Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Greensche Funktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten daraufhin die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind. Wir hatten dann Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen gezeigt und mit diesen bewiesen, dass harmonische Funktionen analytisch sind, sich also lokal durch ihre Tayorreihe darstellen lassen.

In diesem Kapitel suchen wir eine Lösungsformel für das Dirichletproblem der Poissongleichung, d.h. für

\left\{{\begin{array}{rl}\Delta u=f&{\text{ in }}U\\u=g&{\text{ in }}\partial U\\\end{array}}\right.

Dafür definieren wir uns die Greensche Funktion $G$ aus der Fundamentallösung $P$ und den vielen Lösungen des Randwertproblems für alle $x\in U$

{\begin{aligned}\forall y\in U:\ &\Delta _{y}F_{x}(y)=0\\\forall y\in \partial U:\ &F_{x}(y)=P(x-y)\end{aligned}}

Damit erhalten wir eine Darstellungsformel für die Lösung

u(x)=-\int _{\partial U}g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial N(y)}}dS(y)-\int _{U}f(y)G(x,y)dy

Wir haben dabei das Problem der Lösung übergewälzt auf $G$ und schauen uns in den folgenden Kapiteln zwei spezielle Mengen $U$ an: Für den Halbraum und die Kugel können wir dann explizite (!) Lösungsformeln für $f=0$ angeben, die Beweise sind allerdings technisch langwierig. Die Lösungen finden direkt Anwendung z.B. in der Physik in der Elektrostatik.

Gebiete mit $C^{1}$ -Rand

Definition (Gebiete mit $C^{1}$ -Rand)

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein beschränktes Gebiet, d.h. $U$ ist offen und zusammenhängend. $U$ hat einen Rand $\partial U$ vom Typ $C^{1}$ genau dann wenn

a) U ist das Innere des Abschlusses von U, d.h. $U={\overline {U}}^{\circ }$

b) Für jeden Randpunkt $p\in \partial U$ gibt es eine offene Umgebung $V\subset \mathbb {R} ^{n}$ von $p$ und eine $C^{1}$ -Funktion $f:V\rightarrow \mathbb {R}$ sodass gilt

i) Die Funktion teilt mit ihrem Funktionswert die Teile von $V$ innerhalb und außerhalb von $U$ auf durch das Vorzeichen.

${\overline {U}}\cap V=\{x\in V:f(x)\leq 0\}$

ii) $\nabla f(x)\neq 0$ für alle $x\in V$ .

Es gilt dann

{\begin{aligned}\partial U\cap V=&\{x\in V:f(x)=0\}\\U\cap V=&\{x\in V:f(x)<0\}\\V\backslash {\overline {U}}=&\{x\in U:f(x)>0\}\end{aligned}}

Da f differenzierbar ist, ist der Rand schön rund und hat keine Knicke.

Die Bedingung a) verhindert, dass einzelne Linien oder Punkte aus $U$ ausgeschnitten sind (was $U$ offen ließe).

Leider steht uns die erforderliche Differentialgeometrie noch nicht zur Verfügung: Mit dem Umkehrsatz zeigt man, dass $\{x\in V:\ f(x)=0\}$ eine $n-1$ -dimensionale Untermannigfaltigkeit ist. Der (kurze?) Beweis, dass ${\overline {U}}$ eine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand ist, wäre noch zu führen.

To-Do:

Der 1. Beweis steht in der Differentialgeometrie, für den 2. Beweis wäre eine Literaturquelle zu finden

Erste Darstellungsformel für die Lösung der Poissongleichung

Satz

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und beschränkt mit $C^{1}$ -Rand. Ist $u\in C^{2}(U)\cap C^{1}({\overline {U}})$ eine Lösung der Poissongleichung

\Delta u=f{\text{ in }}U

mit $f\in C(U)\cap L^{1}(U)$ , so gilt für alle $x\in U$

{\begin{aligned}u(x)=&\int _{\partial U}\left(P(x-y){\frac {\partial u(y)}{\partial N(y)}}-u(y){\frac {\partial P(x-y)}{\partial N(y)}}\right)dS(y)\\&-\int _{U}P(x-y)f(y)dy\end{aligned}}

wobei $P$ die Fundamentallösung der Laplacegleichung darstellt. Es gehen also nur die Werte von $u$ und seiner Ableitung auf dem Rand ein!

Diese Darstellung ist der erste Schritt auf dem Weg zur Darstellung mit der Greenschen Funktion.

Beweis

Sei $x\in U$ beliebig und ${\overline {B(x,\varepsilon )}}\subset U$ . Da $u$ die Poissongleichung erfüllt, erhalten wir mit der Greenschen Formel und dann über Aufteilung des Integrationsbereiches

Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes

{\begin{aligned}&\int _{U\backslash {\overline {B(x,\varepsilon )}}}P(x-y)f(y)dy\\=&\int _{U\backslash {\overline {B(x,\varepsilon )}}}\left(P(x-y)\Delta u(y)-u(y)\underbrace {\Delta _{y}P(x-y)} _{=0}\right)dy\\{\stackrel {\text{Green}}{=}}&\int _{\partial (U\backslash {\overline {B(x,\varepsilon )}})}\left(P(x-y){\frac {\partial u}{\partial N}}(y)-u(y){\frac {\partial P(x-y)}{\partial N(y)}}\right)dS(y)\\=&\int _{\partial U}\left(P(x-y){\frac {\partial u}{\partial N}}(y)-u(y){\frac {\partial P(x-y)}{\partial N(y)}}\right)dS(y)\\&-\int _{\partial B(x,\varepsilon )}\left(P(x-y){\frac {\partial u}{\partial N}}(y)-u(y){\frac {\partial P(x-y)}{\partial N(y)}}\right)dS(y)\\\end{aligned}}

wobei ein Minuszeichen im zweiten Term auftritt, weil der äußere Normalenvektor aus dem Gebiet in die Kugel hinein zeigt. Wir teilen den letzten Term auf in zwei Terme, die wir getrennt untersuchen wollen

{\begin{aligned}&\int _{\partial B(x,\varepsilon )}\left(P(x-y){\frac {\partial u}{\partial N}}(y)-u(y){\frac {\partial P(x-y)}{\partial N(y)}}\right)dS(y)\\=&\int _{\partial B(x,\varepsilon )}P(x-y){\frac {\partial u}{\partial N}}(y)dS(y)-\int _{\partial B(x,\varepsilon )}u(y){\frac {\partial P(x-y)}{\partial N(y)}}dS(y)\\=:&I_{\varepsilon }-J_{\varepsilon }\end{aligned}}

Es gilt $N={\frac {y-x}{|y-x|}}$ . Zudem ist der Gradient von $u$ differenzierbar und damit stetig und damit beschränkt auf dem kompakten Rand ist. Wie wir im Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Poissongleichung_im_Ganzraum#Die Lösung_der_Poissongleichung_im_Ganzraumfall gezeigt haben folgt

{\begin{aligned}|I_{\varepsilon }|=&\left|\int _{\partial B(x,\varepsilon )}P(x-y)\left\langle \nabla u,{\frac {y-x}{|y-x|}}\right\rangle dS(y)\right|\\\leq &\max _{y\in B(x,\varepsilon )}|\nabla u|\cdot \int _{\partial B(0,\varepsilon )}P(y)dS(y)\\{\stackrel {\varepsilon \rightarrow 0}{\rightarrow }}&0\end{aligned}}

Wir haben im Kapitel der Fundamentallösung Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Eigenschaften_der_Fundamentallösung den Gradienten von $P$ bewiesen, d.h.

\forall n\geq 2:\ \quad \nabla P(y)=-{\frac {1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {y}{|y|^{n}}}

Mit der Verschiebung

{\begin{aligned}&T:\partial B(x,\varepsilon )\rightarrow \partial B(0,\varepsilon ),y\mapsto x-y\\&|\det DT|=1\\&{\tilde {T}}:\partial B(x,\varepsilon )\rightarrow \partial B(0,\varepsilon ),z\mapsto x-z\\&|\det D{\tilde {T}}|=1\\\end{aligned}}

ergibt sich mit zweimaligem Anwenden der Transformationsformel Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Die_Transformationsformel#Die_Transformationsformel

{\begin{aligned}J_{\varepsilon }=&\int _{\partial B(x,\varepsilon )}u(y)\left\langle \nabla _{y}P(x-y),{\frac {y-x}{|y-x|}}\right\rangle dS(y)\\=&\int _{\partial B(x,\varepsilon )}u(x-T(y))\left\langle \nabla _{T(y)}P\circ T(y),{\frac {T(y)}{|T(y)|}}\right\rangle |\det(DT)|dS(y)\\{\stackrel {z=T(y)=x-y}{=}}&\int _{\partial B(0,\varepsilon )}u(x-z)\left\langle -\nabla _{z}P(z),{\frac {-z}{|z|}}\right\rangle dS(z)\\=&-{\frac {1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{n+1}}}\int _{\partial B(0,\varepsilon )}u(x-z)dS(z)\\=&-{\frac {1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n-1}}}\int _{\partial B(0,\varepsilon )}u\circ {\tilde {T}}(z)\cdot |\det(D{\tilde {T}})|dS(z)\\{\stackrel {y={\tilde {T}}(z)=x-z}{=}}&-{\frac {1}{Vol(\partial B(x,\varepsilon ))}}\int _{\partial B(x,\varepsilon )}u(y)dS(y)\\{\stackrel {u{\text{ stetig}}}{\rightarrow }}&-u(x)\end{aligned}}

wobei der letzte Grenzübergang mit der Stetigkeit von $u$ schon bewiesen wurde im Kapitel

Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Poissongleichung_im_Ganzraum#Die_Lösung_der_Poissongleichung_im_Ganzraumfall

Das ergibt insgesamt

{\begin{aligned}\int _{U}P(x-y)f(y)dy=&\int _{\partial U}\left(P(x-y){\frac {\partial u(y)}{\partial N(y)}}-u(y){\frac {\partial P(x-y)}{\partial N(y)}}\right)dS(y)\\&-\underbrace {(I_{\varepsilon }-J_{\varepsilon })} _{{\stackrel {\varepsilon \rightarrow 0}{\rightarrow }}u(x)}-A_{\varepsilon }\end{aligned}}

und damit mit $A_{\varepsilon }\rightarrow 0$ für $\varepsilon \rightarrow 0$ die Behauptung. Da $f$ stetig ist, ist es auf dem kompakten ${\overline {B(x,\varepsilon )}}$ beschränkt. Das verbleibende Integral geht gegen Null, wie wir gezeigt haben im Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Poissongleichung_im_Ganzraum#Die_Lösung_der_Poissongleichung_im_Ganzraumfall

|A_{\varepsilon }|\leq \max _{\overline {B(x,\varepsilon )}}f(y)\cdot \int _{B(0,\varepsilon )}P(y)dy{\stackrel {\varepsilon \rightarrow 0}{\rightarrow }}0

Die Definition der Greenschen Funktion

Definition

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen. Zu jedem $x\in U$ betrachte die Anfangswertaufgabe

{\begin{aligned}\forall y\in U:\ &\Delta _{y}F_{x}(y)=0\\\forall y\in \partial U:\ &F_{x}(y)=P(x-y)\end{aligned}}

Das ergibt für jedes $x$ ggf. eine Funktion $F_{x}$ . Ist diese in $C^{2}(U)\cap C({\overline {U}})$ , so nennt man

G:U^{2}\backslash \{(x,y)\in U^{2}|x=y\}\ \rightarrow \mathbb {R} ,\quad (x,y)\mapsto P(x-y)-F_{x}(y)

die Greensche Funktion. Für diese gilt

\forall y\in \partial U:\ G(x,y)=0

Wir geben also als Randwert die Fundamentallösung vor und lösen für jedes $x$ die Poissongleichung. Die Greensche Funktion wird auf dem Rande Null.

$F_{x}(y)$ heißt die Korrektorfunktion. Für beschränktes $U$ ist die Korrektorfunktion wegen der Eindeutigkeit der Lösung der Poissongleichung eindeutig, wenn sie existiert. Damit ist auch die Greensche Funktion eindeutig. Wegen

\Delta _{y}(G(x,y)-P(x-y))=0

folgt

\forall x\neq y:\ \Delta _{y}G(x,y)=\Delta P(x-y)=0

und

U\backslash \{x\}\rightarrow \mathbb {R} ,y\mapsto G(x,y)

ist harmonisch: es ist von der Klasse $C^{2}(U\backslash \{x\})\cap C^{1}({\overline {U}}\backslash \{x\})$ .

Auf dem Rand gilt außerdem

(G(x,y)-P(x-y))|_{\partial U}=-P(x-y))|_{\partial U}

Darstellung der Lösung der Poissongleichung mittels der Greenschen Funktion

Satz

Es sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und beschränkt mit $C^{1}$ -Rand und sei $u\in C^{2}(U)\cap C^{1}({\overline {U}})$ eine Lösung der Randwertaufgabe

{\begin{aligned}\Delta u&=f{\text{ in }}U\\u&=g{\text{ auf }}\partial U\end{aligned}}

mit $f\in C(U)\cap L^{1}(U),g\in C(\partial U)\cap L^{1}(\partial U)$ . Zudem existiere die Greensche Funktion $G(x,y)=P(x-y)-F_{x}(y)$ auf $U$ mit $F_{x}(\cdot )\in C^{2}(U)\cap C^{1}({\overline {U}})$ für $x\in U$ . Dann gilt

u(x)=-\int _{\partial U}g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial N(y)}}dS(y)-\int _{U}f(y)G(x,y)dy

WENN wir eine Lösung vorliegen haben UND die Greensche Funktion existiert, erhalten wir hier eine simple Darstellungsformel: zwei Integrale. Alles entscheidet sich also über die Greensche Funktion, die wir für zwei Spezialfälle in folgenden Kapiteln ermitteln werden.

Beweis

Da $u$ die Randwertaufgabe löst erhalten wir mit der Greenschen Formel

{\begin{aligned}\int _{U}F_{x}(y)f(y)dy=&\int _{U}\left(F_{x}(y)\Delta u(y)-u(y)\underbrace {\Delta F_{x}(y)} _{=0}\right)dy\\{\stackrel {\text{Green}}{=}}&\int _{\partial U}\left(F_{x}(y){\frac {\partial u(y)}{\partial N(y)}}-u(y){\frac {\partial F_{x}(y)}{\partial N(y)}}\right)dS(y)\\=&\int _{\partial U}\left(P(x-y){\frac {\partial u(y)}{\partial N(y)}}-g(y){\frac {\partial F_{x}(y)}{\partial N(y)}}\right)dS(y)\end{aligned}}

Wir verwenden die Darstellung von $u$ im ersten Satz dieses Kapitels, setzen die Definition von $G$ ein und setzen daraufhin die gerade gezeigte Beziehung ein

{\begin{aligned}u(x)=&\int _{\partial U}\left(P(x-y){\frac {\partial u(y)}{\partial N(y)}}-u(y){\frac {P(x-y)}{\partial N(y)}}\right)dS(y)-\int _{U}P(x-y)f(y)dy\\{\stackrel {{\text{Def. von }}G}{=}}&\int _{\partial U}\left(P(x-y){\frac {\partial u(y)}{\partial N(y)}}-g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial N(y)}}-g(y){\frac {\partial F_{x}(y)}{\partial N(y)}}\right)dS(y)\\&-\int _{U}(G(x,y)+F_{x}(y))f(y)dy\\=&\int _{\partial U}g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial N(y)}}dS(y)-\int _{U}f(y)G(x,y)dy\end{aligned}}

Symmetrie der Greenschen Funktion

Satz (Symmetrie der Greensche Funktion)

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und beschränkt mit $C^{1}$ -Rand. Existiert die Greensche Funktion $G(x,y)=P(x-y)-F_{x}(y)$ auf $U$ mit $F_{x}(\cdot )\in C^{1}({\overline {U}}),x\in U$ , so ist sie symmetrisch, d.h. für alle $x,y\in U$ mit $x\neq y$ gilt

G(x,y)=G(y,x)

Beweis (Symmetrie der Greensche Funktion)

Seien $x,y\in U$ mit $x\neq y$ . Setze

{\begin{aligned}v:{\overline {U}}\backslash \{x\}\rightarrow \mathbb {R} ,z\mapsto G(x,z)=P(x-z)-F_{x}(z)\\w:{\overline {U}}\backslash \{y\}\rightarrow \mathbb {R} ,z\mapsto G(y,z)=P(y-z)-F_{y}(z)\end{aligned}}

Da die Greensche Funktion $G$ harmonisch ist in der ersten Komponente und Null wird auf dem Rand, gilt

{\begin{aligned}\forall z\neq x:\ \Delta v(z)=0\\\forall z\neq y:\ \Delta w(z)=0\\\forall z\in \partial U:\ v(z)=w(z)=0\end{aligned}}

Wähle $\varepsilon >0$ so klein, dass die $\varepsilon$ -Kugeln um $x$ und $y$ sich nicht schneiden und ganz in $U$ enthalten sind

{\begin{aligned}&|x-y|>2\varepsilon \\&{\overline {B(x,\varepsilon )}}\subset U\\&{\overline {B(y,\varepsilon )}}\subset U\end{aligned}}

und setze

V:=U\backslash {\overline {B(x,\varepsilon )\cup B(y,\varepsilon )}}

Mit der Greenschen Formel

Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes

gilt unter Aufteilung des Integrales, wobei sich das Vorzeichen durch Umkehrung des äußeren Normalenvektors ergibt

{\begin{aligned}0=&\int _{V}(v(z)\underbrace {\Delta w(z)} _{=0}-w(z)\underbrace {\Delta v(z)} _{=0})dz\\=&\int _{\partial U}\left(\underbrace {v(z)} _{=0}{\frac {\partial w}{\partial N}}(z)-\underbrace {w(z)} _{=0}{\frac {\partial v}{\partial N}}(z)\right)dS(z)\\&-\int _{\partial B(x,\varepsilon )}\left(v(z){\frac {\partial w}{\partial N}}(z)-w(z){\frac {\partial v}{\partial N}}(z)\right)dS(z)\\&-\int _{\partial B(y,\varepsilon )}\left(v(z){\frac {\partial w}{\partial N}}(z)-w(z){\frac {\partial v}{\partial N}}(z)\right)dS(z)\end{aligned}}

Das ergibt

{\begin{aligned}\int _{\partial B(x,\varepsilon )}\left(v(z){\frac {\partial w}{\partial N}}(z)-w(z){\frac {\partial v}{\partial N}}(z)\right)dS(z)\\=-\int _{\partial B(y,\varepsilon )}\left(v(z){\frac {\partial w}{\partial N}}(z)-w(z){\frac {\partial v}{\partial N}}(z)\right)dS(z)\\\end{aligned}}

Da $w$ harmonisch ist, ist seine stetige Ableitung auf dem kompakten ${\overline {B(x,\varepsilon )}}$ beschränkt

{\begin{aligned}\left|\int _{\partial B(x,\varepsilon )}v(z){\frac {\partial w}{\partial N}}(z)dS(z)\right|\leq &\sup _{z\in \partial B(x,\varepsilon )}\left|{\frac {\partial w}{\partial N}}(z)\right|\cdot \sup _{z\in \partial B(x,\varepsilon )}|v(z)|\cdot \int _{\partial B(x,\varepsilon )}dS(z)\\\leq &CVol(\partial B(0,1))\varepsilon ^{n-1}\cdot \sup _{z\in \partial B(x,\varepsilon )}|v(z)|\end{aligned}}

Mit der Definition von $v$

v(z)=G(x,z)=P(x-z)-F_{x}(z)

rechnen wir weiter, da $F_{x}$ stetig ist und somit auf dem kompakten ${\overline {B(x,\varepsilon )}}$ beschränkt

{\begin{aligned}\left|\int _{\partial B(x,\varepsilon )}v(z){\frac {\partial w}{\partial N}}(z)dS(z)\right|\leq &CVol(\partial B(0,1))\varepsilon ^{n-1}\left(C'+\sup _{z\in \partial B(x,\varepsilon )}|P(x-z)|\right)\\\leq &CC'\varepsilon ^{n-1}+CC''\varepsilon ^{n-1}\cdot \left\{{\begin{array}{rl}\varepsilon ^{n-2}&{\text{ für }}n\geq 3\\|\ln \varepsilon |&{\text{ für }}n=2\\\end{array}}\right.\\{\stackrel {\varepsilon \rightarrow 0}{\rightarrow }}&0\end{aligned}}

Den Limes für den Fall $n=2$ zeigt man mit der Regel von L'Hospital:

$\varepsilon |\ln \varepsilon |$ lässt sich stetig in $0$ zu $0$ fortsetzen:

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\varepsilon |\ln \varepsilon |=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {-\ln \varepsilon }{\frac {1}{\varepsilon }}}{\stackrel {\text{L'Hospital}}{=}}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\frac {-1}{\varepsilon }}{\frac {-1}{\varepsilon ^{2}}}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\varepsilon =0

Das war der zweite Term der linken Seite. Nun zerlegen wir den ersten Term der linken Seite mit $v(z)=G(x,z)=P(x-z)-F_{x}(z)$ zu

{\begin{aligned}&\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\partial B(x,\varepsilon )}w(z){\frac {\partial v}{\partial N}}(z)dS(z)\\=&\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\partial B(x,\varepsilon )}w(z){\frac {\partial P(x-z)}{\partial N(z)}}dS(z)-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\partial B(x,\varepsilon )}w(z){\frac {\partial F_{x}(z)}{\partial N(z)}}dS(z)\\=&-w(x)+0\end{aligned}}

Wobei der linke dieser Terme im ersten Beweis dieses Kapitels gezeigt wurde (er hieß $J_{\varepsilon }$ )und der rechte Term gegen Null geht, da $w(z){\frac {\partial F}{\partial N}}(z)$ stetig und damit beschränkt ist.