Mathematik: Analysis: Grundlagen: Funktionen

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Funktionen (Abbildungen)[Bearbeiten]

Funktionen sind in der gesamten Mathematik ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Mengen. Anderseits sind aber die Funktionen selbst Gegenstand mathematischer Untersuchungen.

Den Begriff der Funktion kennt sicherlich jeder Leser und kann ihn auch mehr oder weniger präzise definieren. Ein wichtiges Kriterium ist, dass Funktionen für ein gegebenes Argument nur einen einzigen bestimmten Wert liefern. Man kann auch so formulieren: Funktionen sind stets rechtseindeutige Relationen.

Wir werden die Definition von "Funktion" auf die im vorigen Kapitel behandelten Relationen abstützen.


Definition - Funktion
Seien und Mengen und eine Relation zwischen und .
Das Tripel heißt eine Funktion (Abbildung) von nach  : Zu jedem gibt es genau ein für das gilt: . Dieses bezeichnet man mit (lies: von ).
heißt das Argument und der Funktionswert von an der Stelle . nennt man den Definitionsbereich, den Bildbereich und den Graph der Funktion .


Die meisten der oben definierten Begriffe sind bekannt. Ein Tripel ist eine geordnete Zusammenstellung von 3 Elementen. Eine Funktion ist ein solches Tripel, das aus den 3 Elementen Definitionsbereich, Graph und Bildbereich besteht. Der Graph ordnet jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element des Bildbereichs zu.

Eine Relation zwischen und , die einem Element des Definitionsbereichs z. B. Elemente des Bildbereichs zuordnet, kann kein Graph einer Funktion von nach sein.

Hinweis: Die Begriffe Abbildung und Funktion werden hier, wie üblich, bedeutungsgleich verwendet.

Die folgenden Beispiele sollen die Definition der Funktion noch einmal verdeutlichen:


Keine Funktion 1.png Keine Funktion 2.png Funktion.png
Es wird keine Funktion definiert; denn wird kein Element von zugeordnet. Es wird keine Funktion definiert; denn werden die Elemente und von zugeordnet. Die hier dargestellte Relation definiert eine Funktion.

Da eine Funktion einem Element des Definitionsbereiches genau ein Element des Bildbereichs zuordnet, schreibt man auch, wie gewohnt:

statt , wobei der Graph die Menge ist.

Vielleicht fragen Sie sich, warum man nicht gleich fordert, dass der Bildbereich nur aus den Funktionswerten besteht. Der Grund hierfür ist, dass es im allgemeinen schwierig ist, diese Menge, den Wertebereich von , explizit anzugeben.

Das folgende Beispiel soll die verschiedenen Schreibweisen nochmals verdeutlichen:


Beispiel
Sei eine Menge. Durch wird eine Relation definiert, die Gleichheitsrelation. oder definiert eine Funktion; denn zu jedem gibt es ein mit , nämlich (zeigt die Existenz). Gibt es (noch) ein mit , so folgt aus der Gleichheitsrelation , also auch (zeigt die Eindeutigkeit).


Da jede Funktion aus Definitionsbereich, Bildbereich und dem Graphen besteht, ist auch klar, wie die Gleichheit von Funktionen definiert wird:


Definition - Gleicheit von Funktionen
Seien und zwei Funktionen.
" und sind gleich" : " und und " " und und für alle ".
(Beide Definitionen sind äquivalent, was einfach zu zeigen ist.)


Bild, Urbild[Bearbeiten]

In diesem Kapitel sollen nun einige wichtige Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen definiert werden.


Definition - Bild, Urbild, Wertebereich
Seien eine Abbildung sowie und .
  1. Für die Teilmenge definiert man:
    und nennt das Bild von (unter ).
  2. Die Menge nennt man Wertebereich von oder Bild von .
  3. Für die Teilmenge definiert man:

          und nennt das Urbild von unter .
          (sprich: oben minus von ).


Das folgende Beispiel zeigt, dass Bildbereich und Wertebereich einer Funktion unterschiedlich sein können.
(Das Symbol steht für die Menge der ganzen Zahlen)


Sei .
Dann gilt:
(Der Bildbereich enthält die Elemente und . Die Elemente und sind jedoch nicht im Bild oder Wertebereich von .)


Rechenregeln für Bild und Urbild

Es gibt eine Reihe von Rechenregeln für Bild und Urbild, von denen hier einige exemplarisch angegeben werden.


Satz
Seien eine Abbildung, und Teilmengen von , und Teilmengen von . Dann gilt:


Beweis zu
Zu zeigen ist: Aus folgt
Sei mit
mit (wegen )
Damit ist gezeigt: Für alle gilt auch , also .


Übung
Beweis der übrigen Behauptungen des Satzes


Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen[Bearbeiten]

Für die Abbildung und das Element des Bildbereichs kann man die Menge
untersuchen, d. h. man sucht alle Elemente , die durch auf abgebildet werden (Faser von in ). Dabei interessieren folgende Eigenschaften:

Gibt es zu

  • höchstens ein mit
  • mindestens ein mit
  • genau ein mit ?


Abbildungen, die diese besonderen Eigenschaften erfüllen, erhalten besondere Namen, die nun definiert werden:


Definition - injektiv, surjektiv, bijektiv
Sei eine Abbildung. Die Abbildung heißt
  1. injektiv genau dann, wenn für alle gilt: "",
  2. surjektiv genau dann, wenn gilt, und
  3. bijektiv genau dann, wenn injektiv und surjektiv ist.


Diese Eigenschaften lassen sich mit Hilfe des Urbildes wie folgt formulieren:


ist genau dann, wenn für jedes die Menge ein Element enthält.


Die folgenden Bilder sollen die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv nochmals erklären:


Injektivität Mengenwolke.png Surjektivität Mengenwolke.png Bijektivität Mengenwolke.png
Injektiv, da jedes Element des Bildbereichs höchstens ein Urbild hat. Surjektiv, da jedes Element der Bildbereichs mindestens ein Urbild hat. Bijektiv, da sie injektiv und surjektiv ist, also jedes Element des Bildbereichs genau ein Urbild hat.


Beispiel und Übung (kanonische Projektionen)
Seien M und N Mengen. Dann werden durch
und
zwei Abbildungen definiert (kanonische Projektionen), heißt erste und zweite Projektion. (Dem aufmerksamen Leser ist sicher aufgefallen, dass obige Schreibweise nicht ganz korrekt ist; genauer wäre z. B. . Diese Schreibweise ist aber unüblich).
Zu zeigen ist: Die Projektionen sind surjektiv aber im Allgemeinen nicht injektiv.


Übung
Zeigen Sie, dass die Abbildung bijektiv ist.

Konstruktion neuer Abbildungen[Bearbeiten]

Hintereinanderschaltung[Bearbeiten]

Die folgenden Definitionen zeigen Möglichkeiten, aus gegebenen Abbildungen neue zu erzeugen.

Bei der Hintereinanderschaltung wird aus 2 Abbildungen eine neue konstruiert. Für Beschränkungen ("Restriktionen") werden Definitions- oder Bildbereich verändert. Die Umkehrabbildung ist eine neue Funktion, die Elemente aus dem Bildbereich der ursprünglichen Funktion in deren Definitionsbereich abbildet, also gewissermaßen die "Richtung" der Funktion umkehrt.


Definition - Hintereinanderschaltung
Seien und zwei Abbildungen, und es gelte .
Dann heißt die Abbildung
(lies: Kringel ) die Komposition oder Hintereinanderschaltung von und .


Die Konstruktion veranschaulicht das folgende Bild.

Hintereinanderschaltung.png
Wichtig ist die Voraussetzung


Beispiel - Hintereinanderschaltung
Sei
Wegen ist definiert, und es gilt:
(Die Menge umfasst die natürlichen Zahlen einschließlich der Null: )


Vor- und Nachbeschränkung[Bearbeiten]

Durch Veränderung von Definitions- oder Bildbereich kann man neue Abbildungen konstruieren, z. B. sie "künstlich" surjektiv oder injektiv zu machen.

Die Abbildung

ist nicht injektiv; denn es gilt Wäre injektiv, würde folgen.

Durch Verkleinerung des Definitionsbereiches kann man die Abbildung aber injektiv machen:

.

Ebenso kann man durch Verkleinerung des Bildbereiches eine Abbildung surjektiv machen. Dies führt zu folgenden Definitionen:


Definition - Vor- und Nachbeschränkung
Sei eine Abbildung, mit .
  1. Für die Teilmenge heißt die Abbildung:

    die Beschränkung (Restriktion) von auf .
  2. Für die Teilmenge V heißt die Abbildung:

    die Nachbeschränkung von auf .

Umkehrabbildung[Bearbeiten]

Ist eine Abbildung injektiv, so gibt es zu jedem Element des Bildes genau ein Element des Definitionsbereiches mit . Man kann daher eine Abbildung definieren, die jedem des Bildes dieses eine Element des Definitionsbereiches zuordnet.


Definition Umkehrabbildung
Sei eine injektive Abbildung. Dann wird die Umkehrabbildung von auf definiert durch:
für alle mit .
liest man: "'oben minus (nicht zu verwechseln mit ).
Ist bijektiv, so heisst kurz Umkehrabbildung von .



Zur Übung der Begriffe wird nun ein Satz bewiesen. Falls die genaue Bedeutung des Symbols unklar ist: Weiter oben wurde die auf identische Abbildung (Identität) definiert.


Satz
Seien und Abbildungen mit .
Dann ist injektiv, und es gilt .


Beweis
Zuerst wird die Injektivität gezeigt.
Seien so gewählt, dass . Dann gilt:
.
Also ist injektiv.
Definitionsbereich und Bildbereich von und der Umkehrabbildung von auf stimmen offensichtlich überein. Sei . Dann gibt es ein mit . Weiter gilt: .
Da die Injektivität bereits gezeigt wurde, folgt , also .


Mit Hilfe dieses Satzes lassen sich nun eine Reihe weiterer interessanter Sätze beweisen, z. B. dass die Hintereinanderschaltung (kurz: Verkettung} zweier bijektiver Abbildungen und wiederum bijektiv ist, und dass gilt:

Das Auswahlaxiom[Bearbeiten]

Sie erinnern sich vielleicht noch an die verallgemeinerten Definitionen von Durchschnitt und Vereinigung von Mengen. Dort wurden eine nicht-leere Indexmenge und für jedes Mengen vorausgesetzt. Immer wieder, teilweise an entscheidenden Stellen, tritt in der Mathematik, auch in der Analysis, der Fall auf, dass diese Mengen unendlich viele Elemente haben und zusätzlich noch eine Funktion gesucht wird, die jedem ein Element zuordnet. Hier eine echte Funktionsvorschrift anzugeben, ist leider nicht immer möglich, insbesondere dann, wenn für die Indexmenge keine lineare Ordnung gegeben ist. Das Auswahlaxiom fordert nun einfach, dass eine solche Abbildung existiert.

Der Mengenbegriff wurde in diesem Buch "anschaulich" eingeführt. Leider zeigt sich, dass diese Vorgehensweise zu Widersprüchen führt (Stichwort: Menge aller Mengen). Aus diesem Grund wurde eine axiomatische Mengenlehre geschaffen, und es wurde bewiesen, dass das Auswahlaxiom aus den übrigen Axiomen der axiomatischen Mengenlehre nicht herleitbar ist.


Auswahlaxiom
Sei eine nicht-leere Menge und ein System von nicht-leeren Mengen . Dann existiert eine Funktion , für die gilt:
.


Bemerkung: Das Auswahlaxiom ist nicht konstruktiv; daher wird es von einigen Mathematikern strikt abgelehnt. Intiutiv kann man das Auswahlaxiom folgendermaßen verstehen: "In jedem beliebigen System von Mengen kann aus jeder Menge dieses Mengensystems ein Element ("Repräsentant") ausgewählt werden".

Aus dem Auswahlaxiom lassen sich einige interessante Konsequenzen ableiten, z.B. der folgende Satz:


Satz
Seien Mengen. Eine Funktion ist surjektiv genau dann, wenn eine Funktion existiert, für die gilt.
(D.h.: Jede surjektive Funktion besitzt eine rechtsinverse Abbildung.)


Beweis
Sei surjektiv. Dann gilt für alle , dass das Urbild ist. Da eine Funktion ist, muss auch für alle gelten. D.h. das Mengensystem bildet eine disjunkte Partition der Menge (d.h. ).
Nach dem Auswahlaxiom existiert nun eine Funktion , für die gilt.
Für beliebiges gilt nun nach Konstrukion klarerweise , da ist.
Für die Umkehrung nehmen wir nun an, dass eine Rechtsinverse zu zu existiert.
Für beliebiges gilt:
. Das bedeutet: zu existiert mindestens ein , für das gilt, nämlich . Daher ist surjektiv.
Damit ist der Beweis abgeschlossen.


Eine weitere interessante Konsequenz des Auswahlaxioms ist das

Lemma von Zorn
Sei eine partial geordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke besitzt. Dann besitzt ein maximales Element.

Bemerkung: Der Beweis benötigt eine so genannte "transfinite Induktion" und wird daher hier ausgelassen. Das Lemma von Zorn ist ein fundamentaler Satz, der den Beweis vieler Existenzaussagen ermöglicht; es ist jedoch wegen seiner Äquivalenz zum Auswahlaxiom unter Mathematikern umstritten.

Mächtigkeit[Bearbeiten]

In der Analysis wird u. a. die "Mächtigkeit" der Menge der reellen Zahlen untersucht und gezeigt, dass diese Menge "überabzählbar" ist. Diese Begriffe sind mit Hilfe der natürlichen Zahlen und Abbildungen definiert.


Definition - Gleichmächtigkeit
und seien Mengen.
und sind gleichmächtig (symbolisch dargestellt durch: ) genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung gibt.


Zwei Mengen sind also genau dann gleichmächtig, wenn eine bijektive Abbildung zwischen ihnen existiert.


Beispiel
Ist und . Eine bijektive Abbildung ist dann gegeben durch oder auch durch . Also sind und gleichmächtig.


Um die unterschiedliche Mächtigkeiten von Mengen vergleichen zu können, definiert man weiter:


Definition - "höchstens gleiche" bzw. "kleinere" Mächtigkeit
und seien Mengen.
hat eine höchstens gleiche Mächtigkeit wie (symbolisch dargestellt durch: ) genau dann, wenn es eine injektive Abbildung gibt.
hat eine kleinere Mächtigkeit als (symbolisch dargestellt durch: ) genau dann, wenn gilt und nicht gilt.


Beispiel
Eine Menge hat eine höchstens gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge .
Eine injektive Abbildung von nach ist .


Die Mächtigkeit von Mengen wird häufig mit der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen verglichen. Dabei werden folgende Begriffe verwendet:


Definitionen
Sei eine Menge und
  1. heißt endlich genau dann, wenn oder wenn es ein gibt mit .
  2. heißt unendlich genau dann, wenn nicht endlich ist.
  3. heisst abzählbar genau dann, wenn gilt.
  4. heißt höchstens abzählbar genau dann, wenn endlich oder abzählbar ist.
  5. heißt überabzählbar genau dann, wenn nicht endlich und nicht abzählbar ist.


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