überlegungen zeigen: Wenn das Dynkin-System zusätzlich durchschnittstabil ist, ist es auch abgeschlossen unter beliebigen abzb. Vereninigungen, also eine sigma-Algebra


Satz

Jedes durchschnittstabile Dynkin-System ist eine -Algebra.

Beweis

Sei ein durchschnittstabiles Dynkin-System. Dann ist sowie die Komplementstabilität gegeben. Was von den -Algebra-Eigenschaften zu zeigen übrig bleibt, ist die Vereinungsstabilität bezüglich abzählbarer Vereinigungen. Diese ist bisher nur für paarweise disjunkte Vereinigungen gegeben. Wir bemerken zunächst, dass wegen aus der Komplementstabilität und der Schnittstabilität von die Differenzstabilität folgt.

Sei nun eine beliebige Folge von Mengen in . Wir definieren nun mit , für alle . Es gilt, da für alle gilt,

.

Mit einem einfachen Induktionsargument folgt daraus

und schließlich .

Insbesondere folgt aus der Konstruktion der Folge , dass Folgeglieder dieser Folge paarweise disjunkt sind. Es ist natürlich . Angenommen es gilt . Dann folgt mit der Stabilität bezüglich disjunkter Vereinigungen, dass ist. Mit der Differenzstabilität folgt weiter . Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist dann für alle .

Da aber die zusätzlich paarweise disjunkt waren, folgt aus der disjunkten, abzählbaren Vereinigungsstabilität, dass gilt.

Daraus folgt .


  • Die Schnittstabilität des Dynkin-Systems dient also dazu, das Volumen einer nicht-disjunkten endlichen Vereinigung von Mengen aus eindeutig bestimmen zu können.
  • man kann im Allgemeinen auch nicht auf die Durchschnittstabilität verzichten:

Beispiel

Seien die Grundmenge und das Mengensystem gegeben. Dann ist nicht durchschnittstabil, denn es ist . Betrachte die beiden Maße

Dabei bezeichnet das Dirac-Maß, welches definiert ist durch

Dann stimmen und auf überein. Außerdem gibt es wegen eine endliche Ausschöpfung der Grundmenge. Trotzdem sind und nicht gleich auf der von erzeugten -Algebra: Diese enthält die Menge , und es ist .

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To-Do:

evtl. Bild einfügen. Bsp. überarbeiten.

  • Hinweis: Während man bei W.maßen auf die Existenz einer endlichen Ausschöpfung verzichten kann (s.o.), zeigt das Beispiel, dass das im Allgemeinen nicht für die Durchschnittstabilität gilt ( und sind W.maße)

Durchschnittstabilität des Erzeugers[Bearbeiten]

  • Erinnerung: Wir hatten uns die folgenden Bedingungen an und überlegt
    • die Menge der guten Mengen ist schon abgeschlossen unter (höchstens abzb. unendlichen) disjunkten Vereinigungen; Vereinigungen von Mengen, die Teilmengen voneinander sind; Differenzen disjunkter Mengen; sowie Differenzen von Mengen, die Teilmengen voneinander sind und endliches Maß haben
    • Um sicherzustellen, dass die Grundmenge in der "Menge der guten Mengen" liegt, dass also gilt, fordern wir, dass eine Ausschöpfung von enthält.
    • damit auch Differenzen von Mengen mit unendlichem Maß, die Teilmengen voneinander sind, wieder in liegen, fordern wir, dass die Mengen der Ausschöpfung alle endliches Maß haben
  • haben gesehen, dass das Mengensystem der guten Mengen unter diesen Vorausstzungen schon ein Dynkin-System ist, also das von erzeugte Dynkin-System enthält.
  • Haben ferner gesehen, wenn ein Dynkin-System zusätzlich durchschnittstabil ist, dann ist es eine -Algebra.
  • Unter welchen Bedingungen ist also durchschnittstabil? (Dann sind wir fertig: Es folgt .)
  • Offenbar hängt das nur von den Eigenschaften des Mengensystems ab, nicht von oder .
  • Die Durchschnittstabilität von reicht aus. Das hat damit zu tun, dass die Schnittoperation mit den Operationen Vereinigung und Komplement eines Dynkin-Systems verträglich ist und sich die Schnittstabilität so vom Erzeuger auf das erzeugte Dynkin-System fortpflanzt.
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To-Do:

Evtl. für den letzten Punkt eine bessere Begründung finden

Satz

Jedes von einem durchschnittstabilen Mengensystem erzeugte Dynkin-System ist durchschnittstabil.

Beweis

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To-Do:

Beweis ausformulieren. Besser erklären, was genau passiert und warum man so vorgeht. Stichwort: Prinzip der guten Menge

Sei ein durchschnittstabiles Mengensystem über der Grundmenge . Wir betrachten zuerst das Mengensystem

und zeigen, dass das ein Dynkin-System ist. Wegen der Durchschnittstabilität von gilt und es folgt dann .

... ( ist ein Dynkin-System)

Nun betrachten wir das Mengensystem von Schnitten von beliebigen Mengen aus :

Wenn wir gezeigt haben, dass diese Menge ein Dynkin-System ist, sind wir fertig. Wir haben nämlich nach dem Vorherigen und damit .

... ( ist ein Dynkin-System)

  • Aus den letzten beiden Sätzen über Dynkinsysteme folgt unmittelbar:

Satz

Ist ein durchschnittstabiles Mengensystem, so gilt .

Beweis

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To-Do:

Beweis ergänzen.

  • Dieser Zusammenhang von Dynkin-Systemen und -Algebren ist sehr nützlich und vereinfacht viele Beweise über Maße. Das liegt daran, dass man bei Dynkin-Systemen die -Additivität des Maßes ausnutzen kann, da nur disjunkte Vereinigungen betrachtet werden müssen. Im Beweis des Eindeutigkeitssatzes werden wir gleich ein erstes Beispiel sehen, wo es dadurch möglich wird, die gewünschte Aussage zu zeigen.
  • Wir können jetzt den Eindeutigssatz formulieren und beweisen:

Eindeutigkeitssatz[Bearbeiten]

  • Motivieren, dass man die Monotonie bei der Ausschöpfung nicht braucht.

Satz (Eindeutigkeitssatz)

Seien und zwei Maße auf der -Algebra über der Grundmenge . Es gebe einen Erzeuger von mit folgenden Eigenschaften:

  • und stimmen auf überein, d.h. für alle ,
  • Es gibt eine Folge von Mengen aus , sodass und ist,
  • ist durchschnittstabil, d.h. .

Dann gilt auf ganz . Insbesondere ist also ein Maß dann schon durch die Werte auf eindeutig bestimmt. Gilt (z.B. wenn und Wahrscheinlichkeitsmaße sind), so gilt die Folgerung auch ohne die Existenz der Folge .

Beweis (Eindeutigkeitssatz)

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To-Do:

Beweis ergänzen.

  • Dieser Beweis ist ein gutes Beispiel für die Nützlichkeit von Dynkin-Systemen: Wegen der Disjunktheit aller Vereinigungen konnten wir bequem die -Additivität der Maße und ausnutzen.
  • Hinweis: Wegen der Durchschnittstabilität von muss die Mengenfolge , die ausschöpft, nicht zwingend monoton steigend sein. Es reicht zu fordern, dass es eine Folge in gibt, sodass gilt: Dann setze , und diese Mengen erfüllen
  • Beweis dafür
  • Also: Alternative Formulierung des Fortsetzungssatzes (s. El.)
  • Haben oben gesehen, dass für W.maße manche Voraussetzungen nicht nötig/automatisch erfüllt sind. Haben also für W.maße eine alternative Version des Eindeutigkeitssatzes
  • Begründung, warum das geht (die Ausschöpfung ist gegeben durch )