Erzeugte sigma-Algebren – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Die von einem Mengensystem erzeugte sigma-Algebra[Bearbeiten]

Ausgangspunkt sei eine auf einem beliebigen Mengensystem definierte Mengenfunktion . Wir nehmen an, dass es eine Fortsetzung von zu einem Maß gibt und wollen uns hier mit der Frage befassen, auf welcher -Algebra eine Fortsetzung sinnvoll definiert werden kann.

Weil wir fortsetzen wollen, sollte zumindest für die gesuchte -Algebra gelten. Es sollte auch gelten, wenn schon eine -Algebra ist. Die Schwierigkeit besteht nun darin, genug Teilmengen der Grundmenge zu hinzuzunehmen, sodass daraus eine -Algebra wird, aber nur so viele, wie es mit Blick auf sinnvoll ist. Was damit gemeint ist, zeigt ein Beispiel:

Beispiel (Sinnvolle Erweiterung von )

Seien eine Grundmenge und ein Mengensystem von Teilmengen. Dann ist eine -Algebra. Aber natürlich ist auch eine -Algebra, die erweitert. Intuitiv ist diese Erweiterung aber wenig sinnvoll:

Sei irgendeine auf definierte Mengenfunktion. enthält auch die einelementigen Teilmengen von . Über diese enthält aber gar keine Information. Ist beispielsweise , dann ist möglich für jedes .

Für welche Mengen außerhalb von können wir überhaupt Informationen über erwarten? Intuitiv nur für diejenigen , welche wir mit Folgen von Mengen aus approximieren können: Für diese muss wegen der Stetigkeit von Maßen gelten. Die -Algebra soll also zusätzlich alle Grenzwerte von Mengenfolgen in enthalten.

Eine Analogie dazu ist der Abschluss einer Menge in einem metrischen Raum: Auch da gilt , Grenzwerte von Folgen in liegen wieder in und es ist , falls abgeschlossen ist.

Nun soll gleichzeitig die -Algebra nicht zu "groß" werden. Beim Abschluss einer Menge erreicht man das, indem man die kleinste abgeschlossene Obermenge als Abschluss wählt. Das garantiert einerseits, dass alle Häufungspunkte darin enthalten sind, andererseits, dass das tatsächlich die kleinstmögliche Hülle ist. Wir lassen uns von dieser Analogie leiten und fordern, dass die kleinste -Algebra sein soll, die das Mengensystem enthält. Beim Abschluss einer Menge erreicht man das, indem man definiert:

Versuchen wir das also auch für .

Definition (Erzeugte -Algebra)

Sei ein Mengensystem.

heißt die von erzeugte -Algebra, der dadurch definierte Operator heißt -Operator. wird Erzeuger von genannt.

Die Definition ist sinnvoll[Bearbeiten]

Um einzusehen, dass diese Definition sinnvoll ist, müssen wir uns noch von den folgenden Punkten überzeugen:

  • ist tatsächlich eine -Algebra. Wir müssen also zeigen, dass beliebige Schnitte von -Algebren wieder -Algebren sind.
  • Der Schnitt auf der rechten Seite ist nicht leer. Es gibt also mindestens eine -Algebra, die enthält (welche?).

(Übungsaufgaben)

Eigenschaften des -Operators[Bearbeiten]

Mit dieser Definition der erzeugten -Algebra erhalten wir tatsächlich die Eigenschaften, die wir angestrebt haben:

Satz

Seien Mengensysteme. Für den -Operator gelten die folgenden Eigenschaften:

  1. Extensivität:
  2. Monotonie bzw. Isotonie:
  3. Idempotenz:
  4. ist die kleinste -Algebra, die enthält. Ist eine -Algebra, so gilt .

Beweis

.../Übung

Hinweis

Die Eigenschaften 1.-3. (Extensivität, Monotonie und Idempotenz) machen den -Operator zu einem Hüllenoperator, wie auch der Abschluss "" von Mengen einer ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Wir erinnern an die Beispiele im Artikel Konstruktion von Maßen:

Die einelementigen Ereignisse bei Würfelwürfen werden durch

beschrieben, und die davon erzeugte -Algebra ist

wobei hier ist.

Das Mengensystem der halboffenen Intervalle ist gegeben durch

und erzeugt eine -Algebra , die Borel'sche -Algebra. Sie kann man für alle topologischen Räume definieren als die von den offenen Mengen erzeugte -Algebra.

Oft gibt es nicht nur einen möglichen Erzeuger für eine -Algebra. Die Borel'sche -Algebra auf beispielsweise wird auch von anderen Mengensystemen erzeugt, etwa von den abgeschlossenen Intervallen oder auch Intervallen der Form mit .

(((Verweis auf Artikel zu Beweistechniken)))

  • Die Borel'sche -Algebra ist so groß, dass wir sie nicht explizit angeben können. Wie kann man aber allgemein von einer Menge zeigen, dass sie in einer gegebenen erzeugten -Algebra iegt? (Beispiel)
  • Die Borel'sche -Algebra ist außerdem ein Beispiel dafür, dass dieselbe -Algebra von verschiedenen Mengensystemen erzeugt werden kann. Wie kann man zeigen, dass zwei unterschiedlich erzeugte -Algebren gleich sind? (Beispiel) Diese Beweistechnik wird in der Maßtheorie ot verwendet (zeigen, dass der Erzeuger der einen in der anderen -Algebra liegt, um mit den EIgenschaften des -Operators die Teilmengeninklusion für die beiden -Algebren zu folgern.)