Inhalte auf Ringen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Extensive Größen[Bearbeiten]

"Messen" im Sinne der Maßtheorie meint quantifizieren: Gefragt ist nicht "welchen Wert hat ...?", "wie schnell/heiß/hell ist ...?", sondern "wie viel von ...?", "wie groß/schwer/zahlreich ist ..?". Uns interessieren also Größen, die sich mit der Größe des zugrundeliegenden Systems ändern. In der Physik werden Größen mit dieser Eigenschaft extensive Größen genannt. Ein Beispiel dafür ist die Masse: Fügen wir zwei Körper und mit Masse und zusammen, so hat der entstehende Körper die größere Masse . Größen, die sich nicht mit der Größe des zugrundeliegenden Systems ändern, heißen auch intensiv. Zum Beispiel ist die Temperatur eine intensive Größe: das Zusammengießen zweier Flüssigkeiten einer Temperatur führt nicht zur Summe der Temperaturen.

Wann immer wir also in der Maßtheorie etwas "quantifizieren", dann messen wir eine extensive Größe. Weitere Beispiele für solche Größen sind:

Beispiel (Extensive Größen)

  • geometrische Volumina: die Länge einer Strecke, der Flächeninhalt einer Ebene oder Oberfläche, das Volumen eines Körpers, ... es sind sogar Volumina von Objekten nichtganzzahliger Dimension denkbar (Fraktale)
  • die einem physikalischen System enthaltene Energie
  • die Stoffmenge (wie viele Atome?)
  • die elektrische Ladung auf einem Körper
  • aber auch: die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen. Wenn mehr mögliche Ergebnisse eines Zufallsexperiments zu einem Ereignis gehören, dann steigt auch die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Wir können die Maßtheorie also als mathematische Theorie des Messens extensiver Größen auffassen.

Messfunktionen[Bearbeiten]

Wie können wir das Messen solcher Größen mathematisch fassen? Offenbar wird durch das Messen einer Größe eine Zuordnung beschrieben: Gewissen Objekten (Körpern, Ereignissen, Ansammlungen) wird jeweils genau ein (verallgemeinertes) Volumen zugeordnet. Das Messen einer Größe kann also durch eine Funktion beschrieben werden. Der Definitionsbereich dieser Funktion beinhaltet die zu messenden Objekte. Diese können als Teilmengen einer Grundgesamtheit aufgefasst werden: Beispielsweise kann man (physikalische) Körper als Teilmengen des und Mengen von Atomen als Teilmengen von sehen. Der Definitionsbereich wird also ein Mengensystem von Teilmengen einer (jeweils genauer zu bestimmenden) Grundmenge sein und die Funktion eine Mengenfunktion. Die Funktionswerte der Funktion entsprechen den diesen Mengen zugeordneten Volumina und sind Skalare aus .

Definition (Messfunktion)

Das Messen einer extensiven Größe formalisieren wir über eine Mengenfunktion auf einem System von Teilmengen einer Grundmenge mit Werten in . Eine solche Mengenfunktion, die das Messen einer extensiven Größe beschreibt, bezeichnen wir als Messfunktion.

Zunächst ist also eine Messfunktion nichts weiter als eine Mengenfunktion mit Werten in . Wir untersuchen, welche weiteren Eigenschaften eine Messfunktion erfüllen sollte, um sinnvoll das Messen einer extensiven Größe beschreiben zu können.

Welche Eigenschaften sollte eine Messfunktion haben?[Bearbeiten]

Nichtnegativität[Bearbeiten]

Es ist sinnvoll, Nichtnegativität von Messfunktionen zu verlangen. Denn wie soll ein negatives Volumen zu interpretieren sein? Zwar gibt es Situationen, in denen Messfunktionen auch negative Werte (signierte Maße) oder sogar gewisse lineare Abbildungen (Spektralmaße) als Werte annehmen. Da sie sich aber als Verallgemeinerungen aus dem nichtnegativen Fall ergeben, betrachten wir zunächst nur diesen. Außerdem sollte auch Unendlich als Funktionswert zugelassen sein: Beispielsweise sollte das geometrische Volumen von unendlich sein. Wir fordern also: Eine Messfunktion bildet nach ab.

Monotonie[Bearbeiten]

Messfunktionen sollen das Messen extensiver Größen formalisieren. Extensive Größen sind dadurch charakterisiert, dass sie sich mit der Größe des zugrundeliegenden Systems ändern. Insbesondere sollte ein Vergrößern des Systems nicht zu einer Verkleinerung der gemessenen Größe führen. Diese Eigenschaft sollte sich auch bei der Messfunktion finden. Mathematisch lässt sich das mit dem Begriff der Monotonie einer Mengenfunktion beschreiben:

Definition (Monotone Mengenfunktion)

Eine Mengenfunktion heißt monoton, falls für alle Mengen mit gilt, dass ist.

Wir fordern also: Eine Messfunktion ist monoton.

Subadditivität[Bearbeiten]

Die Monotonie der Messfunktion garantiert, dass das das Volumen einer gegebenen Menge stets kleiner oder gleich dem Volumen einer beliebigen Obermenge ist. Aber gilt das auch, wenn sich die Obermenge aus mehreren Mengen zusammensetzt? Intuitiv sollte das der Fall sein: Wird eine Menge mit Mengen überdeckt, dann sollte das Volumen von auf keinen Fall größer sein als die Summe der Volumina der überdeckenden Mengen.

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To-Do:

Bild einfügen: Mengen überdecken

Mathematisch ausgedrückt: Für eine Messfunktion und Mengen sollte gelten:

Insbesondere sollte diese Eigenschaft erfüllt sein, wenn die Vereinigung der überdeckenden Mengen selbst nicht mehr im Defintionsbereich liegt. Doch diese Eigenschaft wird noch nicht durch die Monotonie ausgedrückt!

Beispiel

Betrachte die Grundmenge und das Mengensystem . Die Mengenfunktion sei definiert durch und . Offenbar ist monoton. Jedoch gilt die Monotonie nicht mehr für endliche Überdeckungen! Es ist , aber

Die Eigenschaft von Mengenfunktionen, dass die Monotonie auch bei endlichen Überdeckungen erhalten bleibt, muss also extra gefordert werden. Man nennt das (endliche) Subadditivität.

Definition ((Endlich) subadditive Mengenfunktion)

Eine Mengenfunktion heißt (endlich) subadditiv, falls für alle und beliebige Mengen gilt:

Falls die Überdeckung der Menge nur aus einer einzigen Menge besteht, entspricht diese Eigenschaft genau der Monotonie. Wir können also die Subadditivität als Verallgemeinerung der Monotonie auffassen und die Forderung der Monotonie von Messfunktionen ersetzen durch diese verallgemeinerte Version: Messfunktionen sollen subadditiv sein.

Additivität[Bearbeiten]

Die bisher geforderten Eigenschaften der Monotonie bzw. allgemeiner der Subadditivität machen nur eine "approximative" Aussage: Die Funktionswerte einer subadditiven Mengenfunktion können vom "echten" Wert nach oben abweichen. Um das zu verdeutlichen ein

Beispiel (Subadditivität als äußere Approximation)

Seien und . Die Mengenfunktion mit und ist offenbar subadditiv. Der Fuktionswert der Menge ist aber nur eine obere Abschätzung des genauen Werts: Zu erwarten wäre .

Offenbar muss also für eine Messfunktion, die "exakt" sein soll, diese Eigenschaft zusätzlich gefordert werden: Wird eine Menge von endlich vielen, paarweise disjunkten Mengen genau überdeckt, dann soll das Volumen von gleich der Summe der Volumina der einzelnen sein.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild einfügen: Mengen zerlegen genau

Um hervorzuheben, dass eine Vereinigung eine Vereinigung paarweise disjunkter Mengen ist, führen wir eine neue Schreibweise ein:

Definition (Disjunkte Vereinigung)

Eine Vereinigung von Mengen heißt disjunkt, wenn die paarweise disjunkt sind, und wir schreiben

.

Die oben formulierte Bedingung der "Exaktheit" einer Mengenfunktion, dass passgenaues Überdecken bzw. Zerlegen und Wieder-Zusammensetzen einer Menge ihr Volumen nicht ändert, heißt (endliche) Additivität:

Definition ((Endlich) additive Mengenfunktion)

Eine Mengenfunktion heißt (endlich) additiv, falls für alle und alle paarweise disjunkten Mengen mit gilt:

.

Diese wünschenswerte Eigenschaft einer Messfunktion, exakt zu sein, halten wir fest und fordern also: Messfunktionen sind additiv.

Warnung

Beachte: In der Definition der Additivität stellen wir die einschränkende Bedingung, dass die Vereinigung der ebenfalls im Mengensystem liegt, damit die linke Seite der Gleichung sinnvoll ist. Das war bei der Subadditivität nicht nötig, weil es nur um die Überdeckung (und nicht Zerlegung) einer Menge ging.

Es ist wichtig zu bemerken, dass aufgrund dieser einschränkenden Bedingung die Additivität einer Mengenfunktion eng mit dem Mengensystem zusammenhängt, auf dem sie definiert ist. Insbesondere stellt die Additivität im Allgemeinen keine "Verbesserung" der Subadditivität dar: Während wir oben aus der Subadditivität die Monotonie folgern konnten, folgt aus der Additivität einer Mengenfunktion im Allgemeinen nicht ihre Subadditivität oder Monotonie. Das liegt daran, dass eine Mengenfunktion trivialerweise additiv sein kann, einfach weil ihr Definitionsbereich keine disjunkten Mengen enthält:

Beispiel (Eine additive, aber nicht monotone Mengenfunktion)

Sei ein Mengensystem und eine Mengenfunktion darauf mit und . Dann ist natürlich additiv, aber nicht monoton.

Jedoch werden wir später sehen, dass Additivität die Subadditivität impliziert, wenn der Definitionsbereich genügend "Struktur" aufweist.

Zuletzt macht es die Additivität von Messfunktionen wünschenswert, dass gilt: Wegen der Additivität muss gelten, und diese Bedingung ist nur für oder erfüllbar. Wäre nun , so müsste aufgrund der Monotonie für alle Mengen gelten. Um diesen pathologischen Fall auszuschließen, fordert man zusätzlich: Für Messfunktionen gilt .

Die Frage nach dem Definitionsbereich[Bearbeiten]

In den Überlegungen zur Additivität hat sich schon eine Schwierigkeit abgezeichnet: Ob eine Messfunktion additiv ist, hängt auch von ihrem Definitionsbereich ab. Es ist klar: Je mehr Mengen im Definitionsbereich enthalten sind, umso schwieriger ist es, die Additivität für alle diese Mengen sicherzustellen. Deshalb stellt sich die Frage, welches (möglichst umfassende) Mengensystem über einer Grundmenge man als Definitionsbereich einer bestimmten Messfunktion wählen kann, ohne ihre Additivität zu gefährden. In der Tat ist die Antwort auf diese Frage im Allgemeinen nicht einfach die Potenzmenge . Überraschenderweise ist es nicht möglich, jede (additive, subadditive) Messfunktion auf der gesamten Potenzmenge der Grundmenge zu definieren. Ein Beispiel ist das elementargeometrische Volumen auf dem :

Exkurs: Das Inhaltsproblem[Bearbeiten]

  • Ziel: Definition einer additiven Messfunktion auf , die das elementargeometrische Volumen beschreibt. Das Problem, diese Funktion auf ganz zu definieren, wird auch als Inhaltsproblem bezeichnet.
  • konkret: Inhaltsproblem. Gesucht ist eine auf der Potenzmenge des erklärte "Inhaltsfunktion" mit folgenden Eigenschaften:
    • endliche Additivität
    • Bewegungsinvarianz: Für jede Bewegung und für alle gilt . (Eine Bewegung ist eine affin-lineare Transformation mit , deren linearer Anteil orthogonal ist; anders gesagt, Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen im Raum sollen das Volumen nicht ändern)
    • Normiertheit:
  • Hausdorff, Banach und Tarski haben aber zeigen können:
    • Das Inhaltsproblem ist unlösbar für den , falls . (Hausdorff, 1914)
    • Das Inhaltsproblem ist lösbar für den und den , aber es ist nicht eindeutig lösbar. (Banach, 1923)
    • Satz von Banach und Tarski, 1924: ... [s. Elstrodt 8. Aufl. S. 5]

Mengenringe[Bearbeiten]

  • Wir können also i.A. nicht hoffen, eine Messfunktion auf der ganzen Potenzmenge definieren zu können. Das macht es nötig, sich über das Mengensystem, das als Definitionsbereich dienen soll, und seine Eigenschaften genauer Gedanken zu machen.
  • Wirft man einen Blick in Literatur zur Maßtheorie, findet man dort einen ganzen Zoo an Mengensystemen: Halbringe, Ringe, -Ringe (sprich: "Sigma-Ringe"), Algebren, -Algebren, Dynkin-Systeme, monotone Klassen, ... Einen Überblick darüber bekommst Du im Übersichtsartikel “Mengensysteme und Mengenfunktionen”.
  • wir beschränken uns erstmal nur auf die wesentlichsten Mengensysteme.
  • intuitiv sollte der Definitionsbereich einer additiven (und subadditiven) Messfunktion stabil unter den Operationen der Additivität und Subtraktivität sein: das ist die disjunkte Vereinigung endlich vieler Mengen und das Bilden von Differenzen.
  • um keinen trivialen Definitionsbereich zu bekommen, fordern wir außerdem .
  • durch das Bilden von Differenzen kann man beliebige Vereinigungen disjunkt machen: . Man kann also genauso gut allgemeiner die Abgeschlossenheit gegenüber allgemeinen (nicht unbedingt disjunkten) Vereinigungen fordern.
  • mit Induktion kann man außerdem folgern: die Vereinigung je zweier Mengen aus liegt wieder in die Vereinigung beliebig (endlich) vieler Mengen aus liegt wieder in .
  • Also Definition: Mengenring (kurz: Ring).
  • Bemerkung: für jeden Ring gilt , denn da es mindestens ein Element gibt (nichtleer), gilt auch .

Beispiele für Mengenringe[Bearbeiten]

  • Ring über der Grundmenge mit abzählbar oder abzählbar
  • Ring der Quaderfiguren im (wichtig!)
  • ...

Inhalte auf Ringen[Bearbeiten]

  • wir haben nun erste wesentliche Eigenschaften einer Messfunktion für extensive Größen gefunden:
    • die Messfunktion ist nichtnegativ, subadditiv (insbesondere monoton) und additiv,
    • der Definitionsbereich ist ein Ring

Auf Ringen ist Additivität ausreichend[Bearbeiten]

  • wir haben vorhin bemerkt, dass aus der Additivität im Allgemeinen nicht die Subadditivität und auch nicht die Monotonie folgt; zumindest nicht, wenn nichts weiter über bekannt ist.
  • man kann aber sowohl Monotonie, als auch Subadditivität aus der Additivität und Nichtnegativität folgern, wenn ein Ring ist
  • das hat damit zu tun, dass aufgrund der Differenzstabilität Vereinigungen disjunkt gemacht werden können und Additivität benutzt werden kann. Sei deshalb ein Ring über der Grundmenge , eine additive und nichtnegative Mengenfunktion. Dann gilt:
    • ist monoton. (Beweis)
    • ist subadditiv. (Beweis)
  • (Bemerkung: dieser Zusammenhang gilt auch auf Halbringen)
  • wir können also die obigen Eigenschaften einer Messfunktion auf ihrem natürlichen Definitionsbereich schon allein über die Nichtnegativität und die Additivität charakterisieren.
  • wieder dient die Zusatzbedingung dazu, den pathologischen Fall auszuschließen.
  • weil außerdem für Mengen aus einem Mengenring immer auch gilt, reicht es, die Forderung der endlichen Additivität nur für je zwei disjunkte Mengen zu stellen. Die Additivität für endlich viele pw. disjunkte Mengen folgt induktiv.
  • eine Messfunktion mit diesen Eigenschaften heißt Inhalt.
  • Definition: Inhalt auf Ring.

Beispiele für Inhalte auf Ringen[Bearbeiten]

//TODO

weitere Eigenschaften von Inhalten[Bearbeiten]

  • es gilt außerdem:
    • Subtraktivität (auch auf Halbringen, wenn )
    • Subtraktivität ist äquivalent zur Additivität (auf Ringen)
    • sigma-Superadditivität (auf Ringen)
    • Einschluss-Ausschluss-Prinzip (auf Ringen)