Prämaße und Maße – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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To-Do:
  • Stichpunkte ausformulieren.
  • Soll man "Ring" durch "sigma-Ring" ersetzen? Im vorherigen Artikel hat man sigma-Ringe als natürliche Definitionsbereiche von stetigen Inhalten kennengelernt. Ringe sind aber allgemeiner und wurden auch bei der Definition der Stetigkeit benutzt.

Sigma-Additivität[Bearbeiten]

Im vorherigen Artikel haben wir stetige Inhalte kennengelernt. Intuitiv haben wir einen Inhalt als stetig aufgefasst, wenn er das Messen des Inhalts einer Menge durch Approximation erlaubt. Ausgehend von dieser Überlegung haben wir eine formale Definition für die Stetigkeit eines Inhalts gefunden. Die folgende einfachere Formulierung ist äquivalent dazu, wie wir gesehen haben:

Definition (Stetiger Inhalt)

Ein Inhalt auf einem Ring heißt stetig, falls für jede aufsteigende Mengenfolge mit Grenzwert

gilt.

Der Vorteil der Stetigkeit besteht darin, dass man den Inhalt einer komplizierten Menge durch Approximation mit einfacher zu messenden Mengen bestimmen kann. Um aber Mengen durch Approximation messen zu können, muss man zuerst wissen, ob der Inhalt stetig ist. Und weil wir Stetigkeit genau durch diese Approximations-Eigenschaft definiert haben, muss man dafür erst für alle Mengenfolgen überprüfen, ob die Inhalte der Mengen den Inhalt des Grenzwerts approximieren. Wir drehen uns also im Kreis. Deshalb suchen wir nun eine einfachere Charakterisierung der Stetigkeit. Vielleicht können wir eine finden, die der Additivität ähnelt, die ja bei Inhalten sowieso vorliegt.

  • Für eine Folge paarweise disjunkter Mengen bilden die Mengen eine aufsteigende Mengenfolge mit Grenzwert .
  • Es folgt für einen stetigen Inhalt: .
  • bei stetigen Inhalten gilt also die Additivität offenbar auch für disjunkte Vereinigungen unendlich vieler Mengen. Diese Eigenschaft heißt sigma-Additivität, d.h. "abzählbare Additivität".
  • Definition: sigma-additiver Inhalt auf einem Ring
  • kann man umgekehrt die sigma-Additivität zur einfacheren Charakterisierung der Stetigkeit benutzen?
  • Dafür müssen wir irgendwie eine beliebige aufsteigende Mengenfolge mit Grenzwert in auf eine Folge disjunkter Mengen zurückführen.
  • Erinnerung: der Definitionsbereich ist ein Ring, wir können also Differenzen von Mengen bilden.
  • jede Vereinigung kann durch Differenzbildung disjunkt gemacht werden: für mit definiere . Diese Mengen liegen wieder im Ring und es ist .
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To-Do:

Bild einfügen, das die veranschaulicht

  • Insbesondere für eine aufsteigende Mengenfolge in mit Grenzwert kann man definieren und erhält und . Man kann die aufsteigende Folge der also auf eine Folge disjunkter Mengen zurückführen.
  • Weiß man nun, dass der Inhalt sigma-additiv ist, dann folgt .
  • insgesamt haben wir bewiesen, dass die Stetigkeit äquivalent durch die sigma-Additivität charakterisiert werden kann:
  • Satz: auf Ringen sind Stetigkeit und sigma-Additivität von Inhalten äquivalent. Sei ein Inhalt auf einem Ring . Es sind äquivalent:
    • ist stetig, d.h. ...
    • ist sigma-additiv, d.h. ...

Beispiele für sigma-additive Mengenfunktionen[Bearbeiten]

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To-Do:

Beispiele für sigma-additive Mengenfunktionen

Prämaße[Bearbeiten]

  • Bemerkung: die Äquivalenz sigma-additiv <=> stetig gilt nur auf Ringen, weil wir Differenzstabilität brauchen für "=>". Trotzdem ist sigma-Additivität auch für sich interessante und nützliche Eigenschaft, die leichter zu handhaben ist als die Folgendefinition. Deshalb gibt es einen eigenen Begriff für sigma-additive Inhalte
  • Definition: Prämaß auf sigma-Ring
  • Bemerkung: allgemeinere Definition (Prämaß auf bel. Mengensystem . Man muss zusätzlich Fordern, dass die disjunkte Vereinigung wieder im Mengensystem liegt.)
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To-Do:

Eigenschaften von Prämaßen:

  • Prämaße sind stetig von unten und von oben
  • endliche Additivität
  • sigma-Subadditivität
  • für endliche Inhalte auf Ringen gilt: ist -additiv stetig in (folgt aus dem Satz über die Stetigkeit endlicher Inhalte am Ende dieses Abschnitts im Artikel über stetige Inhalte.)
  • die letzte Eigenschaft gilt i.A. nicht für nicht-endliche Inhalte: Gegenbeispiel (schonmal gesehen im oben verlinkten Abschnitt): mit )

Sigma-Algebren und Maße[Bearbeiten]

  • sind wir am Ziel? Es ist noch unklar, ob Grundmenge im (sigma-)Ring liegt.
  • Warum ist das zentral? Beispiele aus W.theorie: sicheres Ereignis, Gegenereignisse sollten messbar sein!
  • Definition: sigma-Algebra = sigma-Ring + Grundmenge
  • Äquivalente Charakterisierung, leichter zu überprüfen: Definition mit Komplementen.
  • Definition: Maß (Prämaß auf sigma-Algebra)
  • Definition: Messbarer Raum, Maßraum
  • Spezialfall: Wahrscheinlichkeitsmaße (). Maßraum wird zum Wahrscheinlichkeitsraum
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To-Do:

Eigenschaften von Maßen:

  • (höchstens abzählbar unendliche) Linearkombinationen von Maßen mit nichtnegativen Koeffizienten sind wieder Maße

Beispiele für Maße[Bearbeiten]

  • Inhalt auf einer endlichen Grundmenge (sigma-Additivität ist klar, weil es nur endliche Vereinigungen gibt)
  • Nullmaß auf irgendeiner simga-Algebra mit irgendeiner Grundmenge
  • Zählmaß auf mit sigma-Algebra (zeigen, dass das ein Maß ist..)
  • Dirac-Maße für ein (ist ein W-Maß auf )
  • Maß mit
  • interessantere Beipiele werden wir nach dem Kapitel über Konstruktion von Maßen kennenlernen. Z.B wissen wir momentan noch nicht einmal, ob es eine (unendliche) sigma-Algebra über gibt, auf der die elementargeometrische Länge ein Maß ist.