Prämaße und Maße – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin / dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Stichpunkte ausformulieren.

Sigma-Additivität[Bearbeiten]

Im vorherigen Artikel haben wir stetige Inhalte kennengelernt. Intuitiv haben wir einen Inhalt als stetig aufgefasst, wenn er das Messen des Inhalts einer Menge durch Approximation erlaubt. Ausgehend von dieser Überlegung haben wir eine formale Definition für die Stetigkeit eines Inhalts gefunden. Die folgende einfachere Formulierung ist äquivalent dazu, wie wir gesehen haben:

Definition (Stetiger Inhalt)

Ein Inhalt auf einem Ring heißt stetig, falls für jede aufsteigende Mengenfolge mit Grenzwert gilt:

Der Vorteil der Stetigkeit besteht darin, dass man den Inhalt einer komplizierten Menge durch Approximation mit einfacher zu messenden Mengen bestimmen kann. Um aber Mengen durch Approximation messen zu können, muss man zuerst wissen, ob der Inhalt stetig ist. Und weil wir Stetigkeit genau durch diese Approximations-Eigenschaft definiert haben, muss man dafür erst für alle Mengenfolgen überprüfen, ob die Inhalte der Mengen den Inhalt des Grenzwerts approximieren. Wir drehen uns also im Kreis. Deshalb suchen wir nun eine einfachere Charakterisierung der Stetigkeit. Vielleicht können wir eine finden, die der Additivität ähnelt, die ja bei Inhalten sowieso vorliegt.

Im Folgenden sei ein Inhalt auf einem Ring . Wir wissen, dass für paarweise disjunkte Mengen aufgrund der Additivität gilt, dass

Angenommen, ist stetig. Eine unendliche Reihe ist einfach ein Grenzwert einer Folge endlicher Summen, und wir ahnen, wie sich die Additivität bei stetigen Inhalten verallgemeinern lässt: Sei eine Folge paarweise disjunkter Mengen in , sodass ihre Vereinigung ebenfalls im Ring liegt. Dann bilden die Mengen eine aufsteigende Mengenfolge mit Grenzwert . Aus der Annahme, dass stetig ist, folgt

Für einen stetigen Inhalt gilt also die Additivität auch bei Vereinigungen unendlich vieler disjunkten Mengen. Voraussetzung dabei ist natürlich, dass die Vereinigung der unendlich vielen disjunkten Mengen wieder im Definitionsbereich von liegt. Man nennt Inhalte, die diese Eigenschaft erfüllen, -additiv, d.h. "abzählbar additiv":

Definition (-additiver Inhalt auf einem Ring)

Sei ein Ring und eine Folge paarweiser disjunkter Mengen, deren Vereinigung ebenfalls im Ring liegt. Ein Inhalt heißt -additiv, wenn gilt

Hinweis

Es ist nicht ausgeschlossen, dass die Reihe auf der rechten Seite der Gleichung divergiert, d.h. den Wert Unendlich hat.

Wir haben gesehen, dass stetige Inhalte auf Ringen -additiv sind. Erinnern wir uns an unser ursprüngliches Ziel: eine alternative Charakterisierung der Stetigkeit zu finden. Wir wollen untersuchen, ob die -Additivität als eine solche Charakterisierung taugt.

Sei nun also ein -additiver Inhalt auf einem Ring Sei weiter eine monoton steigende Mengenfolge, deren Grenzwert ebenfalls in liegt. Wir wollen versuchen, die Stetigkeit von nachzuweisen, d.h. die Eigenschaft

Um die -Additivität ausnutzen zu können, müssen wir die Folge der (nicht notwendigerweise paarweise disjunkten) in eine Folge paarweise disjunkter Mengen verwandeln, deren Vereinigung ebenfalls gleich ist. Dafür nehmen wir uns jedes der Folge und ziehen den Teil ab, der schon in den vorherigen Folgengliedern enthalten ist: Definiere die Mengen

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild einfügen, das die veranschaulicht (als "Donuts"/"Ringe")

Da Ringe stabil unter Bildung von Differenzen sind, liegt die Folge der paarweise disjunkten ebenfalls in . Weiter gilt und damit auch . Es folgt also

wobei wir in die Annahme ausgenutzt haben, dass ein -additiver Inhalt ist.

Insgesamt zeigen unsere Überlegungen, dass für Inhalte auf Ringen Stetigkeit und -Additivität äquivalent sind. Wir haben also eine mit der Additivität eng verwandte alternative Charakterisierung der Stetigkeit gefunden.

Satz (Äquivalenz von Stetigkeit und -Additivität auf Ringen)

Für einen Inhalt auf einem Ring sind äquivalent:

  1. ist stetig,
  2. ist -additiv.

Beispiele[Bearbeiten]

Wir erinnern zunächst an dieses Beispiel aus dem Artikel über stetige Inhalte. Dort betrachten wir die Grundmenge und den Inhalt , der von einer beliebigen Teilmenge der natürlichen Zahlen bestimmt, ob sie endlich oder unendlich ist:

Der Inhalt wurde als unstetig erkannt, da die Bedingung der Stetigkeit für die aufsteigende Mengenfolge der Mengen mit Grenzwert nicht erfüllt ist. Tatsächlich ist er auch nicht -additiv. Ein Gegenbeispiel sind die paarweise disjunkten Mengen , die man wie oben durch Bilden der Differenzen aus den gewinnen kann. Für diese gilt

Ein Beispiel für einen -additiven (und also stetigen) Inhalt auf einem Ring ist dagegen der Inhalt mit , ebenfalls auf der Potenzmenge definiert, der die Anzahl der Elemente einer Teilmenge von bestimmt. Es ist offenkundig, dass dieser -additiv ist: Sind paarweise disjunkt, so gilt natürlich

Genauso ist natürlich jeder stetige Inhalt -additiv, wie unsere Überlegungen im vorherigen Abschnitt gezeigt haben.

Prämaße[Bearbeiten]

  • Bemerkung: die Äquivalenz sigma-additiv <=> stetig gilt nur auf Ringen, weil wir Differenzstabilität brauchen für "=>". Trotzdem ist sigma-Additivität auch für sich interessante und nützliche Eigenschaft, die leichter zu handhaben ist als die Folgendefinition. Deshalb gibt es einen eigenen Begriff für sigma-additive Inhalte
  • Definition: Prämaß auf sigma-Ring
  • Bemerkung: allgemeinere Definition (Prämaß auf bel. Mengensystem . Man muss zusätzlich Fordern, dass die disjunkte Vereinigung wieder im Mengensystem liegt.)
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Eigenschaften von Prämaßen:

  • Prämaße sind stetig von unten und von oben
  • endliche Additivität
  • sigma-Subadditivität
  • für endliche Inhalte auf Ringen gilt: ist -additiv stetig in (folgt aus dem Satz über die Stetigkeit endlicher Inhalte am Ende dieses Abschnitts im Artikel über stetige Inhalte.)
  • die letzte Eigenschaft gilt i.A. nicht für nicht-endliche Inhalte: Gegenbeispiel (schonmal gesehen im oben verlinkten Abschnitt): mit )

Sigma-Algebren und Maße[Bearbeiten]

  • sind wir am Ziel? Es ist noch unklar, ob Grundmenge im (sigma-)Ring liegt.
  • Warum ist das zentral? Beispiele aus W.theorie: sicheres Ereignis, Gegenereignisse sollten messbar sein!
  • Definition: sigma-Algebra = sigma-Ring + Grundmenge
  • Äquivalente Charakterisierung, leichter zu überprüfen: Definition mit Komplementen.
  • Definition: Maß (Prämaß auf sigma-Algebra)
  • Definition: Messbarer Raum, Maßraum
  • Spezialfall: Wahrscheinlichkeitsmaße (). Maßraum wird zum Wahrscheinlichkeitsraum

Beispiele für Maße[Bearbeiten]

  • Inhalt auf einer endlichen Grundmenge (sigma-Additivität ist klar, weil es nur endliche Vereinigungen gibt)
  • Nullmaß auf irgendeiner simga-Algebra mit irgendeiner Grundmenge
  • Zählmaß auf mit sigma-Algebra (zeigen, dass das ein Maß ist..)
  • Dirac-Maße für ein (ist ein W-Maß auf )
  • Maß mit
  • evtl: (höchstens abzählbar unendliche) Linearkombinationen von Maßen mit nichtnegativen Koeffizienten sind wieder Maße
  • interessantere Beipiele werden wir nach dem Kapitel über Konstruktion von Maßen kennenlernen. Z.B wissen wir momentan noch nicht einmal, ob es eine (unendliche) sigma-Algebra über gibt, auf der die elementargeometrische Länge ein Maß ist.