In diesem Kapitel stelle ich dir die wichtigsten Eigenschaften des Binomialkoeffizienten vor.
Rechenregeln in der Übersicht[Bearbeiten]
Es sei im Folgendem
und
eine natürliche Zahl, wobei
und
hier auch Null sein dürfen. Außerdem sei
. Es gelten nun folgende Regeln:




für 
Einige der obigen Gleichungen können gut aus der Anschauung des Binomialkoeffizienten erklärt werden, dass
der Anzahl der
-elementigen Teilmengen einer
-elementigen Menge entspricht:
weil eine
-elementige Menge
nur eine
-elementige Teilmenge enthält (nämlich die Menge
).
. Zu jeder Teilmenge von
mit
Elementen existiert deren Komplement, welches
Elemente enthält. Somit ist die Anzahl der unterschiedlichen Teilmengen gleich.
. Stellen wir uns Mengen
vor, wobei
und
ein zuvor nicht in
enthaltenes Element ist. Dann ist der erste Summand die Anzahl der
-elementigen Teilmengen von
- fügt man aber jeder dieser Mengen das neue Element
hinzu, sind diese nun
-elementige Teilmengen von
. Zusammen mit den
-elementigen Teilmengen ohne
(der zweite Summand), erhalten wir das Ergebnis.
Andere Rechenregeln sind aber nicht so offensichtlich. Hier kann im Beweis auf die Fakultätsdefinition
des Binomialkoeffizienten zurückgegriffen werden.
Pascalsches Dreieck[Bearbeiten]
Originale Version von Blaise Pascal
Der Mathematiker Blaise Pascal
Das pascalsche Dreieck ist eine grafische Anordnung der Binomialkoeffizienten in einem Dreieck:
Wenn man die Binomialkoeffizienten ausrechnet, dann ergibt sich folgendes Dreieck:
Die Regel
ermöglicht es, den Binomialkoeffizienten als Summe der beiden direkt oberhalb liegenden Binomialkoeffizienten zu berechnen:
Das Besondere am pascalschen Dreieck ist, dass man an ihm direkt die Binomalkoeffizienten und damit die Vorfaktoren beim Ausklammern von Potenzen der Form
ablesen kann. Beispielsweise lautet die Zeile für
:
Dies ist die vierte Zeile, weil die erste Zeile im Dreieck zu
gehört. Damit wissen wir ohne Nachrechnen:
Der Sinn des pascalschen Dreiecks ist es also, die Vorfaktoren beim Ausklammern von Potenzen der Form
einfach ablesen zu können. Das Dreieck wurde im Übrigen nach Blaise Pascal benannt, der es 1655 in einem seiner Bücher veröffentlichte. Es wurde aber bereits früher von anderen Mathematikern eingesetzt[1].
Beweise zu den Rechenregeln[Bearbeiten]
Satz
Es gelten die beiden Formeln
und
.
Beweis
Die obigen Gleichungen ergeben sich durch Ausnutzung der Fakultätsdefinition
des Binomialkoeffizienten:
und
Satz
Es ist
.
Beweis
Die Formel kann folgendermaßen bewiesen werden:
Satz
Es ist
.
Wie kommt man auf den Beweis?
Zunächst können wir beide Binomialkoeffizienten ausschreiben:
Beide erhaltene Terme können soweit wie möglich vereinfacht werden:
Die vereinfachten Terme stimmen überein, also müssen auch
und
identisch sein. Im Beweis müssen wir nun die verwendeten Termumformungen aufschreiben, mit denen
in
umgeformt werden kann.
Beweis
Es ist
Satz
Sei
mit
. Es ist dann
.
Wie kommt man auf den Beweis?
Zum Beweis der Gleichung
gehen wir schrittweise vor:
Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem man auf beiden Seiten die Definition
eingesetzt hat?
Aufgabe: Versuche durch Termumformungen die gerade gefundene Gleichung zu beweisen.
Beweis
Es ist