Stetige Inhalte auf Sigma-Ringen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation der Stetigkeit von Inhalten[Bearbeiten]

  • oft erwarten wir, dass kleine Änderungen einer gemessenen Größe nur kleine Änderungen des Messergebnisses bewirken.
  • Beispiele:
    • Wiegen einer Zutat: nimmt man nur ein bisschen dazu, dann ändert sich auch das Gewicht nicht viel.
    • Zählen von Objekten: bestimmt man die Anzahl einer (endlichen oder abzählbar unendlichen) Menge von Objekten, so verändert diese sich nur wenig, wenn nur wenige Objekte hinzugetan/weggenommen werden
    • der Umfang/Flächeninhalt eines Kreises ändert sich nur wenig, wenn der Radius nur wenig verändert wird
    • ...
  • Beobachtung: diese Eigenschaft ermöglicht es, den Inhalt von Mengen über andere Mengen zu approximieren (der "Fehler" kann über die Abweichung der Mengen voneinander kontrolliert werden).
  • das ist ein großer Vorteil: können so auch "komplizierte" Mengen messen, indem wir sie approximieren.
  • Bild: Kreis, der mit Rechtecken ausgefüllt wird.
  • Stetigkeit ist wegen dieser Möglichkeit zum Approximieren etwas, das wir von einem Inhalt haben wollen.
  • Bevor wir das genauer untersuchen: gibt es überhaupt unstetige Inhalte?
  • Ja. Beispiel: Inhalt, der von einer Teilmenge von bestimmt, ob sie endlich oder unendlich ist, im ersten Fall 0, andernfalls Unendlich. Dann approximieren die Mengen zwar , aber nicht die Werte für den Inhalt dieser Mengen. (Interpretation: der Übergang von "endlich" zu "unendlich" ist irgendwie unstetig)
  • nicht alle Inhalte sind also stetig und es ist sinnvoll, diese Eigenschaft extra zu fordern.
  • wie können wir die Approximations-Eigenschaft formalisieren?
  • naheliegend wäre: Wir wollen einen Inhalt stetig nennen, wenn für eine Folge gilt, dass .
  • aber Vorsicht: was soll überhaupt bedeuten, wenn die Mengen sind?

Mengenfolgen[Bearbeiten]

  • offenbar kann man für einen sinnvollen Grenzwert nicht beliebige Mengenfolgen zulassen: wogegen konvergiert zum Beispiel die Folge mit ?
  • dagegen kann man bei der Folge mit vermuten, dass sie gegen konvergiert
  • Monotonie einer solchen Folge scheint notwendig zu sein, d.h. dass die Mengen auf- oder absteigend ineinander enthalten sind. Naheliegend ist dann für aufsteigende Folgen den Grenzwert als Vereinigung und für absteigende als Schnitt aufzufassen
  • Interpretation: Approximation einer Menge von außen (fallende Folge)/von innen (steigende Folge)
  • Notation:
    • aufsteigende Mengenfolge: ist mit und ist , dann schreiben wir
    • aufsteigende Mengenfolge: ist mit und ist , dann schreiben wir
  • (Bemerkung: man kann liminf, limsup für Mengenfolgen definieren, die existieren immer, uns reicht aber an dieser Stelle die Monotonie-Version)

Stetigkeit von unten und von oben[Bearbeiten]

  • ausgestattet mit dieser Definition von Grenzwerten von Mengenfolgen können wir nun einen Versuch machen, die Stetigkeit eines Inhalts auf einem Ring zu definieren.
  • beachte: bei der Definition fordern wir, dass der Grenzwert der Mengenfolge wieder im Ring liegt, damit die Definition sinnvoll ist. Beispiel: Ring der Rechtecke; betrachte Quader, der sich aus abzb. vielen kleinen Quadern zusammensetzt, von denen jeder die Hälfte des Vorherigen ist, dann ist der Grenzwert auch wieder im Ring. Anders ist das beim in der Einleitung gezeigten Kreis, der mit Rechtecken gefüllt wird.
  • Stetigkeitsdefinition - naiv: Ein Inhalt auf einem Ring heißt
    • stetig von unten, falls für jede aufsteigende Mengenfolge mit gilt: .
    • stetig von oben, falls für jede absteigende Mengenfolge mit gilt: .
  • Erinnerung: Inhalt auf , der die Elemente einer Teilmenge zählt, ist stetig im Sinne der Approximations-Eigenschaft (s. einleitende Beispiele oben)
  • wir erwarten also, dass es stetig von unten und von oben im Sinne der neuen Definition ist
  • aber: für die Folge mit gilt, dass , aber ! Das ist nicht sinnvoll
  • es kann also sein, dass jedes Folgenglied einer Folge unendliches Volumen hat, aber die Mengen trotzdem gegen eine Menge endlichen Volumens konvergieren
  • diesen Fall wollen wir ausschließen: Fordern Endlichkeitsbedingung bei Stetigkeit von oben
  • bei Stetigkeit von unten kein Problem: wenn ab einem Folgenglied unendlich, dann wegen der Monotonie für alle und die Gleichheit gilt mit auf beiden Seiten
  • Definition - korrigiert Stetigkeit von unten und von oben
  • Frage: wie hängen die beiden Eigenschaften miteinander zusammen?
  • bei reellen Zahlenfolgen etwa kann man aus einer steigenden Folge mit leicht eine fallende machen, indem man betrachtet, und umgekehrt
  • schön wäre, wenn Stetigkeit von unten auch die von oben implizieren würde, weil man für erstere keine Zusatzbedingung braucht, sondern die Stetigkeit für beliebige aufsteigende Mengenfolgen erhält.
  • das ist tatsächlich so, und der Beweis beruht genau auf der Idee mit den Zahlenfolgen
  • Satz + Beweis: stetig von unten stetig von oben
  • überraschenderweise gilt aber die andere Richtung nicht: anders als bei z. B. Zahlenfolgen funktioniert mit Mengen die andere Richtung nicht immer, weil man die einschränkende Bedingung der Endlichkeit ab einem Index stellen muss und so ein paar Folgen “verliert”, wenn der Inhalt nicht endlich ist. Bei reellen Zahlen ist ja Endlichkeit immer gegeben, deshalb ist das kein Problem, ebenso, wenn der Inhalt endlich ist
  • Gegenbeispiel: nimm Beispiel aus der Einleitung ( ist 0, falls endlich, sonst). Die einzigen absteigenden Mengenfolgen, die die Endlichkeitsbedingung erfüllen, sind ab einem Index endlich, und da ist der Wert konstant 0.

Beispiele für stetige Inhalte[Bearbeiten]

//TODO

Sigma-Ringe[Bearbeiten]

  • Ausgangspunkt: stetiger Inhalt auf Ring
  • Erinnerung: Stetigkeit ermöglicht das Messen allg. Mengen durch Approximation
  • alle approximierbaren Mengen können so auch gemessen werden -> Definitionsbereich erweitern, so dass gilt:
    • der Grenzwert monoton wachsender Folgen von Mengen liegt im Mengensystem (= Abzb. Vereinigung)
    • der Grenzwert monoton fallender Folgen liegt im Mengensystem (= Abzb. Schnitt)
  • das sind gerade die Grenzwerte von auf-/absteigenden Mengenfolgen
  • Erinnerung: für Stetigkeit genügte Stetigkeit von unten. zu erwarten ist also, dass auch hier die Formulierung für "von unten" ausreicht (jede Menge, die sich von innen approximieren lässt, ist auch von außen approximierbar)
  • wie vorhin kann man aus einer fallenden eine wachsende Mengenfolge machen (betrachte , wobei ). Dann liegt der Grenzwert der fallenden genau dann im Mengensystem, wenn der Grenzwert der steigenden darin ist (denn wegen gilt .)
  • es reicht somit, zu fordern dass der Grenzwert steigender Mengenfolgen wieder im Mengensystem liegt
  • man kann jede Vereinigung einer beliebigen Mengenfolge als Grenzwert einer steigenden Folge auffassen, indem man betrachtet. Also können wir "Grenzwerte steigender Mengenfolgen in " durch "abzählbare Vereinigungen von Mengen aus " ersetzen
  • Definition: sigma-Ring: Ring mit . Bemerkung: im zweiten Punkt sind auch endliche Vereinigungen eingeschlossen (wähle für fast alle n), Definition kann also noch vereinfacht werden zu Differenzstabil + abzb. Vereinigungen.

Beispiele für sigma-Ringe[Bearbeiten]

  • Potenzmenge
  • jeder endliche Ring ist ein -Ring
    • ,
  • Ring über der Grundmenge mit abzählbar oder abzählbar
  • ...

Stetige Inhalte auf sigma-Ringen[Bearbeiten]

  • haben nun eine sinnvolle Charakterisierung und einen natürlichen Definitionsbereich stetiger Inhalte gefunden
  • Definition: Stetiger Inhalt auf sigma-Ring

Eigenschaften stetiger Inhalte[Bearbeiten]

  • Erinnerung: Stetigkeit von oben impliziert im Allgemeinen nicht Stetigkeit von unten.
  • aber wenn der Inhalt endlich ist, dann sind "von unten" und "von oben" äquivalent: Satz: endlich stetig von oben stetig von unten): Beweis: //TODO
  • es gilt: stetig von oben stetig in