Prämaße und Maße – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Sigma-Additivität[Bearbeiten]

  • Wie können wir von einem Inhalt rausfinden, ob er stetig ist? Wir wollen die Stetigkeit nutzen können, um Volumen von Mengen zu approximieren, bzw. um das Volumen von "komplizierteren" Mengen im sigma-Ring zu bestimmen. Wenn wir aber erst für alle Mengenfolgen überprüfen müssen, ob die Volumina im Grenzwert mit dem Volumen des Grenzwerts übereinstimmen, dann drehen wir uns im Kreis. Suchen also eine einfachere Charakterisierung der Stetigkeit
  • Beobachtung: wir betrachten in der Definition immer abzb. Vereinigungen beliebiger Mengen. Insbesondere müssen sie nicht disjunkt sein. Aber vielleicht können wir die Vielfalt ein bisschen reduzieren, indem wir zusätzliche Bedingungen an die stellen, ohne das tatsächlich einzuschränken, d.h. Folgen zu verlieren?
  • was passiert, wenn wir nurnoch disjunkte Mengen zulassen? Da die Stetigkeit für alle Mengenfolgen gilt, intuitiv natürlich auch für diese. Aber umgekehrt: können wir aus der Gültigkeit für disjunkte Mengen schon auf beliebige schließen?
  • Erinnerung: wir operieren auf einem Ring, können also gefahrlos Differenzen von Mengen bilden. jede Vereinigung kann durch Differenzbildung disjunkt gemacht werden: für setze , dann ist
  • können uns also tatsächlich auf disjunkte Vereinigungen beschränken. Auf (endlich vielen) disjunkten Mengen sind Inhalte additiv, verallgemeinert sich diese Eigenschaft auf abzählbar viele Mengen, gilt also eine "sigma-Additivität"?
  • Definition: sigma-additiv
  • Beweis: auf Ringen sind Stetigkeit und sigma-Additivität von Inhalten äquivalent. Sei ein Ring.
    • ist stetig, dann ist sigma-additiv
    • ist sigma-additiv, dann gilt für alle , ist also stetig.
  • Beispiele für Auftreten von sigma-Additivität: aus vielen kleiner werdenden Rechtecken zusammengesetztes Rechteck; WT-Beispiel mit dem Münzwurf (https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~thaeter/stochastik08/zufallsversuchBu.pdf Bsp. 5)

Beispiele für sigma-additive Mengenfunktionen[Bearbeiten]

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Prämaße[Bearbeiten]

  • Bemerkung: die Äquivalenz sigma-additiv <=> stetig gilt nur auf Ringen, weil wir Differenzstabilität brauchen für "=>". Trotzdem ist sigma-Additivität auch für sich interessante und nützliche Eigenschaft, die leichter zu handhaben ist als die Folgendefinition. Deshalb gibt es eine extra Definition für sigma-additive Inhalte
  • Definition: Prämaß auf sigma-Ring
  • Bemerkung: allgemeinere Definition (Prämaß auf bel. Mengensystem )
  • Eigenschaften von Prämaßen:
    • Prämaße sind stetig von unten und von oben
    • endliche Additivität
    • sigma-Subadditivität
    • für endliche Inhalte auf Ringen gilt: ist -additiv stetig in (Gegenbeispiel für nicht-endliche Inhalte: Betrachte mit )

Sigma-Algebren und Maße[Bearbeiten]

  • sind wir am Ziel? Es ist noch unklar, ob Grundmenge im (sigma-)Ring liegt.
  • Warum ist das zentral? Beispiele aus W.theorie: sicheres Ereignis, Gegenereignisse sollten messbar sein!
  • Definition: sigma-Algebra = sigma-Ring + Grundmenge
  • Äquivalente Charakterisierung, leichter zu überprüfen: Definition mit Komplementen.
  • Definition: Maß (Prämaß auf sigma-Algebra)
  • Definition: Messbarer Raum, Maßraum
  • Spezialfall: Wahrscheinlichkeitsmaße (). Maßraum wird zum Wahrscheinlichkeitsraum
  • Eigenschaften von Maßen:
    • Satz: (höchstens abzählbar unendliche) Linearkombinationen von Maßen mit nichtnegativen Koeffizienten sind wieder Maße

Beispiele für Maße[Bearbeiten]

  • Inhalt auf einer endlichen Grundmenge (sigma-Additivität ist klar, weil es nur endliche Vereinigungen gibt)
  • Nullmaß auf irgendeiner simga-Algebra mit irgendeiner Grundmenge
  • Zählmaß auf mit sigma-Algebra (zeigen, dass das ein Maß ist..)
  • Dirac-Maße für ein (ist ein W-Maß auf )
  • Maß mit
  • interessantere Beipiele werden wir nach dem Kapitel über Konstruktion von Maßen kennenlernen. Z.B wissen wir momentan noch nicht einmal, ob es eine (unendliche) sigma-Algebra über gibt, auf der die elementargeometrische Länge ein Maß ist.