Binomialkoeffizient: Rechenregeln – „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Kapitel stelle ich dir die wichtigsten Eigenschaften des Binomialkoeffizienten vor.

Rechenregeln in der Übersicht

Es sei im Folgendem $k$ und $n$ eine natürliche Zahl, wobei $k$ und $n$ hier auch Null sein dürfen. Außerdem sei $0 \leq k \leq n$ . Es gelten nun folgende Regeln:

$(\binom{n}{0}) = 1$
$(\binom{n}{n}) = 1$
$(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$
$k \cdot (\binom{n}{k}) = n \cdot (\binom{n - 1}{k - 1})$
$(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})$ für $0 \leq k < n$

Einige der obigen Gleichungen können gut aus der Anschauung des Binomialkoeffizienten erklärt werden, dass $(\binom{n}{k})$ der Anzahl der $k$ -elementigen Teilmengen einer $n$ -elementigen Menge entspricht:

$(\binom{n}{n}) = 1$ weil eine $n$ -elementige Menge $M$ nur eine $n$ -elementige Teilmenge enthält (nämlich die Menge $M$ ).
$(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ . Zu jeder Teilmenge von $M$ mit $k$ Elementen existiert deren Komplement, welches $n - k$ Elemente enthält. Somit ist die Anzahl der unterschiedlichen Teilmengen gleich.
$(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})$ . Stellen wir uns Mengen $M, M^{'} := M \cup {e}$ vor, wobei $| M | = n$ und $e$ ein zuvor nicht in $M$ enthaltenes Element ist. Dann ist der erste Summand die Anzahl der $k$ -elementigen Teilmengen von $M$ - fügt man aber jeder dieser Mengen das neue Element $e$ hinzu, sind diese nun $k + 1$ -elementige Teilmengen von $M^{'}$ . Zusammen mit den $k + 1$ -elementigen Teilmengen ohne $e$ (der zweite Summand), erhalten wir das Ergebnis.

Andere Rechenregeln sind aber nicht so offensichtlich. Hier kann im Beweis auf die Fakultätsdefinition $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ des Binomialkoeffizienten zurückgegriffen werden.

Pascalsches Dreieck

Das pascalsche Dreieck ist eine grafische Anordnung der Binomialkoeffizienten in einem Dreieck:

\begin{matrix} (\binom{0}{0}) \\ (\binom{1}{0}) (\binom{1}{1}) \\ (\binom{2}{0}) (\binom{2}{1}) (\binom{2}{2}) \\ (\binom{3}{0}) (\binom{3}{1}) (\binom{3}{2}) (\binom{3}{3}) \\ ⋮ \end{matrix}

Wenn man die Binomialkoeffizienten ausrechnet, dann ergibt sich folgendes Dreieck:

\begin{matrix} 1 \\ 1 1 \\ 1 2 1 \\ 1 3 3 1 \\ ⋮ \end{matrix}

Die Regel $(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})$ ermöglicht es, den Binomialkoeffizienten als Summe der beiden direkt oberhalb liegenden Binomialkoeffizienten zu berechnen:

Animation zur Erstellung des Pascalschem Dreieck

Das Besondere am pascalschen Dreieck ist, dass man an ihm direkt die Binomalkoeffizienten und damit die Vorfaktoren beim Ausklammern von Potenzen der Form $(x + y)^{n}$ ablesen kann. Beispielsweise lautet die Zeile für $n = 3$ :

1 3 3 1

Dies ist die vierte Zeile, weil die erste Zeile im Dreieck zu $n = 0$ gehört. Damit wissen wir ohne Nachrechnen:

(x + y)^{3} = 1 \cdot x^{3} + 3 \cdot x^{2} y + 3 \cdot x y^{2} + 1 \cdot y^{3}

Der Sinn des pascalschen Dreiecks ist es also, die Vorfaktoren beim Ausklammern von Potenzen der Form $(x + y)^{n}$ einfach ablesen zu können. Das Dreieck wurde im Übrigen nach Blaise Pascal benannt, der es 1655 in einem seiner Bücher veröffentlichte. Es wurde aber bereits früher von anderen Mathematikern eingesetzt^[1].

Beweise zu den Rechenregeln

Regel 1 und 2

Satz

Es gelten die beiden Formeln $(\binom{n}{0}) = 1$ und $(\binom{n}{n}) = 1$ .

Beweis

Die obigen Gleichungen ergeben sich durch Ausnutzung der Fakultätsdefinition $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ des Binomialkoeffizienten:

(\binom{n}{0}) = \frac{n!}{0! \cdot (n - 0)!} = \frac{n!}{1 \cdot n!} = 1

und

(\binom{n}{n}) = \frac{n!}{n! \cdot (n - n)!} = \frac{n!}{n! \cdot 0!} = \frac{n!}{n! \cdot 1} = 1

Regel 3

Satz

Es ist $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ .

Wie kommt man auf den Beweis?

Um die notwendigen Termumformungen zu finden, beginnen wir am besten mit dem Term $(\binom{n}{n - k})$ (weil dieser komplizierter ist als $(\binom{n}{k})$ und deswegen die Umformung von $(\binom{n}{n - k})$ zu $(\binom{n}{k})$ wahrscheinlich einfacher ist als umgekehrt):

(\binom{n}{n - k}) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot (n - (n - k))!}

Der Term $(n - (n - k))!$ kann nun vereinfacht werden:

\frac{n!}{(n - k)! \cdot (n - (n - k))!} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot (n - n + k)!} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

Der Term $\frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}$ unterscheidet sich kaum von $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ . Im Nenner müssen nur noch die beiden Faktoren vertauscht werden:

\frac{n!}{(n - k)! \cdot k!} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = (\binom{n}{k})

Damit haben wir alle notwendigen Termumformungen für den Beweis gefunden .

Beweis

Die Formel kann folgendermaßen bewiesen werden:

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) & = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \\ = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!} \\ = \frac{n!}{(n - k)! \cdot (n - n + k)!} \\ = \frac{n!}{(n - k)! \cdot (n - (n - k))!} \\ = (\binom{n}{n - k}) \end{matrix}

Regel 4

Satz

Es ist $k \cdot (\binom{n}{k}) = n \cdot (\binom{n - 1}{k - 1})$ .

Wie kommt man auf den Beweis?

Zunächst können wir beide Binomialkoeffizienten ausschreiben:

\begin{matrix} k \cdot (\binom{n}{k}) & = k \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \\ n \cdot (\binom{n - 1}{k - 1}) & = n \cdot \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - 1 - (k - 1))!} \end{matrix}

Beide erhaltene Terme können soweit wie möglich vereinfacht werden:

\begin{matrix} k \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} & = \frac{n!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} \\ n \cdot \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - 1 - (k - 1))!} & = \frac{n \cdot (n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} \\ = \frac{n!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} \end{matrix}

Die vereinfachten Terme stimmen überein, also müssen auch $k \cdot (\binom{n}{k})$ und $n \cdot (\binom{n - 1}{k - 1})$ identisch sein. Im Beweis müssen wir nun die verwendeten Termumformungen aufschreiben, mit denen $k \cdot (\binom{n}{k})$ in $n \cdot (\binom{n - 1}{k - 1})$ umgeformt werden kann.

Beweis

Es ist

\begin{matrix} k \cdot (\binom{n}{k}) & = k \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \\ = n \cdot \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} \\ = n \cdot \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - 1 - k + 1)!} \\ = n \cdot \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - 1 - (k - 1))!} \\ = n \cdot (\binom{n - 1}{k - 1}) \end{matrix}

Regel 5

Satz

Sei $k, n \in ℕ$ mit $0 \leq k < n$ . Es ist dann $(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})$ .

Wie kommt man auf den Beweis?

Zum Beweis der Gleichung $(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})$ gehen wir schrittweise vor:

Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem man auf beiden Seiten die Definition $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ eingesetzt hat?

\frac{(n + 1)!}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} + \frac{n!}{(k + 1)! \cdot (n - k - 1)!}

Aufgabe: Versuche durch Termumformungen die gerade gefundene Gleichung zu beweisen.

$\begin{matrix} \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} + \frac{n!}{(k + 1)! \cdot (n - k - 1)!} \\ ↓ Brüche gleichnamig machen \\ = & \frac{n! \cdot (k + 1)}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} + \frac{n! \cdot (n - k)}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} \\ = & \frac{n! \cdot (k + 1) + n! \cdot (n - k)}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} \\ ↓ Zähler zusammenfassen \\ = & \frac{n! \cdot (k + 1 + n - k)}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} \\ = & \frac{n! \cdot (n + 1)}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} \\ = & \frac{(n + 1)!}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} \end{matrix}$

Beweis

Es ist

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) \\ = & \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} + \frac{n!}{(k + 1)! \cdot (n - k - 1)!} \\ ↓ Brüche gleichnamig machen \\ = & \frac{n! \cdot (k + 1)}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} + \frac{n! \cdot (n - k)}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} \\ = & \frac{n! \cdot (k + 1) + n! \cdot (n - k)}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} \\ ↓ Zähler zusammenfassen \\ = & \frac{n! \cdot (k + 1 + n - k)}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} \\ = & \frac{n! \cdot (n + 1)}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} \\ = & \frac{(n + 1)!}{(k + 1)! \cdot (n - k)!} \\ ↓ Im Nenner + 1 - 1 einfügen \\ = & \frac{(n + 1)!}{(k + 1)! \cdot ((n + 1) - (k + 1))!} \\ = & (\binom{n + 1}{k + 1}) \end{matrix}

Einzelnachweise

↑ Siehe hierzu den Wikipedia-Artikel „Pascalsches Dreieck“.

Anhang →

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[1] Siehe hierzu den Wikipedia-Artikel „Pascalsches Dreieck“.

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