Dimensionsformel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Im letzten Abschnitt haben wir den Isomorphiesatz kennengelernt. Dieser besagt, dass bei einer linearen Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und das Bild isomorph ist zu .

Das bedeutet, es gibt eine bijektive lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen und . Also sind diese Vektorräume in gewisser Weise ähnlich zueinander. Nun stellt sich die Frage, ob die Dimension von mit der Dimension von zusammenhängt.

Dimension von zwei zueinander isomorphen Vektorräumen[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

diesen Abschnitt überarbeite ich als nächstes. (Matheoldie)

Satz

Sind zwei endlich-dimensionale -Vektorräume und zueinander isomorph, so gilt .

Wie kommt man auf den Beweis?

Die Dimension eines endlich-dimensionalen Vektorraums entspricht der Anzahl seiner Basiselemente. Also müssen wir zeigen, dass zwei Basen der Vektorräume und gleich viele Elemente haben.

Wir wissen, dass eine lineare Abbildung existiert. Mit Hilfe dieser Abbildung versuchen wir aus einer Basis von , eine Basis von zu konstruieren.

Nehmen wir an, dass eine Basis von ist. Wir können vermuten, dass auch eine Basis von ist. Hierzu müssen wir zwei Dinge überprüfen:

  1. ist linear unabhängig
  2. ist ein Erzeugendensystem von

Beweis

Sei eine Basis von . Wir behaupten, dass eine Basis von ist. Dazu zeigen wir

  1. ist linear unabhängig
  2. ist ein Erzeugendensystem von

Beweisschritt: ist linear unabhängig

Seien so, dass .

Es gilt:

Die Abbildung ist bijektiv und linear. Wegen ist . Da linear unabhängig ist, gilt für alle .

Somit haben wir gezeigt, dass linear unabhängig ist.

Beweisschritt: ist ein Erzeugendensystem von

Sei ein beliebiger Vektor gegeben. Die Abbildung ist bijektiv und somit gibt es ein mit .

Da ein Erzeugendensystem von ist, gibt es Koeffizienten mit .

Folglich ist

Also ist eine Linearkombination von Elementen aus . Da beliebig gewählt war, ist ein Erzeugendensystem von .

Damit ist eine Basis von

und es gilt

und folglich

Alternativer Beweis

Sei wie oben eine Basis von . Wir behaupten, dass eine Basis von ist. Dazu zeigen wir

  1. ist linear unabhängig
  2. ist ein Erzeugendensystem von

Da ein Isomorphismus ist, wissen wir insbesondere, dass injektiv (also ein Monomorphismus) und surjektive (also ein Epimorphismus) ist.

Aber Monomorphismen bilden linear unabhängige Mengen (also insbesondere Basen) auf linear unabhängige Mengen ab, udn Epimorphismen bilden Erzeugendensysteme (also insbesodnere Basen) auf Erzeugendensysteme ab.

Damit ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also einen Basis.

Sind und endlich-dimensional, so haben sie nach dem Satz die gleiche Dimension, das heißt .

Dimension von Vektorräumen der Form V/U[Bearbeiten]

Im letzten Abschnitt haben wir den Vektorraum kennengelernt. Inzwischen wissen wir auch, dass gilt, falls dieser Vektorraum endlich-dimensional ist.

Die Dimension und Basis eines Vektorraums hängen eng zusammen:

Wissen wir, wie viele Elemente eine Basis des Vektorraums hat, so kennen wir auch seine Dimension.

Unser nächstes Ziel ist es, explizit eine Basis von zu konstruieren.

Satz

Es seien und zwei endlich-dimensionale -Vektorräume und linear. Sei weiter ein Untervektorraum von mit Basis und eine Ergänzung dieser Basis zu einer Basis von .

Dann ist eine Basis von .

Insbesondere gilt .

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir überprüfen zwei Dinge, um zu zeigen, dass eine Basis von ist:

  1. ist linear unabhängig
  2. ist ein Erzeugendensystem

Dabei können wir benutzen, dass linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von ist. Außerdem ist .

Um zu zeigen, reicht es, die Anzahl der Basiselemente in abzuzählen und mit der Anzahl der Basiselemente in und zu vergleichen.

Beweis

Um zu zeigen, dass eine Basis von ist, müssen wir folgendes überprüfen:

  1. ist linear unabhängig
  2. ist ein Erzeugendensystem

Beweisschritt: ist linear unabhängig

Wir erinnern nochmals daran, dass .

Seien so gewählt, dass .

Dann gilt

Wir wissen, dass linear unabhängig ist. Folglich gilt für alle . Damit ist linear unabhängig.

Beweisschritt: ist ein Erzeugendensystem

Sei . Dann gibt es mit .

Also ist

Also ist ein Erzeugendensystem von .

Damit haben wir gezeigt, dass eine Basis von ist.

Es bleibt lediglich zu zeigen, dass .

Das gilt wegen

Daraus ergibt sich eine wichtige Folgerung:

Der Dimensionssatz[Bearbeiten]

Satz (Dimensionssatz)

Sei eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen -Vektorräumen und . Dann gilt

Beweis (Dimensionssatz)

Es ist isomorph zu und somit . Da ein Untervektorraum von ist, gilt nach dem obigen Satz . Folglich ist .

Zusammenhang von Injektivität und Surjektivität von linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Im Allgemeinen sind Injektivität und Surjektivität von Abbildungen nicht äquivalent, wie folgende Beispiele zeigen.

Beispiel

Die Funktion ist surjektiv, denn .

Sie ist aber nicht injektiv, denn sei das bedeutet aber für gilt . Damit ist nicht injektiv.

Beispiel

Die Funktion ist injektiv, denn aus folgt . Damit ist injektiv.

Sie ist aber nicht surjektiv, denn zu gibt es keinen Vektor für den gilt . Damit ist nicht surjektiv.

Bei linearen Abbildungen zwischen zwei endlich-dimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension sind Injektivität und Surjektivität äquivalent.[Bearbeiten]

Satz

Sei eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen -Vektorräumen und mit . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. ist injektiv.
  2. ist surjektiv.
  3. ist bijektiv.

Beweis

Zum Beweis verwenden wir den Dimensionssatz und die Sätze zur Injektivität und Surjektivität von linearen Abbildungen.

Beweisschritt: ist injektiv ist surjektiv

Sei injektiv. Dann ist und folgich . Also gilt:

Es folgt, dass und somit surjektiv ist.

Beweisschritt: ist surjektiv ist injektiv

Sei surjektiv. Dann ist und folgich . Also gilt:

Es folgt, dass und damit ist injektiv.

Somit gilt auch: ist surjektiv, ist bijektiv.

Die Umkehrung gilt natürlich auch: ist bijektiv ist surjektiv und injektiv.

Warnung

Der obige Satz gilt nur für endlich-dimensionale Vektorräume. Für unendlich-dimensionale Vektorräume ist er im Allgemeinen falsch.

Ein Gegenbeispiel ist die Ableitung mit für gewisse und . Dieses Beispiel kennen wir bereits aus den Aufgaben zum Kern und Bild einer linearen Abbildung. Dort haben wir festgestellt, dass . Also ist surjektiv. Aber es gilt auch und somit ist nicht injektiv.

Aufgaben[Bearbeiten]

In den beiden vorherigen Abschnitten haben wir den Kern und das Bild einer linearen Abbildung als wichtige Untervektorräume kennengelernt.

Aufgabe

Sei eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen -Vektorräumen und . Sei weiter eine Basis des Kerns von und eine Basis des Bilds von , wobei und für alle und alle .

Zeige, dass eine Basis von ist.

Wie kommt man auf den Beweis?

Um zu zeigen, dass eine Basis von ist, müssen wir zuerst überprüfen, dass linear unabhängig ist.

Frage: Welchen Ansatz müssen wir wählen?

Wir schreiben als Linearkombination der Elemente aus :

Frage: Was müssen wir nun zeigen?

Wir müssen zeigen, dass für alle und alle gilt: und .

Der Trick besteht nun darin, auf beide Seiten der Gleichung die Abbildung anzuwenden.

Die linke Seite ist klar: .

Versuche bei der Umformung der rechten Seite zu verwenden, dass linear ist und sind. Schreibe das Ergebnis als eine Linearkombination von Elementen aus .

Frage: Was das Ergebnis bei der rechten Seite?

Frage: Wie können wir nun anwenden, dass eine Basis von ist?

ist linear unabhängig und wir haben gerade berechnet, dass . Folglich gilt für alle , dass .

Schreibe nun als Linearkombination von Elementen aus und verwende unser Ergebnis des letzten Schritts und die lineare Unabhängigkeit von .

Frage: Was folgt nun?

Es gilt und da linear unabhängig sind, sind auch alle .

Also haben wir gezeigt, dass linear unabhängig ist.

Um zu zeigen, dass eine Basis von ist, würden wir normalerweise auch nachweisen, dass ein Erzeugendensystem ist. Wie im Beweis zu dieser Aufgabe gezeigt wird, ist das eine Möglichkeit.

Wesentlich einfacher ist jedoch der Beweis der Dimensionsformel. Wir wissen bereits, dass eine linear unabhängige Teilmenge von ist. Gilt zudem, dass die Anzahl der Elemente gleich der Dimension von ist, so ist eine Basis von .

Frage: Wie überprüfen wir, dass die Anzahl der Elemente in gleich der Dimension von ist?

Es gilt

.

Nach dem Dimensionssatz ist aber

und somit

Also ist eine Basis von und unser Beweis ist fertig.

Beweis

Wir zeigen folgende Punkte:

  1. ist linear unabhängig.
  2. ist aus Dimensionsgründen eine Basis von .

Beweisschritt: ist linear unabhängig.

Wir schreiben zunächst für gewisse . Wir wollen zeigen, dass alle Koeffizienten und Null sind.

Wir wenden auf beide Seiten der Gleichung an:

und

Also: .

Da linear unabhängig ist, ist für alle .

Somit ist .

Wegen der linearen Unabhängigkeit von ist auch für alle .

Also ist linear unabhängig.

Beweisschritt: ist aus Dimensionsgründen eine Basis von .

Wir wissen, dass linear unabhängig ist und eine Teilmenge von ist. Also können wir zu einer Basis von ergänzen. Diese Basis hat nach dem Dimensionssatz Elemente. hat so viele Elemente. Das heißt, ist bereits eine Basis von .

Alternativ hätten wir auch zeigen können, dass ein Erzeugendensystem ist.

Direkter Beweis, dass B ein Erzeugendensystem ist

Beweisschritt: ist ein Erzeugendensystem

Sei beliebig. Dann ist und es gibt mit , so dass

Aufgrund der Linearität von gilt . Folglich ist . Also gibt es geeignete mit und .

Somit ist und wir haben gezeigt, dass ein Erzeugendensystem ist.

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To-Do:
  • Idee: für zwei -Vektorräume und